Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Ôn thi vật lý thi đại học Hỗ trợ dowload tài liệu 123doc qua thẻ cào liên hệ Zalo: 0587998338
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Chương I: DAO ðỘNG CƠ
DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
1. Dao ñộng
Chuyển ñộng qua lại quanh một vị trí cân bằng gọi là dao ñộng. Dao ñộng có thể là tuần hoàn, có thể là không tuần
hoàn.
Dao ñộng tuần hoàn: Chuyển ñộng ñược lặp lại liên tiếp và mãi mãi. gọi là dao ñộng tuần hoàn.
Khi vật thực hiện ñược một dao ñộng Ta gọi giai ñoạn ñó là một dao ñộng tuần hoàn hay một chu trình.
Thời gian thực hiện một dao ñộng tuần hoàn gọi là chu kì (kí hiệu là T) của dao ñộng tuần hoàn. ðơn vị của chu kì
là giây (s).
Trong 1 giây chuyển ñộng thực hiện ñược f=
1
T dao ñộng tuần hoàn, f gọi là tần số của dao ñộng tuần hoàn. ðơn
vị của tần số là
1
s, gọi là héc (kí hiệu Hz).
2. Thiết lập phương trình ñộng lực học của vật dao ñộng trong con lắc lò xo.
Xét chuyển ñộng của vật nặng trong con lắc lò xo nằm ngang (Hình 6.3)
Con lắc lò xo gồm một vật nặng gắn vào ñầu một lò xo có khối lượng
không ñáng kể, ñầu kia củalò xo cố ñịnh.
Trục x như hình vẽ, gốc O ứng với vị trí cân bằng. Toạ ñộ x của vật
tính từ vị trí cân bằng gọi là li ñộ.
Lực F tác dụng lên vật nặng là lực ñàn hồi của lò xo, lực này luôn
hướng về O (trái dấu với li ñộ) và có ñộ lớn tỉ lệ thuận với li ñộ,
nên: F= -kx ; hệ số tỉ lệ k là ñộ cứng của lò xo.Lực F luôn luôn hướng
về vị trí cân bằng nên ñược gọi là lực kéo về hay lực hồi phục.
Gia tốc của vật nặng (khối lượng m) bằng ñạo hàm hạng hai của li
ñộ theo thời gian x’’.Bỏ qua ma sát và áp dụng ñịnh luật II Niu- tơn,
ta có: mx'’= - kx hay là x’’=
k
m x= 0 (6.1)ðặt:ω
2
=
k
m (6.1)
phương trình (6.1) trở thành: x’’=ω
2
x= 0 (6.3)
Phương trình (6.1) hoặc (6.3) gọi là phương trình ñộng lực học của dao ñộng.
3. Nghiệm của phương trình ñộng lực học: phương trình dao ñộng ñiều hoà.
Toán học cho biết nghiệm của phương trình (6.3) có dạng: x= Acos(ω ϕ t + ) (6.4)
trong ñó A và ϕ là hai hằng số bất kì. Có thể thử lại ñiều ñó bằng cách tính ñạo hàm của x:
x'= -ωAsin(ω ϕ t + ) (6.5) x’’= -ω
2
Acos(ω ϕ t + )=-ω
2
x (6.6)
Thay biểu thức (6.6) của x’’ vào phương trình (6.3), ta thấy rằng phương trình này ñược nghiệm ñúng.
Hình 6.3. Con laéc loø xo
a) Vaät naëng ôû vò trí caân baèng O, loø xo khoâng daõn.
b) Vaät naëng ôû vò trí M, li ñoä x, vaät chòu löïc taùc duïng
cuûa löïc ñaøn hoài F = - kx cuûa loø xo.
x
O
x
M
O
b)
a)
Phương trình (6.4) cho sự phụ thuộc của li ñộ x vào thời gian, gọi là phương trình dao ñộng.
Dao ñộng mà phương trình có dạng (6.4), tức là vế phải là hàm côsin hay sin của thời gian nhân với một
hằng số, gọi là dao ñộng ñiều hoà.
4. Các ñại lượng ñặc trưng của dao ñộng ñiều hoà
Với giá trị của A dương trong (6.4):
a) A gọi là biên ñộ, ñó là giá trị cực ñại của li ñộ x ứng với
lúc cos(ω ϕ t + )= 1. Biên ñộ luôn luôn dương.
b) (
ω ϕ t + ) gọi là pha của dao ñộng tại thời ñiểm t, pha chính
là ñối số của hàm côsin và là một góc. Với một biên ñộ ñã
cho thì pha xác ñịnh li ñộ x của dao ñộng.
c) ϕ là pha ban ñầu, tức là pha ω ϕ t + vào thời ñiểm t= 0.
d) ω gọi là tần số góc của dao ñộng. ω là tốc ñộ biến ñổi của góc pha, có ñơn vị là rad/s hoặc ñộ/s. Với một con lắc
lò xo ñã cho thì tần số góc ω chỉ có một giá trị xác ñịnh cho bởi (6.2).
5. ðồ thị (li ñộ) của dao ñộng ñiều hoà.
Xuất phát từ phương trình dao ñộng (6.4), cho ϕ = 0 ñể ñơn giản. Lập bảng biến thiên của li ñộ x theo thời gian t
(xem Bảng 6.1) và vẽ ñường biểu diễn x theo t (Hình 6.4). Từ ñồ thị ta thấy rằng, dao ñộng ñiều hoà là chuyển ñộng tuần
hoàn.
6. Chu kì và tần số của dao ñộng ñiều hoà: T =
2π
ω (6.7)
Tần số f của dao ñộng ñiều hoà, theo ñịnh nghĩa, là: f=
1
T = 2
ω
π (6.8)
7. Vận tốc trong dao ñộng ñiều hoà: v=x’= - ωAsin(ω ϕ t + ) = ωAcos
π
ω ϕ t + +
2
(6.9)
như vậy là vận tốc cũng biến ñổi ñiều hoà và có cùng chu kì với li ñộ. ðồ thị vận tốc (ñường ñứt nét) ñối chiếu với ñồ thị li
ñộ ( ñường liền nét) ñược vẽ trên Hình 6.5.
Chú ý rằng: Ở vị trí giới hạn x= ± A thì vận tốc có giá trị bằng 0.
Ở vị trí cân bằng x= 0 thì vận tốc v có ñộ lớn cực ñại, bằng ωA ( hoặc - ωA).
8. Gia tốc trong dao ñộng ñiều hoà
Gia tốc a bằng ñạo hàm của vận tốc theo thời gian: a= v’= x’’=-ω
2
Acos(ω ϕ t + ) = -ω
2
x (6.10)
Gia tốc luôn luôn trái dấu với li ñộ và có ñộ lớn tỉ lệ với ñộ lớn của li ñộ.Người ta nói rằng, gia tốc ngược pha với li ñộ
9. Biểu diễn dao ñộng ñiều hoà bằng vectơ quay
ðể biểu diễn dao ñộng ñiều hoà (6.4) người ta dùng một vectơ OM
có ñộ dài
là A (biên ñộ), quay ñều quanh ñiểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc ñộ
góc là ω. Ở thời ñiểm ban ñầu t= 0, góc giữa trục Ox và OM
là ϕ (pha ban ñầu)
T
T
T
x
t
T
- A
A
O
Hình 6.7 Veùctô quay vaøo moät thôøi
ñieåm t baát kì.
ϕ
M
P x
x
O
(Hình 6.6). Ở thời ñiểm t, góc giữa trục Ox và OM
sẽ là ω ϕ t + (Hình 6.7),
góc ñó chính là pha của dao ñộng.ðộ dài ñại số của hình chiếu vectơ quay OM
trên trục x sẽ là:chx
OM
= OP = Acos(ω ϕ t + ) (6.11)
ñó chính là biểu thức trong vế phải của (6.4) và là li ñộ x của dao ñộng.
Như vậy: ðộ dài ñại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay
OM
biểu
diễn dao ñộng ñiều hoà chính là li ñộ x của dao ñộng.
10. ðiều kiện ban ñầu: sự kích thích dao ñộng
Xét một vật dao ñộng, ví dụ vật nặng trong con lắc lò xo. Trong
bài trước, ta ñã tìm ñược phương trình dao ñộng của vật, trong ñó có hai
hằng số A và ϕ có giá trị xác ñịnh, tuỳ theo cách kích thích dao ñộng.
BÀI TẬP
1. Tốc ñộ của chất ñiểm dao ñộng ñiều hoà cực ñại khi
A. Li ñộ cực ñại. B. Gia tốc cực ñại. C. Li ñộ bằng 0. D. Pha bằng 4
π
.
2. Gia tốc của chất ñiểm dao ñộng ñiều hoà bằng 0 khi
A. Li ñộ cực ñại. B. Li ñộ cực tiểu. C. Vận tốc cực ñại hoặc cực tiểu. D. Vận tốc bằng 0.
3. Dao ñộng cơ ñiều hoà ñổi chiều khi
A. Lực tác dụng ñổi chiều. B. Lực tác dụng bằng 0.
C. Lực tác dụng có ñộ lớn cực ñại. D. Lực tác dụng có ñộ lớn cực tiểu.
4. a) Thử lại rằng: x= A1cosωt+ A2sinωt. (6.14)
trong ñó A1 và A2 là hai hằng số bất kì cũng là nghiệm của phương trình (6.3).
b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A1 và A2 trong biểu thức ở vế phải của (6.3) như sau:
A1= Acosϕ ; A2= - Asinϕ thì biểu thức ấy trùng với biểu thức ở vế phải của (6.4).
5. Phương trình dao ñộng của một vật là: x= 6cos
4
π
π
t +
6
(cm).
a) Xác ñịnh biên ñộ, tần số góc, chu kì và tần số của dao ñộng.
b) Xác ñịnh pha của dao ñộng tại thời ñiểm t =
1
4 s, từ ñó suy ra li ñộ tại thời ñiểm ấy.
c) Vẽ vectơ quay biểu diễn dao ñộng vào thời ñiểm t= 0.
t
x, v, a
A
-A
ωA
-ωA
ω
2
A
-ω
2
A
O T/2 T
T
ðường biểu diễn x(t), v(t) và a(t) vẽ trong cùng một
hệ trục toạ ñộ, ứng với φ = 0
a(t)
v(t)
x(t)
6. Một vật dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ A= 4cm và chu kì T= 2s.
a) Viết phương trình dao ñộng của vật, chọn gốc thời gian là lúc nó ñi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Tính li ñộ của vật tại thời ñiểm t= 5,5s.
7. Một vật nặng treo vào một lò xo làm cho lò xo dãn ra 0,8cm. Cho vật dao ñộng. Tìm chu ì dao ñộng ấy. Lấy g= 10m/s2
.
7. CON LẮC ðƠN -
1. Con lắc ñơn
Con lắc ñơn gồm một vật nặng có kích thước nhỏ, có khối lượng m, treo ở ñầu một sợi dây mền không dãn có ñộ
dài l và có khối lượng không ñáng kể.
Vị trí cân bằng của con lắc ñơn là vị trí mà dây treo thẳng ñứng QO, vật nặng ở vị trí O thấp nhất.
Nếu ñưa vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng, ví dụ tới vị trí A trên quỹ ñạo tròn tâm Q bán kính l với OA = s0, rồi thả
tự do thì vật nặng dao ñộng trên cung tròn AOB , qua lại quanh vị trí cân bằng (Hình 7.1a).
2. Phương trình ñộng lực học
Vật nặng ở vị
trí M xác ñịnh bởi
OM = s (Hình 7.1b),
s gọi là li ñô cong.
Dây treo ở
QM xác ñịnh bởi góc
OQM = α gọi là li
ñộ góc.
Chiều dương ñể tính s và α gọi là chiều từ O ñến A. Hệ thức giữa s và
α là: s= lα.
Các lực tác dụng lên vật là: - Trọng lực P
→
có ñộ lớn mg hướng thẳng ñứng xuống dưới.
- Phản lực R
→
của dây hướng theo MQ.
Ta phân tích trọng lực P
→
thành hai phần: thành phần
Pn
→
theo phương của dây treo MQ và vuông góc với quỹ ñạo
tròn, thành phần
Pt
→
theo phương tiếp tuyến với quỹ ñạo. P
→
=
Pn
→
+
Pt
→
(7.1)
Thành phần
Pn
→
của trọng lực và phản lực R
→
của dây treo cùng tác dụng lên vật, nhưng vì chúng vuông góc với quỹ ñạo
nên không làm thay ñổi tốc ñộ của vật. Hợp lực của chúng là lực hướng tâm giữ cho vật chuyển ñộng trên quỹ ñạo tròn.
Thành phần
Pt
→
của trọng lực luôn có khuynh hướng kéo vật về vị trí cân bằng O, giống như lực kéo về trong con
lắc lò xo.
H 7.2
Q
A B O
Q
A B O
M
l
P
R
α
a) Con lắc ñơn. b) Sơ ñồ con lắc ñơn.
Hình 7.1 Con lắc ñơn và sơ ñồ.
α
Q
A
O
B
P
Pn
Pt
R
M
α
s
(+)
Với những dao ñộng nhỏ, tức là li ñộ góc α<< 1, còn li ñộ cong s << l, thì có thể coi gần ñúng cung OM
là ñoạn
thẳng.
Hình 7.2 cho thấy lực
Pt
→
có ñộ lớn mgsinα và luôn hướng về O, nên: Pt = - mgsinα
Ngoài ra, α<< 1 nên có thể coi gần ñúng sinα ≈ α. Áp dụng ñịnh luật II Niu- tơn, ta có:
ms'’= - mgsinα ≈mgα ≈ - mg
s
l
(7.2) Từ ñây, suy ra: s’’+
g
l s= 0 (7.3a) ðó là phương trình
ñộng lực học của dao ñộng của con lắc ñơn với li ñộ cong s nhỏ (so với l). ðặt:
ω
g
=
l
(7.4)
ta lại có phương trình giống như phương trình (6.3) trong bài trước ñối với dao ñộng của con lắc lò xo:
s’’ =
2 ω s= 0 (7.5a)
3. Nghiệm của phương trình (7.5a)
Phương trình dao ñộng của con lắc là: s = Acos(ωt+ ϕ ) (7.6)
Với cách kích thích như ở mục 1 (tức là ñưa vật nặng về phía phải, ở li ñộ cong s0 rồi thả tự do) và gốc thời gian
chọn vào lúc thả vật nặng, ta có ñiều kiện ban ñầu: Khi t= 0 thì s = s0 và v= s’= 0 (7.7)
Vận dụng ñiều kiện ban ñầu cho nghiệm (7.6), ta có: Acosϕ = s0 và -ωAsinϕ = 0
từ ñó, suy ra: ϕ = 0 và A= s0. Vậy, nếu kích thích như ở mục 1 thì: s=s0cosωt (7.8)
Có thể chọn góc lệch α của dây treo làm thông số xác ñịnh vị trí (toạ ñộ góc), khi ñó:
α= α0cosωt (7.9)
Cả hai phương trình (7.8) và (7.9) ñều mô tả cùng một chuyển ñộng dao ñộng của con lắc ñơn. ðó là một dao ñộng
ñiều hoà.
Dao ñộng của con lắc ñơn với góc lệch nhỏ là dao ñộng ñiều hoà quanh vị trí cân bằng với tần số góc ω cho
bởi (7.4). Tần số góc ω không phụ thuộc khối lượng m của vật nặng.
Chu kì T của dao ñộng nhỏ là:
2
π
= π
ω
2 l T =
g
(7.10)
. BÀI TẬP
1. Chu kì dao ñộng nhỏ của con lắc ñơn phụ thuộc
A. Khối lượng của con lắc. B. Trọng lượng của con lắc.
C. Tỉ số của trọng lượng và khối lượng của con lắc. D. Khối lượng riêng của con lắc.
2. Chu kì của con lắc vật lí ñược xác ñịnh bằng công thức
A.
1
2π
mgd T =
I
B.
π
mgd T = 2
I
C.
π
I
T = 2
mgd D.
2 I π
T =
mgd
.
3. Tìm chiều dài của con lắc ñơn có chu kì 1s ở nơi có gia tốc trọng trường g= 9,81m/s2
.
4. Ở nơi mà con lắc ñơn ñếm giây (tức là có chu kì 2 s) có ñộ dài 1 m thì con lắc ñơn có ñộ dài 3m dao ñộng với chu kì
bằng bao nhiêu?
5. Một vật rắn có khối lượng m= 1,5kg có thể quay quanh một trục nằm ngang. Dưới tác dụng của trọng lực, vật dao ñộng
nhỏ với chu kì T= 0,5s. Khoảng cách từ trục quay ñến trọng tâm của vật là d= 10cm. Tính mômen quán tính của vật ñối với
trục quay (lấy g= 10m/s2
).
8. NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
1. Sự bảo toàn cơ năng
Trong các con lắc mà ta ñã xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của lực ñàn hồi (F= -kx) hoặc trọng lực
(P= mg). Các lực này là lực thế. Ở SGK Vật lí 10 nâng cao, ta ñã biết rằng cơ năng (ñộng năng + thế năng) của một vật
chuyển ñộng trong trường lực thế ñược bảo toàn.
Như vậy: Cơ năng của vật dao ñộng ñược bảo toàn.
Ta sẽ xem xét chi tiết sự biến ñổi từng thành phần của cơ năng, tức là ñộng năng và thế năng, của vật nặng trong
con lắc lò xo và thử lại rằng cơ năng ñược bảo toàn.
2. Biểu thức của thế năng
Trước hết, cần nói rõ rằng thế năng Wt
của vật nặng dưới tác dụng của lực
ñàn hồi cũng chính là thế năng ñàn hồi của lò xo.Xét vật nặng trong con lắc
lò xo, vật dao ñộng với tần số góc ω và biên ñộ A, li ñộ của vật là:
x= Acos(ωt+ ϕ ) (8.1)Lực ñàn hồi của lò xo tác dụng lên vật là F= -kx.
Dưới tác dụng của lực này, thế năng của vật là:Wt
=
1
2 kx2
Thay x từ (8.1),
ta có: Wt
=
1
2 k A2
cos2
(ωt+ ϕ )mà
2 ω =
k
m tức là k= mω2
, do ñó:
Wt
=
1
2 mω2A
2
cos2
(ωt+ ϕ ) (8.2)
ðây là biểu thức của thế năng phụ thuộc vào thời gian. Từ ñây có thể khảo sát sự biến ñổi của thế năng theo thời gian (xem
Hình 8.1).
3. Biểu thức của ñộng năng
Theo ñịnh nghĩa, ñộng năng của vật nặng là: Wñ =
1
2 mv2
. Vận tốc v có thể tính ñược theo công thức (8.1)
của li ñộ x: v= x’= -ωAsin(ωt+ ϕ )Thay vào biểu thức trên của ñộng năng ta có:
Wñ =
1
2 m ω2A
2
sin2
(ωt+ ϕ ) (8.3) ðây là biểu thức của ñộng năng phụ thuộc vào thời gian.
Từ ñây có thể khảo sát sự biến ñổi của ñộng năng theo thời gian (xem cột bên trái).
Vì khối lượng của lò xo rất nhỏ so với khối lượng của vật nên có thể bỏ qua ñộng năng của lò xo. Như thế, ñộng
năng của vật cũng là ñộng năng của cả con lắc lò xo.
4. Biểu thức của cơ năng
Hình 8.2 Ñöôøng bieåu dieãn coâng thöùc bieán ñoåi ñoäng
naêng theo thôøi gian
t
Wñ
O
Cơ năng W của vật nặng bằng tổng ñộng năng và thế năng của vật, ñó cũng là cơ năng của con lắc lò xo: W= Wñ+
Wt
=
1
2 m ω2A
2 ( )
2 2 cos t+ + sin ( t+ ) ω ϕ ω ϕ Suy ra: W=
1
2 mω2A
2
(8.4)
Từ (8.4), ta thấy rằng cơ năng W không phụ thuộc thời gian: ta ñã thử lại rằng cơ năng của vật nặng dao ñộng, tức
cũng là cơ năng của con lắc lò xo, ñược bảo toàn.
Chú ý rằng k= mω2
, ta có: W=
1
2 kA2
(8.5) Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên ñộ A của dao ñộng.
BÀI TẬP
1. ðộng năng của vật nặng dao ñộng ñiều hoà biến ñổi theo thời gian
A. Theo một hàm dạng sin. B. Tuần hoàn với chu kì T.
C. Tuần hoàn với chu kì
T
2 D. Không ñổi.
2. Một vật có khối lượng 750g dao ñộng ñiều hoà với biên ñộ 4cm và chu kì T= 2s. Tính năng lượng của dao ñộng.
3. Tính thế năng, ñộng năng và cơ năng của con lắc ñơn ở một vị trí bất kì (li ñộ góc α) và thử lại rằng cơ năng không ñổi
trong chuyển ñộng.
4. Dựa vào ñịnh luật bảo toàn cơ năng, tính:
a) Vận tốc của vật nặng trong con lắc lò xo khi ñi qua vị trí cân bằng theo biên ñộ A.
b) Vận tốc của con lắc ñơn khi ñi qua vị trí cân bằng theo biên ñộ góc α0
.
9. BÀI TẬP VỀ DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
Bài tập 1
Chứng tỏ rằng, một phù kế nổi ở trong một chất lỏng có thể dao ñộng ñiều hoà theo phương thẳng ñứng.
Ghi chú: Phù kế là dụng cụ ñể ño khối lượng riêng của chất lỏng. ðó là một ống thuỷ tinh rỗng, kín, phía dưới là
một cái bầu nặng (xem Hình 9.1). Khi thả phù kế vào một chất lỏng, mực chất lỏng ngoài ống thuỷ tinh khi cân bằng cho ta
biết khối lượng riêng của chất lỏng.
Bài tập 2
ðiểm M dao ñộng ñiều hoà theo phương trình:
x= 2,5cos
10 t
2
π
π + (cm)
a) Vào thời ñiểm nào thì pha dao ñộng ñạt giá trị
5
6
π
, lúc ấy li ñộ x bằng bao nhiêu?
b) ðiểm M ñi qua vị trí x= 1,25cm vào những thời ñiểm nào? Phân biệt những lần ñi qua theo chiều dương và theo chiều
âm.
c) Tìm tốc ñộ trung bình của ñiểm M trong một chu kì dao ñộng. Tốc ñộ trung bình v của chất ñiểm trong một khoảng thời
gian ∆ t ñược ñịnh nghĩa bằng thương số giữa khoảng ñường ñi ñược ∆ s (trong khoảng thời gian ∆ t) chia cho ∆ t.
∆
=
∆
s
v
t
Bài tập 3
Một con lắc lò xo gồm một vật nặng có khối lượng m= 0,4kg gắn vào ñầu một lò xo có ñộ cứng k= 40N/m. Vật
nặng ở vị trí cân bằng. Dùng búa gõ vào quả nặng, truyền cho nó vận tốc ban ñầu bằng 20cm/s hướng theo trục của lò xo.
a) Viết phương trình dao ñộng của vật nặng.
b) Muốn cho biên ñộ dao ñộng của vật nặng bằng 4cm thì vận tốc ban ñầu truyền cho vật phải bằng bao nhiêu?
Bài tập 4
Một nhà du hành vũ trụ ngồi trong một dụng cụ ño khối lượng (DCðKL). Dụng cụ này ñược chế tạo ñể dùng trong
các con tàu vũ trụ trên quỹ ñạo mà nhà du hành vũ trụ có thể dùng nó ñể xác ñịnh khối lượng của mình trong ñiều kiện phi
trong lượng trên quỹ ñạo quang Trái ðất. DCðKL là một cái ghế lắp vào ñầu một lò xo (ñầu kia của lò xo gắn vào một
ñiểm trên tàu). Nhà du hành ngồi vào ghế và thắt dây buộc mình vào ghế, cho ghế dao ñộng và ño chu kì dao ñộng T của
ghế bằng một ñồng hồ hiện số ñặt trước mặt mình.
a) Gọi M là khối lượng nhà du hành, m là khối lượng ghế, k là ñộ cứng của lò xo, hãy chứng tỏ rằng:
M= π
2
k
4 T
2
– m.
b) ðối với DCðKL trong con tàu vũ trụ Skylab 2 thì k= 605,5N/m, chu kì dao ñộng của ghế không có người là T0=
0,90149s. Tính khối lượng m của ghế.
c) Với một nhà du hành ngồi trong ghế thì chu kì dao ñộng là T= 2,08832s. Tính khối lượng nhà du hành.
10. DAO ðỘNG TẮT DẦN VÀ DAO ðỘNG DUY TRÌ
1. Quan sát dao ñộng tắt dần
Có bốn con lắc lò xo giống hệt nhau, vật nặngcủa mỗi con lắc dao ñộng trong một môi trường khác nhau
: a) không khí; b) nước; c) dầu; d) dầu rất nhớt (xem Hình 10.1)Ta nhận thấy rằng, con lắc a dao ñộng gần như ñiều hoà
trong một thời gian khá dài. Con lắc b dao ñộng với biên ñộ giảm dần theo thời gian rồi dừng lại; người ta gọi chuyển ñộng
của con lắc b là dao ñộng tắt dần. Con lắc c chỉ ñi qua lại vị trí cân bằng vài lần rồi dừng lại, chuyển ñộng ấy cũng gọi là
dao ñộng
tắt dần, nhưng tắt nhanh hơn b. Con lắc d ñược ñưa ra khỏi vị trí cân bằng mà không dao ñộng.
2. ðồ thị của dao ñộng tắt dần
O O O O
Hình 10.2 Ñoà thò cuûa dao ñoäng taét daàn
t
t
t
x x x
t
x
d) c) a) b)
Nếu dùng dao ñộng kí ghi lại ñồ thị li ñộ x của các trường hợp dao ñộng tắt dần, ta sẽ thấy những dạng như sau
(Hình 10.2):
3. Lập luận về dao ñộng tắt dần
Như vậy có thể kết luận: Dao ñộng tắt dần càng nhanh nếu môi trường càng nhớt tức là lực cản của môi trường
càng lớn.
4. Dao ñộng tắt dần chậm
Nếu vật (hay hệ) dao ñộng ñiều hoà với tần số góc ω0
chịu thêm tác dụng của lực cản nhỏ thì dao ñộng của vật
(hay hệ) ấy trở thành tắt dần chậm.
Dao ñộng tắt dần chậm có thể coi gần ñúng là dạng sin với tần số góc ω0
và với biên ñộ giảm dần theo thời gian
cho ñến bằng 0.
5. Dao ñộng duy trì
Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao ñộng tắt dần (do ma sát) ñể bù lại sự tiêu hao vì ma sát mà không
làm thay ñổi chu kì riêng của nó thì dao ñộng kéo dài mãi mãi và ñược gọi là dao ñộng duy trì.
6. Ứng dụng của sự tắt dần dao ñộng: cái giảm rung
Có những dao ñộng kéo dài gây nên tác dụng không có lợi, người ta tìm cách làm cho nó chóng tắt. Ví dụ: ôtô ñi
trên ñường gặp chỗ mấp mô thì xe bị nảy lên và rơi xuống ñột ngột (bị xóc), làm phát sinh lực va chạm lớn. Người ta tránh
xóc bằng cách nối khung xe với trục bánh xe bằng một hệ thống lò xo. Vì có hệ thống lò xo này nên mỗi lần xe ñi qua chỗ
mấp mô thì khung xe, thay vì bị nảy lên, bắt ñầu dao ñộng. Nếu dao ñộng của khung kéo dài sẽ gây khó chịu cho người
ngồi trên xe, người ta lại phải dùng một cái giảm rung ñể làm tắt nhanh dao ñộng.
Cái giảm rung gồm một pittông có những lỗ thủng, chuyển ñộng ñược theo chiều thẳng ñứng trong một xi lanh
chứa ñầy dầu nhớt. Pittông gắn với khung xe, xilanh gắn với trục bánh xe. Khi khung xe dao ñộng ñối với trục bánh xe thì
Hình 10.1 Dao ñoäng trong moâi tröôøng môùi
d) c)
a) b)
pittông cũng dao ñộng rong xilanh và dầu nhớt chảy qua các lỗ thủng ở pittông tạo nên một lực ma sát lớn làm tắt dần
nhanh dao ñộng.
Lò xo cùng với cái giảm rung gọi chung là bộ phận giảm xóc.
11. DAO ðỘNG CƯỠNG BỨC
CỘNG HƯỞNG
1. Dao ñộng cưỡng bức
Bây giờ vật nặng ñứng yên ở vị trí cân bằng, ta tác dụng lên vật một ngoại lực F biến ñổi ñiều hoà theo thời gian:
F= F0cosΩ t
và xét vật chuyển ñộng như thế nào.
Người ta chứng minh ñược rằng, chuyển ñộng của vật dưới tác dụng của ngoại lực nói trên bao gồm hai giai ñoạn:
Giai ñoạn chuyển tiếp trong ñó dao ñộng của hệ chưa ổn ñịnh, giá trị cực ñại của li ñộ (biên ñộ) cứ tăng dần, cực ñại sau
lớn hơn cực ñại trước. Sau ñó, giá trị cực ñại của li ñộ không thay ñổi, ñó là giai ñoạn ổn ñịnh.
Giai ñoạn ổn ñịnh kéo dài cho ñến khi ngoại lực ñiều hoà thôi tác dụng. Xem ñồ thị dao ñộng trên Hình 11.1.
Chuyeån tieáp OÅn ñònh
O
Hình 11.1
t
x
Dao ñộng của vật trong giai ñoạn ổn ñịnh gọi là dao ñộng cưỡng bức. Lí thuyết và thí nghiệm chứng tỏ rằng:
- Dao ñộng cưỡng bức là ñiều hoà (có dạng sin).
- Tần số góc của dao ñộng cưỡng bức bằng tần số góc Ω của ngoại lực.
- Biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức tỉ lệ thuận với biên ñộ F0 của ngoại lực và phụ thuộc vào tần số góc Ω của
ngoại lực.
2. Cộng hưởng
Với biên ñộ F0 của ngoại lực ñã cho, biên
ñộ A của dao ñộng cưỡng bức phụ thuộc vào tần
số góc Ω của ngoại lực. Sự phụ thuộc ñó ñược
biểu diễn bởi một ñường cong trên ñồ thị của
Hình 11.2.
Theo dõi ñường biểu diễn, ta thấy rằng:
Giá trị cực ñại của biên ñộ A của dao ñộng cưỡng bức ñạt ñượ
c khi tần số góc củ ngoại lực (gần ñúng) bằng tần số góc riêng ω0
của hệ dao ñộng tắt dần.
Khi biên ñộ A của dao ñộng cưỡng bức ñạt giá trị cực ñại,
người ta nói rằng có hiện tượng cộng hưởng. ðiều kiện ñể xảy ra cộng hưởng là Ω =
ω0
(gần ñúng).
A
O
3. Ảnh hưởng của ma sát
Nếu ta vẽ lại ñường biểu diễn sự phụ thuộc của biên ñộ A
của dao ñộng cưỡng bức trong trường hợp hệ
dao ñộng và ngoại lực giống như trên, chỉ khác là vật
dao ñộng trong một môi trường có lực cản (ma sát nhớt) nhỏ hơn
thì sẽ ñược ñường biểu diễn (2) vẽ ở Hình 11.3. ðể so
sánh ta vẽ lại ñường (1) ở Hình 11.2 ứng với ma
sát lớn hơn bằng ñường chấm chấm.
4. Phân biệt dao ñộng cưỡng bức với dao ñộng duy trì
Dao ñộng cưỡng bức là dao ñộng xảy ra dưới tác dụng
của ngoại lực tuần hoàn có tần số góc Ω bất kì. Sau giai ñoạn
chuyển tiếp thì dao ñộng cưỡng bức có tần số góc bằng tần số góc của ngoại lực.
Dao ñộng duy trì cũng xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực, như ở ñây ngoại lực ñược ñiều khiển ñể có tần số góc
ω bằng tần số góc ω0
của dao ñộng tự do của hệ.
Dao ñộng cưỡng bức khi cộng hưởng có ñiểm giống nhau với dao ñộng duy trì: cả hai ñều có tần số góc gần ñúng
bằng tần số góc riêng ω0
của hệ dao ñộng. Tuy vậy, vẫn có sự khác nhau: dao ñộng cưỡng bức xảy ra trong hệ dưới tác
dụng của ngoại lực ñộc lập ñối với hệ, còn dao ñộng duy trì là dao ñộng riêng của hệ ñược bù thêm năng lượng do một lực
ñược ñiều khiển bởi chính dao ñộng ấy qua một cơ cấu nào ñó.
5. Ứng dụng hiện tượng cộng hưởng
Hiện tượng cộng hưởng có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ: chế tạo tần số kế, lên dây ñàn …
Trong một số trường hợp, hiện tượng cộng hưởng có thể dẫn tới kết quả làm gãy, vỡ các vật bị dao ñộng cưỡng
bức. Một lực nhỏ, nhưng biến ñổi tuần hoàn có thể làm gãy những máy móc thiết bị lớn rất chắc chắn. Khi chế tạo các máy
móc, phải cố làm sao cho tần số riêng của mỗi bộ phận trong máy khác nhiều so với tần số biến ñổi của các lực có thể tác
dụng lên bộ phận ấy, hoặc làm cho dao ñộng riêng tắt rất nhanh. Khi lắp ñặt máy cũng phải tránh ñể cho tần số rung do
máy tạo nên trùng với tần số riêng của các vật gần máy. Ví dụ: nếu một ñộng cơ ñiện lắp trên một tấm ván, mà tần số quay
của ñộng cơ gần bằng tần số riêng của tấm ván thì ván có thể rung rất mạnh (Hình 11.5).
12. TỔNG HỢP DAO ðỘNG
1. Vấn ñề tổng hợp dao ñộng
Như vậy, muốn tổng hợp hai dao ñộng ñiều hoà cùng phương cần cộng hai hàm dạng sin. Sau ñây ta xét quy tắc
cộng trong trường hợp hai hàm sin có cùng tần số góc.
2. Tổng hợp của hai hàm dạng sin cùng tần số góc. Phương pháp giản ñồ Fre- nen
Cho hai hàm dạng sin:
x1= A1cos(ωt+ ϕ1
) (12.1)
x2 = A2cos(ωt+ ϕ2
) (12.2)
chúng ta sẽ tìm biểu thức của tổng của chúng
(2)
(1)
A
O
Hình 12.2 Giaûn ñoà Fresnen
ϕ
P2 P1 P
M
M2
M1
O x
x= x1+ x2
bằng phương pháp giản ñồ Fre- nen (còn gọi
là phương pháp giản ñồ vectơ quay).
Vẽ vectơ quay
OM1
biểu diễn dao ñộng
ñiều hoà x1 và OM2
biểu diễn x2 vào thời ñiểm t= 0.
Theo quy ước ở mục 9, Bài 6 thì:
* OM1
có ñộ dài A1 và hợp với trục x góc (Ox, OM1
)= ϕ1
vào lúc t= 0.
* OM2
có ñộ dài A2 và hợp với trục x góc (Ox, OM2
)= ϕ2
vào lúc t= 0.
Vẽ hình bình hành mà hai cạnh là OM1
và OM2
, ñường chéo OM
của hình bình hành là tổng của hai vectơ
OM1
và OM2
(Hình 12.2). OM
=
OM1
+ OM2
(12.4)
Vectơ OM
có hình chiếu trên trục x là tổng của x1 và x2. x= x1+ x2.
Vậy OM
chính là vectơ quay biểu diễn tổng của x1 và x2.
Góc ở ñỉnh O của hình bình hành vào thời ñiểm t= 0 bằng hiệu số pha ban ñầu
∆ϕ = ϕ + ϕ 2 1 của hai dao ñộng x1
và x2.
Hai vectơ quay
OM1
và OM2
quay ñều quanh O với cùng tốc ñộ góc ω, vì thế góc giữa hai vectơ này không ñổi
và hình bình hành có cạnh OM1
và OM2
cũng không biến dạng, hình này chỉ quay ñều quanh O với tốc ñộ góc ω như
hai cạnh của nó.
Vectơ OM
biểu diễn dao ñộng tổng hợp x là ñường chéo của hình bình hành, vectơ này cũng quay ñều quanh O
với tốc ñộ góc ω.
3. Biên ñộ và pha ban ñầu của dao ñộng tổng hợp
ðộ dài của vectơ quay OM
(biên ñộ A) và góc ϕ = (Ox, OM
)mà OM
hợp với trục x vào thời ñiểm t= 0 (pha
ban ñầu) có thể tính ñược theo công thức lượng giác trong tam giác OM1M (Hình 12.4).
(OM)2
= (OM1)
2
+ (M1M)2
– 2(OM1)(M1M)cosOM M 1
=
2 A1 +
2 A2 + 2A1A2cos(ϕ2
-
ϕ1
)
ðộ dài của vectơ quay OM
chính là biên ñộ A của dao ñộng tổng hợp x, còn góc ϕ = (Ox, OM
)
chính là pha ban ñầu: A2
=
2 A1 +
2 A2 + 2A1A2cos(ϕ2
-
ϕ1
)(12.5)
tanϕ =
PM
OP =
1 1 2 2
1 1 2 2
A sin A sin
A cos A cos
ϕ + ϕ
ϕ + ϕ (12.6)vậy biểu thức của dao ñộng tổng hợp là:
x= Acos(ωt+ ϕ ) (12.7)trong ñó biên ñộ A và pha ban ñầu
ϕ cho bởi (12.5) và (12.6).
Biên ñộ A phụ thuộc vào các biên ñộ A1 và A2 và vào ñộ lệch pha của các dao ñộng x1 và x2.
Hình 12.4 Giaûn ñoà Fresnen ñeå tìm A vaø ϕ
ϕ
P
M
M2
M1
O x
Với A1 và A2 ñã cho thì biên ñộ A có giá trị lớn nhất khi ñộ lệch pha ϕ2
-
ϕ1 = 0 (x1 và x2 cùng pha) hoặc bằng
một số nguyên lần 2 π: A2
=
2 A1 +
2 A2 + 2A1A2
hay là A= A1+ A2. Biên ñộ A có giá trị nhỏ nhất khi ñộ lệch pha ϕ2
-
ϕ1 = π (x1 và x2 ngược pha) hoặc bằng π cộng
một số nguyên lần 2 π: A2
=
2 A1 +
2 A2
- 2A1A2 hay là A= A A 1 2 −
.
BÀI TẬP
1. Xét dao ñộng tổng hợp của hai dao ñộng hợp thành có cùng phương và cùng tần số. Biên ñộ của dao ñộng tổng hợp
không phụ thuộc
A. Biên ñộ của dao ñộng hợp thành thứ nhất. B. Biên ñộ của dao ñộng hợp thành thứ hai.
C. Tần số chung của hai dao ñộng hợp thành. D. ðộ lệch pha của hai dao ñộng hợp thành.
2. Hai dao ñộng cơ ñiều hoà cùng phương, cùng tần số góc ω= 50rad/s, có biên ñộ lần lượt là 100mm và 173mm, dao
ñộng thứ hai trễ pha 2
π
so với dao ñộng thứ nhất. Xác ñịnh dao ñộng tổng hợp.
Hướng dẫn: Có thể chọn gốc thời gian sao cho pha ban ñầu của dao ñộng thứ nhất bằng 0.
3. Dùng công thức lượng giác (tổng của hai cosin) tìm tổng hợp của hai dao ñộng ñiều hoà cùng phương, cùng tần số góc
ω, cùng biên ñộ A có ñộ lệch pha ∆ϕ. ðối chiếu với kết quả nhận ñược bằng cách dùng phương pháp giản ñồ Fre- nen.
TÓM TẮT CHƯƠNG I
1. Dao ñộng cơ ñiều hoà là chuyển ñộng của một vật mà li ñộ biến ñổi theo ñịnh luật dạng sin theo thời gian: x=
Acos(ω t+ ϕ ) trong ñó A là biên ñộ, ω tần số góc, ω t+ ϕ là pha, ϕ là pha ban ñầu.
Chu kì T của dao ñộng: T=
2π
ω Tần số f của dao ñộng: f =
1
T = 2
ω
π
Mỗi dao ñộng ñiều hoà ñược biểu diễn bằng một vectơ quay OM
có ñộ dài bằng biên ñộ A, vectơ này quay quanh O với
tốc ñộ góc ω , vào thời ñiểm ban ñầu t= 0, vectơ quay hợp với trục x một góc bằng pha ban ñầu. Hình chiếu của vectơ
quay OM
lên trục x thì bằng li ñộ của dao ñộng.
2. Nếu một vật khối lượng m, mỗi khi dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng O một ñoạn x, chịu một lực tác dụng F= -kx thì vật
ấy sẽ dao ñộng ñiều hoà quanh O với tần số góc
k
m
ω =
. Biên ñộ A và pha ban ñầu
ϕ phụ thuộc cách kích thích và chọn
gốc thời gian.
3. Dao ñộng tự do là dao ñộng xảy ra trong một hệ dưới tác dụng của nội lực, sau khi hệ ñược kích thích ban ñầu: ñưa ra
khỏi trạng thái cân bằng rồi thả ra. Hệ có khả năng thực hiện dao ñộng tự do gọi là hệ dao ñộng. Mọi dao ñộng tự do của
một hệ dao ñộng ñều có cùng tần số góc ω0
gọi là tần số góc riêng của hệ ấy.
4. Con lắc lò xo là một hệ dao ñộng. Con lắc ñơn là Trái ðất, con lắc vật lí và Trái ðất là những hệ dao ñộng. Dưới ñây là
bảng các ñặc trưng chính của một hệ dao ñộng.
Con lắc lò xo Con lắc ñơn Con lắc vật lí
Cấu trúc Hòn bi (m) gắn vào lò xo (k) Hòn bi (m) treo ở ñầu sợi
dây (l)
Vật rắn (m,I) quay quanh
trục nằm ngang
Vị trí cân bằng Lò xo không dãn (nằm ngang) Dây treo thẳng ñứng QG thẳng ñứng
Lực tác dụng
Lực ñàn hồi của lò xo có giá trị
F= -kx
x : li ñộ thẳng
Trọng lực của hòn bi và
lực của dây treo
F= Pt=-m
g
l s s: li ñộ cong.
Trọng lực của vật rắn và
lực của trục quay có
momen
M=-mgdsinα α : li ñộ góc
Phương trình
ñộng lực học của dao
ñộng
x” + ω2
x= 0 s” + ω2
s= 0 α ” + ω2α = 0
Tần số góc k
m
ω =
g
l
ω =
mgd
I
ω =
Phương trình
dao ñộng
x= Acos(ω t+ ϕ )
x trong giới hạn ñàn hồi
s= s0cos(ω t+ ϕ ) s0 <l α = α 0cos(ω t+ ϕ )α 0
<1
Cơ năng
W=
1
2 kA2
=
1
2 mω2A
2
W = mgl(1- cosα 0)
=
1
2 m
g
l
2
0
s
5. Dao ñộng tự do không có ma sát là ñiều hoà, khi có ma sát là tắt dần: “biên ñộ” giảm theo thời gian. Khi ma sát lớn, dao
ñộng không xảy ra. Khi ma sát nhỏ, dao ñộng tắt dần có thể coi gần ñúng là tuần hoàn với tần số góc bằng tần số góc ω0
của dao ñộng ñiều hoà khi không có ma sát.
Muốn duy trì dao ñộng tự do khi có ma sát, người ta dùng một cơ cấu ñể cấp thêm năng lượng cho dao ñộng bù lại sự tiêu
hao vì ma sát và không làm thay ñổi chu kì riêng của nó.
6. Nếu tác dụng một ngoại lực biến ñổi ñiều hoà có tần số Ω lên một hệ dao ñộng có tần số riêng ω0
thì sau moat thời
gian chuyển tiếp, hệ sẽ dao ñộng với tần số Ω của ngoại lực, dao ñộng này gọi là dñ cưỡng bức.
Biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức phụ thuộc vào biên ñộ và tần số Ω của ngoại lực. Khi tần số này bằng (gần ñúng)
tần số riêng ω0
của hệ dao ñộng thì biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức ñạt giá trị cực ñại, ñó là hiện tượng cộng hưởng.
7. Tổng hợp hai dao ñộng ñiều hoà cùng phương là cộng hai hàm x1 và x2 dạng sin. Nếu hai hàm cùng tần số góc ω thì có
thể dùng phương pháp giản ñồ Fre- nen: vẽ các vectơ quay OM1
và OM2
biểu diễn x1 và x2 vào thời ñiểm t= 0. Vectơ
tổng OM
=
OM1
+ OM2
chính là vectơ quay biểu diễn dao ñộng tổng hợp x= x1+ x2. Bằng công thức lượng giác có thể
tính ñộ dài của OM (tức là biên ñộ A của x) và góc (Ox, OM
) (tức là pha ban ñầu
ϕ của x).
2 2
1 2 1 2 2 1 A A A A A = + + − 2 cos( ) ϕ ϕ tanϕ =
1 1 2 1
1 1 2 2
sin sin
cos cos
A A
A A
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
+
CÁC DẠNG TOÁN TRONG DAO ðỘNG CƠ HỌC
DAO ðỘNG TUẦN HOÀN – DAO ðỘNG ðIỀU HOÀ
I. DAO ðỘNG TUẦN HOÀN :
1. Dao ñộng:
Chuyển ñộng của một vật ñược gọi là dao ñộng nếu như nó
chuyển ñộng qua lại nhiều lần xung quanh một vị trí cân bằng.
a) b) c)