ôn thi đại học về sự biến thiên của hàm số

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

§1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệu

trên một khoảng. Ở đây, tôi không nhắc lại các khái niệm ấy mà chỉ đề cập đến việc xét sự biến

thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm.

1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm

Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( a b; ) . Khi đó

• f x ' 0 ( ) > ∀ ∈x a b ( ; ) ⇒ f đồng biến trên ( a b; ) ;

• f x ' 0 ( ) < ∀ ∈x a b ( ; ) ⇒ f nghịch biến trên ( a b; ) ;

• f x ' 0 ( ) = ∀ ∈x a b ( ; ) ⇒ f không đổi trên ( a b; ) .

Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của đạo

hàm. Như vậy ta cần nắm được

• Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;

• Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;

• Quy tắc xét dấu của một biểu thức.

2. Quy tắc xét dấu một biểu thức

Giả sử hàm y g x = ( ) không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm 1

x , 2

x , …, n

x đôi một khác

nhau và 1 2 n

x x x < < < L . Ký hiệu I là một trong các khoảng ( ) 1 −∞; x , ( ) 1 2 x x; , …, ( ) 1

;

n n

x x − ,

( ; ) n

x +∞ . Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Xét sự biến thiên của hàm số

2

1

1

x x

y

x

− +

=

−

.

Giải. Ta có TXĐ = ¡ \ 1{ } , ( )

2

2

2

'

1

x x

y

x

−

=

−

. Ta thấy với mọi x∈TXĐ, dấu của y ' chính là dấu của

tam thức bậc hai 2

x x − 2 . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

1

( )

2

1

1

1

lim lim lim

1 1

1

x x x

x

x x x

f x

x

x

→+∞ →+∞ →+∞

− + − +

= = = +∞

−

−

,

( )

1

1

lim lim 1

1

x x

x

x

f x

x

→−∞ →−∞

− +

= = −∞

−

,

( )

1

2

lim

x

f x

−

  → ÷  

= +∞

,

( )

1

2

lim

x

f x

+

  → ÷  

= −∞

.

Kết luận. f đồng biến trên ( −∞;0) và ( 2;+∞) , nghịch biến trên ( 0;1) và ( 1;2) .

Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số 2

y x = −1 .

Giải. Ta có TXĐ = −[ 1;1] , 2

'

1

x

y

x

−

=

−

với mọi

x∈ −( 1;1) . Do đó với mọi x∈ −( 1;1) , y ' trái dấu

với x . Ta có bảng biến thiên của hàm số như hình

bên.

Kết luận. hàm số đồng biến trên ( −1;0) , nghịch biến trên ( 0;1) .

Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số y x x = − + + 1 1 .

Giải. Ta có TXĐ = −[ 1;1] và

( )

1 1 '

2 1 2 1

y x

x x

= − +

− + 2

1 1

2 1

x x

x

− − +

=

−

( )

2

1 1 1

x

x x x

−

=

− + + −

∀ ∈ − x ( 1;1) .

Do đó với mọi x∈ −( 1;1) , y ' trái dấu với x . Ta

có bảng biến thiên của hàm số như hình bên.

Kết luận. hàm số đồng biến trên ( −1;0) ,

nghịch biến trên ( 0;1) .

Nhận xét. Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu cơ

bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm

bằng cách giải một bất phương trình.

2