ÔN THI TOÁN LỚP 12 docx

Phần 1: GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM.

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC:

1). Sự đơn điệu của hàm số:

* Định nghĩa:

 Hàm số y f x = ( ) đồng biến trên (a;b)

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ⇔ ∀ ∈ < ⇒ < x x a b x x f x f x , ; :

 Hàm số y f x = ( ) nghịch biến trên (a;b)

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ⇔ ∀ ∈ < ⇒ > x x a b x x f x f x , ; :

* Định lí:

 Hàm số y f x = ( ) đồng biến trên (a;b)⇔ y′ ≥ 0;∀ ∈x (a;b).

 Hàm số y f x = ( ) nghịch biến trên (a;b)⇔ y′ ≤ 0;∀ ∈x (a;b).

Chú ý: dấu “=” xảy ra ở một số điểm hữu hạn.

* Chú ý:

• Khi yêu cầu “Tìm khoảng đơn điệu” tức là “Tìm khoảng đơn điệu trên tập xác định”.

• Để xeùt tính đơn điệu của một hàm số: ta thực hiện như sau:

+ Tìm D.

+ Tính y′ .

+ Tìm nghiệm của y′ ( nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

+ Căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận các khoảng đơn điệu.

• Hàm số nhất biến đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định, khi xét điều kiện đủ

không xảy ra dấu “=”.

2). Cực trị của hàm số:

a) Dấu hiệu 1 : Khi x qua x0 mà y′ đổi dấu ( theo hướng từ trái sang phải) từ :

• ( ) ( ) + → − : x0 là điểm cực đại.

• ( ) ( ) − → + : x0 là điểm cực tiểu.

→ Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên, căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận cực trị của

hàm số.

b) Dấu hiệu 2 :

•

0

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x

 ′ = 

  ⇒



′′ > 

x0 là điểm cực tiểu.

•

0

0

( ) 0

( ) 0

f x

f x

 ′ = 

  ⇒



′′ < 

x0 là điểm cực đại.

→ Quy tắc 2:

+ Tính y′ .

+ Tìm các điểm i

x mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

+ Tính y′′.

+ Tính ( )i

y x ′′ và dùng dấu hiệu 2 để kết luận i

x là điểm cực đại hay cực tiểu.

Chú ý: x0 là điểm cực trị của hàm số y f x = ( ) ⇒ 0

f x ′( ) 0 =

3). GTLN – GTNN của hàm số y f x = ( )trên D :

* Định nghĩa:

-------------TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011-----------------------------1-------

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x = ( )trên D

( )

( ) 0 0

:

:

x D f x M

x D f x M

∀ ∈ ≤

⇔ 

∃ ∈ = 

 Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x = ( )trên D

( )

( ) 0 0

:

:

x D f x m

x D f x m

∀ ∈ ≥

⇔ 

∃ ∈ = 

4). Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) Tiệm cận đứng:

0

0

limx x

y x x

→ ±

= ±∞ ⇒ = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Phương pháp: Tìm các điểm 0

x là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử

0 ⇒ =x x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) Tiệm cận ngang: 0 0 limx

y y y y

→±∞

= ⇒ = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Phương pháp: Tính limx

y

→+∞

và limx

y

→−∞

.

Chú ý:

+ Hàm đa thức: đồ thị không có tiệm cận.

+ Xét hàm phân thức:

( )

( )

P x

y

Q x

= :

 Nếu bậc P x( ) ≤ bậc Q x( ) : đồ thị có tiệm cận ngang.

 Nếu bậc P x( ) > bậc Q x( ) : đồ thị không có tiệm cận ngang.

5). Khảo sát hàm số:

 Tìm tập xác định của hàm số .

 Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trị của hàm số tại các nghiệm

vừa tìm được.

 Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

 Lập bảng biến thiên.

 Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị.

 Vẽ đồ thị.

Chú ý:

 Hàm số bậc ba: đồ thị có tâm đối xứng là nghiệm của phương trình y′′ = 0 ( đặc biệt nếu

hàm số có cực đại và cực tiểu thì tâm đối xứng là trung điểm của điểm cực đại, cực tiểu).

 Hàm số trùng phương: đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Hàm nhất biến: đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

II. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH:

SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của một hàm số: lập bảng biến thiên.

Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ: dùng định lý

ở phần kiến thức để tìm m .

Chú ý: Nếu ( )

2

y ax bx c a ′ = + + ≠ 0 thì:

 y x R ′ ≥ ∀ ∈ 0,

0

0

a >

⇔ 

∆ ≤

 y x R ′ ≤ ∀ ∈ 0,

0

0

a <

⇔ 

∆ ≤

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của một hàm số: ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.

-------------TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011-----------------------------2-------

Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực trị tại 0

x :

Phương pháp:

+ Tìm D.

+ Tính ( ) 0

y y x ′ ′ ⇒ .

+ Lập luận: Hàm số đạt cực trị cực trị tại ( ) 0 0 x y x ⇒ = ′ 0 → giải tìm m.

+ Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa

điều kiện đề bài không.

+ Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.

Dạng 3: Định giá trị của tham số m để hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:

Phương pháp:

+ Tìm D.

+ Tính y′ .

+ Tính ∆

y′

.

+ Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT ⇔ = y′ 0 có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu

hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó 0 ⇔ ∆ >

y′ → giải tìm m (nếu y′ không là tam

thức bậc hai ta phải lập bảng biến thiên để chỉ ra đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai

nghiệm đó).

+ Kết luận giá trị m vừa tìm được.

Dạng 4: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu:

Phương pháp:

+ Tìm D.

+ Tính y′ .

+ Tính ∆

y′

.

+ Chứng minh : 0 ∆ >

y′

và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó ⇒ hàm số

luôn luôn có CĐ, CT.

GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ y f x = ( ) TRÊN D :

Dạng 1: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên khoảng ( a b; ) : ta thực hiện như sau:

 Lập bảng biến thiên trên (a;b).

 Nếu trên bảng biến thiên có 1 cực trị duy nhất là :

• Cực đại ( ; )

max ( ) CD a b

⇒ = f f x

• Cực tiểu ( ; )

min ( ) CT a b

⇒ = f f x

Dạng 2: Tìm GTLN – GTNN của một hàm số trên đoạn [ ; ] a b : ta thực hiện như sau:

Cách 1:

 Tính y′ .

 Tìm các điểm xi sao cho y′ = 0 (hoặc y′ không xác định).

 Tính : ( ); ( ); ( ) i

f a f x f b (với ( ; ) i

x a b ∈ )→so sánh các giá trị bên → kết luận.

Cách 2:

 Lập bảng biến thiên trên [a;b] → kết luận.

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ:

Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:

a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường ( ) C1

: y f x = ( ) và ( ) C2

: y g x = ( )

+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C1

và ( ) C2

: f x g x ( ) = ( ) .

+ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường.

-------------TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011-----------------------------3-------

b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: ta

thực hiện như sau:

+ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương

trình của hàm số đã có đồ thị (C), một vế là phần còn lại)

+ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).

+ Dựa vào đồ thị, ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) → Kết

luận.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y f x = ( ) : Phương trình có

dạng: 0 0 0 y y f x x x − = − ′( )( )

a) Tại 0 0 0 M x y ( ; ).

b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng 0

k f x = ′( )tìm x0→ tìm y0.

Chú ý: / / d tt d tt k k ⇔ =

. 1 d tt d tt k k ⊥ ⇔ = −

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)

1

y x

x

= + b)

2

ln x

y

x

=

c) 2 x

y x e

−

= d)

2

4 4

1

x x

y

x

− +

=

−

Kết quả:

Câu Đồng biến trên các khoảng: Nghịch biến trên các khoảng:

a) ( −∞ − +∞ ; 1 ; 1; ) ( ) ( −1;0 ; 0;1 ) ( )

b) ( 0; e ) ( e;+∞)

c) ( 0;2) ( −∞ +∞ ;0 ; 2; ) ( )

d) ( −∞ +∞ ;0 ; 2; ) ( ) ( 0;1 ; 1;2 ) ( )

Bài 2: Chứng minh hàm số y = 2

9 − x nghịch biến trên khoảng ( 0;3) và đồng biến trên

khoảng ( −3;0) .

Bài 3: Định m để hàm số :

a) ( )

3 2

y x m x m x = − + + + + 3 2 1 (12 5) 2 đồng biến trên tập xác định.

Kết quả: 6 6

6 6

− ≤ ≤ m

b) ( ) ( )

3 2

y mx m x m x = − − + − − 2 1 2 2 đồng biến trên tập xác định.

Kết quả: không có m.

c)

1 3 2 3

3

y mx mx x = − + − + nghịch biến trên tập xác định. Kết quả: 0 1 ≤ ≤ m

d)

2

5

3

x mx

y

x

+ −

=

−

nghòch bieán treân töøng khoaûng xaùc ñònh. Kết quả: 4

3

m ≤ −

Bài 4: Định m để hàm số 3 2 2

y x mx m x = − + − + 3 ( 1) 2 đạt cực tiểu tại x = 2 .

Kết quả : m =1

Bài 5: Định m để hàm số 3 2

y x x mx m = − + + + 3 3 3 4:

-------------TÀI LIỆU ÔN TẬP THI TN THPT 2010- 2011-----------------------------4-------