Phép nghịch đảo và ứng dụng trong hình sơ cấp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN TRƯỜNG VINH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO

VÀ ỨNG DỤNG TRONG

HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học, hộp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

15 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương trình bậc phổ thông trung học (PTHT),

phép biến đổi hình học là một trong những nội dung quan

trọng, đặc biệt là trong bồi dưỡng học sinh giỏi, các lớp

chuyên, lớp chọn. Đây luôn là một trong những bài toán hay

và khó trong các kỳ thi VMO, IMO. Phép nghịch đảo là một

trong những phép biến đổi hình học hay và tính trừu tượng

cao, có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học

sơ cấp. Cùng với sự định hướng của PGS. TS. Trần Đạo

Dõng và với mong muốn tìm hiểu về phép biến đổi hình

học này, tôi đã chọn đề tài “PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ

ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” làm đề

tài luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là khai thác phép nghịch

đảo trong mặt phẳng và không gian để khảo sát một số chủ

đề trong hình học sơ cấp nhằm góp phần nâng cao hiệu quả,

chất lượng dạy và học bộ môn Toán trong chương trình bậc

PTTH.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khai thác phép nghịch đảo trong mặt phẳng và không

gian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như:

khảo sát phép nghịch đảo, bài toán chứng minh tính chất

hình học, bài toán xác định đại lượng hình học, bài toán

quỹ tích, bài toán dựng hình, các bài toán trong hệ tọa độ

Descartes...

2

4. Phương pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu về phép nghịch đảo trong mặt phẳng,

không gian và hệ thống các kiến thức liên quan.

- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn, đồng

nghiệp.

5. Ý nghĩa thực tiễn và khoa học

• Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề

cơ bản trong hình học ở bậc PTTH.

• Hệ thống lại một cách hoàn chỉnh các phương pháp sơ

cấp và phương pháp toạ độ để giải các bài toán liên

quan đến phép nghịch đảo.

• Phát huy tính tự học, tư duy và sáng tạo của học sinh.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm:

• Phần mở đầu.

• Chương 1. Phép nghịch đảo trong mặt phẳng và không

gian. Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa

và các tính chất của phép nghịch đảo trong mặt phẳng,

không gian và hệ tọa độ Descartes.

• Chương 2. Ứng dụng phép nghịch đảo trong hình học sơ

cấp. Chương này tập trung vào các ứng dụng của phép

nghịch đảo để giải các bài toán hay và cơ bản.

• Phần kết luận.

• Tài liệu tham khảo.

3

CHƯƠNG 1

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG

MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu kiến thức liên quan.

Các kiến thức trình bày trong chương có thể tham khảo tại các

tài liệu [5], [8], [9].

1.1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1.1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn

Định lý 1.1.1.

Định nghĩa 1.1.1.

Nhận xét 1.1.1.

Tính chất 1.1.1.

Tính chất 1.1.2.

Tính chất 1.1.3.

Tính chất 1.1.4.

1.1.2. Trục, tâm, mặt phẳng đẳng phương

a. Trục đẳng phương của hai đường tròn

Định lý 1.1.2.

4

Định nghĩa 1.1.2. (Trục đẳng phương)

Hệ quả 1.1.1.

b. Tâm đẳng phương

Định nghĩa 1.1.3.

Định lý 1.1.3.

Hệ quả 1.1.2.

d. Mặt phẳng đẳng phương

Định lý 1.1.4.

Định nghĩa 1.1.4. (Phương tích của một điểm đối với mặt cầu)

Định lý 1.1.5.

Định nghĩa 1.1.5. (Mặt đẳng phương)

Hệ quả 1.1.3.

1.1.3. Phép biến đổi hình học

Ở phần này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa về phép

biến đổi hình học (gọi tắt là phép biến đổi) trong mặt phẳng và

không gian.

Định nghĩa 1.1.6. (Phép biến đổi)

Định nghĩa 1.1.7. (Ảnh của một hình)

Định nghĩa 1.1.8. (Phép biến đổi 1 - 1)

5

Định nghĩa 1.1.9. (Đại lượng bất biến)

Định nghĩa 1.1.10. (Phép biến đổi đồng nhất)

Định nghĩa 1.1.11. (Tích các phép biến đổi)

Định nghĩa 1.1.12.

Định nghĩa 1.1.13. (Phép biến đổi ngược)

Nhận xét 1.1.2.

Định nghĩa 1.1.14. (Phép dời hình)

Nhận xét 1.1.3.

1.1.4. Một số phép biến đổi thường gặp

Định nghĩa 1.1.15. (Phép đối xứng tâm)

Định nghĩa 1.1.16. (Phép đối xứng trục)

Định nghĩa 1.1.17. (Phép tịnh tiến)

Định nghĩa 1.1.18. (Phép quay)

Định nghĩa 1.1.19. (Phép vị tự)

Định nghĩa 1.1.20. (Phép đồng dạng)

Định nghĩa 1.1.21. (Phép đối xứng mặt)

6

1.2. PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT PHẲNG

1.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1. (Phép nghịch đảo)

Hình 1.4

Cho một điểm O và một số k 6= 0. Nếu với mỗi điểm M của mặt

phẳng khác điểm O, ta tìm được điểm M0

trên đường thẳng OM

sao cho OM.OM0 = k, thì phép biến đổi f(M) = M0

gọi là phép

nghịch đảo tâm O, phương tích k. Kí hiệu I(O,k)

.

Nhận xét 1.2.1.

Định nghĩa 1.2.2. (Góc tạo bởi đường tròn và đường thẳng)

Định nghĩa 1.2.3. (Góc tạo bởi hai đường tròn)

Định nghĩa 1.2.4. (Đường tròn nghịch đảo)

Nhận xét 1.2.2.

Định nghĩa 1.2.5. (Cực và đối cực)

1.2.2. Tính chất

Cho phép nghịch đảo I(O,k) với k 6= 0.

Tính chất 1.2.1.

Tính chất 1.2.2.

7

Tính chất 1.2.3. Nếu A0

, B0

là ảnh của hai điểm A, B trong phép

biến đổi I(O,k)

, thì A0B0 = λAB, trong đó λ =

|k|

OA.OB

Tính chất 1.2.4.

Tính chất 1.2.5. Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm

nghịch đảo là đường tròn đi qua tâm nghịch đảo.

Tính chất 1.2.6.

Tính chất 1.2.7.

Tính chất 1.2.8.

Tính chất 1.2.9.

Tính chất 1.2.10.

Tính chất 1.2.11. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng tâm O

là I(O,k) và I(O,k0)

là một phép vị tự tâm O tỉ số k

0

k

Tính chất 1.2.12.

1.3. PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG KHÔNG GIAN

1.3.1. Định nghĩa.

Cho một điểm O và một số thực k 6= 0. Nếu ứng với mỗi điểm

M bất kì trong không gian khác điểm O, ta tìm được điểm M0

trên đường thẳng OM sao cho OM.OM0 = k, thì phép biến đổi

f(M) = M0 gọi là phép nghịch đảo tâm O, phương tích k (hoặc

hệ số k).

Kí hiệu N(O,k)

.

8

1.3.2. Tính chất.

Tính chất 1.3.1. Phép biến đổi N(O,k)

là phép biến đổi 1-1 và

có phép biến đổi ngược.

Tính chất 1.3.2.

Tính chất 1.3.3. N(O.k) biến một mặt phẳng không đi qua tâm

nghịch đảo O thành một mặt cầu (W).

Tính chất 1.3.4.

Tính chất 1.3.5. N(O.k) biến một mặt cầu (W) không đi qua tâm

nghịch đảo O thành một mặt cầu (W0

) không đi qua O và (W0

)

cũng là ảnh của (W) qua phép vị tự V

(O,

k

q

)

, trong đó q là phương

tích của điểm O đối với (W).

Tính chất 1.3.6.

Tính chất 1.3.7.

1.4. PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DESCARTES

1.4.1. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes Oxy

Nhận xét 1.4.1.

1.4.2. Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Descartes

Oxyz

Nhận xét 1.4.2.

9

CHƯƠNG 2

ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH

ĐẢO

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Trong chương này, chúng tôi trình bày các ứng dụng của

phép nghịch đảo vào giải các bài toán: khảo sát phép nghịch đảo,

chứng minh tính chất hình học, tính đại lượng hình học, bài toán

tìm quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán liên quan đến hệ tọa

độ Descartes trong mặt phẳng và không gian. Các kiến thức này

có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [3], [5], [8], [9], [10].

2.1. ỨNG DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG MẶT

PHẲNG

2.1.1. Khảo sát phép nghịch đảo

Bài toán 2.1.1. Cho đường tròn (O, R). Tìm phép nghịch đảo để

đường tròn đã cho biến thành chính nó?

Chứng minh. Xét đường tròn

(O, R). Hiển nhiên tâm nghịch

đảo A không nằm trên đường

tròn (O, R). Với mọi điểm M

nằm trên (O, R). đường thẳng

OM có điểm chung thứ hai với

(O, R) là M0

. Hình 2.1