Phân lớp các đại số lie thực ba chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



HOÀNG THỊ VIỆT TRINH

PHÂN LỚP CÁC ĐẠI SỐ LIE THỰC BA CHIỀU

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2019

Luận văn được hoàn thành tại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐH Đà Nẵng

—————————————————

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng.

Phản biện 1: GS.TS Lê Văn Thuyết.

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Chánh Tú.

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

ngành Đại số và lý thuyết số họp tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng vào ngày 26 tháng 10 năm 2019.

Có thể tìm hiểu luận văn tại.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài: Một trong các cấu trúc cơ bản của lý thuyết

Lie và đại số hiện đại là đại số Lie, được xét như là một không gian véctơ

cùng với một ánh xạ song tuyến tính phản xứng thỏa đồng nhất Jacobi.

Các lớp đại số Lie tiêu biểu như đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được,

đại số Lie đơn, đại số Lie nửa đơn,... với nhiều đặc trưng thú vị đang được

khảo sát trong mối liên hệ mật thiết với cấu trúc nhóm Lie và lý thuyết

biểu diễn. Việc xác định cấu trúc và phân lớp các đại số Lie hữu hạn chiều

là một bài toán có ý nghĩa và đang được khảo sát cho các lớp đại số Lie

cụ thể.

Với mong muốn tìm hiểu thêm về sự phân lớp các đại số Lie cùng với sự

gợi ý của thầy hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài "Phân lớp các đại số Lie thực

ba chiều" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình.

2. Mục tiêu và nôi dung nghiên cứu của đề tài

• Phần mở đầu

• Chương 1: Kiến thức cơ sở.

1.1. Đại số Lie và đồng cấu.

1.2. Đại số Lie lũy linh và đại số Lie giải được.

1.3. Đại số Lie đơn và đại số Lie nửa đơn.

• Chương 2: Phân lớp các đại số Lie thực ba chiều.

2.1. Các đại số Lie thực một và hai chiều.

2.2. Các đại số Lie thực ba chiều.

2.3. Phân lớp Winternitz.

2.4. Các ví dụ.

• Kết luận.

3. Phương pháp nghiên cứu.

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài và trình bày báo cáo tổng

quan các nội dung đã tìm hiểu.

• Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.

• Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.

4. Đóng góp của đề tài.

• Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về đại số

Lie hữu hạn chiều và phân lớp các đại số Lie thực ba chiều.

• Góp phần làm rõ các lớp đại số Lie thực có chiều bé hơn hoặc bằng

ba, thể hiện qua các ví dụ minh họa cụ thể.

1

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm, tính chất

cơ bản về đại số Lie, các khái niệm liên quan như đại số Lie lũy linh, đại

số Lie giải được và đại số Lie đơn, nửa đơn. Các kiến thức trình bày trong

chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [4], [6].

1.1 Đại số Lie và đồng cấu

1.1.1 Đại số Lie

Định nghĩa 1.1.1. Cho g là một không gian véctơ trên trường k. Khi đó,

g được gọi là đại số Lie trên k nếu tồn tại phép toán

[, ] : g × g → g

(X, Y ) 7→ [X, Y ]

sao cho

1. [, ] tuyến tính theo từng biến,

2. [X, X] = 0, ∀X ∈ g,

3. [, ] thỏa mãn đồng nhất Jacobi, tức là

[[X, Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z, X] , Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g.

Số chiều của không gian véctơ g, dimk (g), gọi là số chiều của đại số Lie g

và [, ] được gọi là tích Lie.

Nếu k=R, g được gọi là đại số Lie thực.

Nếu k=C, g được gọi là đại số Lie phức.

Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g.

Ví dụ 1.1.2.

2

Nhận xét 1.1.3.

1) Mỗi không gian véctơ V trên trường k là một đại số Lie giao hoán với

tích Lie xác định bởi [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V.

2) Cho g là một đại số kết hợp, xác định phép toán

[, ] : g × g → g

(X, Y ) 7→ [X, Y ] = XY − Y X.

Khi đó g là một đại số Lie.

3) Không gian véctơ các bộ số thực R

3

là một đại số Lie thực 3 chiều với

tích Lie được định nghĩa là tích véctơ của R

3

, [a, b] = a×b, ∀a, b ∈ R

3

.

Đặc biệt,

• Đại số kết hợp g = End V các tự đồng cấu của không gian véctơ

V là một đại số Lie, kí hiệu gl(V ).

• Đại số kết hợp g = Mat(n, k) các ma trận vuông cấp n trên trường

k là một đại số Lie, kí hiệu gl(n, k).

Mệnh đề 1.1.4. Tích trực tiếp hay tổng trực tiếp (xét như không gian

véctơ) của hữu hạn các đại số Lie trên cùng một trường k là một đại số

Lie.

1.1.2 Đồng cấu đại số Lie

Định nghĩa 1.1.5. Cho g, h là các đại số Lie trên trường k. Ánh xạ

ϕ : g → h là đồng cấu đại số Lie nếu

a) ϕ là ánh xạ tuyến tính;

b) ϕ bảo toàn tích Lie, tức là

ϕ ([X, Y ]) = [ϕ (X), ϕ (Y )] , ∀X, Y ∈ g.

Đồng cấu ϕ là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn (toàn, song) ánh.

Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với đại số Lie h, ký hiệu g ∼= h, nếu tồn

tại ϕ : g → h là đẳng cấu đại số Lie. Ta gọi

Ker ϕ = {X ∈ g | ϕ (X) = 0} là nhân của ϕ;

Im ϕ = {ϕ (X) | X ∈ g} là ảnh của ϕ.

3

1.2 Đại số Lie lũy linh và đại số Lie giải được

1.2.1 Đại số Lie lũy linh

Định nghĩa 1.2.1. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k.

Khi đó ta định nghĩa

g0 = g, g1 = [g0, g] , g2 = [g1, g] , g3 = [g2, g] , ..., gk = [gk−1, g] , ...

Dãy giảm g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ... ⊇ gk ⊇ ... được gọi là chuỗi tâm dưới của g.

Đại số Lie g được gọi là lũy linh nếu tồn tại k∈ N sao cho gk = {0} .

Nhận xét 1.2.2.

i) Mỗi gk, k ∈ N đều là iđêan của g.

ii) Mỗi đại số Lie giao hoán đều là đại số Lie lũy linh.

Mệnh đề dưới đây cho các điều kiên tương đương của đại số Lie luỹ linh.

Mệnh đề 1.2.3. Cho g là đại số Lie. Khi đó các điều kiện sau là tương

đương

i) g là đại số Lie lũy linh.

ii) Tồn tại một số nguyên dương l thỏa mãn

[[... [[X0, X1] , X2] ..., Xl−1, Xl

]] = 0 ∀X0, X1, ..., Xl ∈ g.

iii) Tồn tại một dãy giảm C0

g

, C

1

g

, ..., C

l

g

các iđêan của g thỏa mãn

C

0

g = g, C

1

g = 0,

C

i

g

, g

⊆ C

i+1g, i < l.

Ví dụ 1.2.4.

Mệnh đề 1.2.5. Cho g là đại số Lie lũy linh. Khi đó

i) Nếu g là đại số Lie lũy linh khác 0 thì Z(g) cũng khác 0.

ii) Nếu g/Z (g) là đại số Lie lũy linh thì g cũng là đại số Lie lũy linh.

Định nghĩa 1.2.6. Một tự đồng cấu f ∈ End V được gọi là lũy linh nếu

tồn tại n ∈ N sao cho f

n = 0.

4

Định lý 1.2.7. (Định lý Engel) Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều

trên trường k, g là đại số Lie gồm các tự đồng cấu lũy linh của V . Khi đó

1) g là lũy linh.

2) Tồn tại phần từ v khác 0 của V sao cho với mọi X ∈ g thì X (v) = 0.

3) Tồn tại một cơ sở của V sao cho ma trận của X ∈ g có dạng tam giác

trên với các phần tử trên đường chéo bằng không.

1.2.2 Đại số Lie giải được

Trong phần này ta xét các đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k,

với k là trường con của trường số phức. Đặt

g

0 = g, g

1 = [g, g] , ..., g

k+1 =

g

k

, g

k

, ...

Ta có một dãy giảm g

0 ⊃ g

1 ⊃ ... ⊃ g

k ⊃ ... được gọi là chuỗi hoán tử của

g. Khi đó g được gọi là giải được nếu ∃k ∈ N : g

k = {0} .

Mệnh đề 1.2.8. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Với mỗi k ∈ N ta đều

có g

k ⊆ gk.

Từ mệnh đề trên ta suy ra rằng: Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g là

giải được. Tuy nhiên, điều đảo lại nói chung không đúng.

Ví dụ 1.2.9.

Ví dụ 1.2.10.

Ví dụ 1.2.11.

Ví dụ 1.2.12.

Ví dụ 1.2.13.

Mệnh đề 1.2.14. Cho ϕ : g → h là một toàn cấu đại số Lie. Khi đó,

ϕ

￾

g

k

= h

k

, ∀k ∈ N.

Hệ quả 1.2.15. Nếu g là đại số Lie giải được và ϕ : g → h là một dồng

cấu đại số Lie thì ϕ (g) cũng là đại số Lie giải được.

Mệnh đề 1.2.16. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều. Khi đó tồn tại duy

nhất một iđêan giải được < trong g chứa tất cả các iđêan giải được khác.

Iđêan giải được này được kí hiệu < = rad (g) và gọi là căn của g.

1.3 Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie đơn

Định nghĩa 1.3.1. Cho g là một đại số Lie trên trường k, hữu hạn chiều.

a) g được gọi là đơn nếu g không giao hoán và không tồn tại một iđêan

khác không thực sự trong g.

b) g là nửa đơn nếu g không có iđêan giải được khác không nào, tức là

rad(g)={0}.

Nhận xét 1.3.2.

1. Nếu g là đại số Lie đơn thì g = [g, g] vì nó chỉ có 2 iđêan là {0}, g. Do

đó g không giải được.

2. Nếu g là đại số Lie đơn thì g là đại số Lie nửa đơn. Điều ngược lại nói

chung không đúng.

3. Mỗi iđêan là một đại số Lie nên ta có khái niệm iđêan đơn.

4. Nếu g là nửa đơn thì Z(g)={0}, vì Z(g) là iđêan giao hoán của g nên

giải được.

Đối với các đại số Lie số chiều thấp, ta có mối liên hệ giữa đại số Lie đơn

và đại số Lie giải được thể hiện trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.3. Mỗi đại số Lie 3 chiều hoặc là đơn hoặc là giải được.

Ví dụ 1.3.4.

Ví dụ 1.3.5.

Định lí dưới đây cho chúng ta mối liên hệ giữa các đại số Lie đơn và đại

số Lie nửa đơn. Phép chứng minh định lí có thể tham khảo ở tài liệu [1,

Định lí 1.6.17]

Định lý 1.3.6. Đại số Lie hữu hạn chiều g là nửa đơn khi và chỉ khi

g = g1 ⊕ g2 ⊕ ... ⊕ gn

trong đó g1, g2, ..., gn là các đại số Lie đơn.

Hệ quả 1.3.7. Nếu g là nửa đơn thì g = [g, g] .

6