Ôn thi cao học - Toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Khoa Sau đại học

Bµi tËp

M«n gi¶i tÝch hµm

Th¸i nguyªn, th¸ng 04 n¨m 2007

1

bµi tËp ch¬ng 1

§¹i c¬ng vÒ kh«ng gian banach

Bµi 1. Chøng minh r»ng c lµ mét kh«ng gian Banach víi chuÈn n

n

x sup = ξ , trong ®ã

n

x ( ) c = ξ ∈ lµ mét d·y sè thùc (hoÆc phøc) héi tô.

Gi¶i.

Ta biÕt:

+ Kh«ng gian l

∞

lµ c¸c d·y sè thùc (hoÆc phøc) bÞ chÆn lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn

n

n

x sup = ξ .

+ c lµ mét kh«ng gian con tuyÕn tuyÕn cña l

∞

+ Kh«ng gian con ®ãng cña kh«ng gian Banach lµ kh«ng gian Banach.

VËy ta sÏ chøng minh c lµ kh«ng gian con ®ãng cña l

∞

, tøc lµ d·y {xn} ⊂ c , bÊt kú th×

n

x héi tô ®Õn mét phÇn tö x thuéc c, n

n

limx x l∞

→∞

= ∈ : ( ) ( )

(n)

n k k k 1 k 1

x

∞ ∞

= =

= ξ → ξ

Cho ε > 0 tïy ý. V× n

n

lim x x 0

→∞

− = nªn víi n0 ®ñ lín ta cã n

x x

3

ε

− < . Víi mäi k, l

nguyªn d¬ng, ta cã

0 0 0 0 0 0 0 0 (n ) (n ) (n ) (n ) (n ) (n ) (n ) (n )

k l k k k l k l k k k l k l ξ − ξ = ξ − ξ + ξ − ξ + ξ − ξ ≤ ξ − ξ + ξ − ξ + ξ − ξ

0 0

0 0

(n ) (n )

n k l n ≤ − + ξ − ξ + − x x x x 0 0 (n ) (n )

k l k l 3 3

ε ε ⇒ ξ − ξ < + ξ − ξ + (1)

V× d·y sè ( )

0

0

n

n k k 1

x c

∞

=

= ξ ⊂ héi tô 0

n ⇒ x lµ d·y Cauchy nªn ∃N nguyªn d¬ng sao cho

0 0 (n ) (n )

k l k N, l N

3

ε

≥ ≥ ⇒ ξ − ξ < (2).

Tõ (1), (2) suy ra k l k N, l N ≥ ≥ ⇒ ξ − ξ < ε . VËy d·y x = ( ) k

ξ héi tô, tøc lµ x ∈c .

Bµi 2. Chøng minh r»ng nÕu x = ( ) n

ξ lµ mét phÇn tö cña kh«ng gian c th×

( ) 0 n n

n 1

x e e

∞

=

= ξ + ξ − ξ ∑ trong ®ã ( ) n nk 0 n k 1 n

e , e (1,1,...,1,...), =lim ∞

= →∞

= δ = ξ ξ .

Gi¶i.

2