Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————————

NGUYỄN CHÍ THANH

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch

đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường

Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn

Văn Minh, Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới

thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp nghiên cứu khoa học

đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công

sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường

Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy

và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt

tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học

Thái Nguyên đã cho chúng tôi được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy

giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKH

Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái, ...

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,

ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học

của mình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Mở đầu

Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng

dạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép

đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến. Hầu như các

bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,

các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch

đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết. Đặc biệt

trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời

giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịch

đảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn.

Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện

như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.

Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này

là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư

duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát

triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó

khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học

của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Với

những lý do đó chúng tôi đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu.

Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.

Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức

cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tôi sẽ áp dụng vào

một số bài toán ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc

trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình

khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),

một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không

đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với

tâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không đi

qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

(tính chất 1.2.7-b).

Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận

dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng

minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt

của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn

5

Chương 1

Kiến thức cơ bản

1.1. Định nghĩa

Đôi nét về định nghĩa:

Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)

và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)).

Một cát tuyến bất kỳ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M, N. Khi

đó, ta luôn có AK2 = AM.AN ". Như vậy ta để ý rằng với một điểm M0

bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N0 khác cũng

nằm trên (O) và nằm trên AM0 sao cho AM0.AN0 = AK2

.

Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một

số thực k khác không.

Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M0

thuộc đường thẳng

OM sao cho OM.OM0 = k. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo

cực O, phương tích k (hay tỉ số k).

Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I(O,k) hay

I

k

O

, ta có I

k

O

(M) = M0 hoặc I

k

O

: M 7→ M0

, hay một số sách đưa ra ký hiệu

f(O, k), trong luận văn này chúng tôi dùng ký hiệu I

k

O hoặc f(M) = M0

sẽ

chỉ M0

là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k.

Ta có

−−→OM.

−−→OM0 = OM.OM0 vì O, M, M0

thẳng hàng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn