Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

-------------------------

NHAN QUỐC MINH

PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ

NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011

2

0BLỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đối với quý Thầy Cô trong khoa Toán - tin

trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Thầy Cô tổ đại số trường Đại

học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị

cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tản cho quá trình viết luận văn này.

Đặc biệt tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh

Quang người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã

dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong phòng Khoa học Công nghệ

và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung

học phổ thông Trung An, huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ đã giúp đỡ và tạo điều

kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập.

Tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh em và bạn bè đã hỗ trợ và giúp đỡ tôi

về tinh thân cũng như vật chất để tôi hoàn thành luận văn này.

3

1BMỤC LỤC

0TLỜI CẢM ƠN0T ............................................................................................... 2

0TMỤC LỤC0T .................................................................................................... 3

0TBẢNG KÍ HIỆU0T ........................................................................................... 5

0TLỜI MỞ ĐẦU0T ............................................................................................... 6

0TChương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN0T .................................................... 7

0T1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường0T ................................................................ 7

0T1.1.1.Định nghĩa:0T ...................................................................................................... 7

0T1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp0T ............................. 7

0T1.1.3 Phần tử đại số0T .................................................................................................. 8

0T1.1.4 Mở rộng đại số 0T ................................................................................................ 8

0T1.2.Phần tử nguyên0T ....................................................................................................... 9

0T1.2.1.Định nghĩa0T ....................................................................................................... 9

0T1.2.2 Định lý:0T ........................................................................................................... 9

0T1.3.Bao đóng nguyên của một vành0T............................................................................. 10

0T1.3.1 Các khái niệm cơ bản0T..................................................................................... 10

0T1.3.2 Các tính chất 0T.................................................................................................. 10

0T1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ0T .................................................................................. 12

0T1.5.Các ideal trong OR

KR0T ................................................................................................ 13

0T1.5.1 Định thức của một hệ phần tử0T ........................................................................ 13

0T1.5.2 Định thức của một phần tử0T ............................................................................. 13

0T1.5.3 Tính chất 0T ....................................................................................................... 14

0T1.6.Miền Dedekind0T ..................................................................................................... 17

0T1.7.Hàm chuẩn và hàm Euler0T ...................................................................................... 22

4

0TChương 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ

NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K0T......................................................................... 27

0T2.1 Chuẩn của ideal nguyên tố0T .................................................................................... 27

0T2.2 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k0T ................................ 30

0T2.3 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc 30T................................ 36

0T2.4 Phân tích thành nhân tử trên trường vòng0T .............................................................. 41

0TKẾT LUẬN0T ................................................................................................. 50

0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T.......................................................................... 52

5

2BBẢNG KÍ HIỆU

£ - tập số phức

¤ - tập số hữu tỉ

¢ - tập số nguyên

[E F: ] - bậc của mở rộng

AP

B

P - bao đóng nguyên của A trong B

Ω - vành đóng nguyên của ¢ trong £

OK - vành các số nguyên đại số của trường K

irr F (α, ) - đa thức tối tiểu của α trên F

Fl (α,¤ ) - đa thức trường của α trên ¤

D(α ) - định thức của phần tử α

D I( ) - định thức của ideal I

N I( ) - chuẩn của ideal I

∅ - tập rỗng

ord A P ( ) - số mũ của P trong sự phân tích của A

N (α ) - chuẩn của phần tử α

Tr(α ) - vết của phần tử α

I - số phần tử của tập I

indθ - chỉ số của θ

p a - 2

pap a |, |/

m ζ - căn nguyên thuỷ bậc m của 1

Mn (¢ ) - vành các ma trận vuông cấp n trên ¢

■ - kết thúc phép chứng minh