Ôn thi cao học môn toán kinh tế phần II xác suất

1

OÂN THI CAO HOÏC MOÂN TOAÙN KINH TEÁ

(Bieân soaïn: Traàn Ngoïc Hoäi - 2007)

PHAÀN II: XAÙC SUAÁT

A- CAÙC COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN

§1. OÂN VEÀ TOÅ HÔÏP

1.1. Ñònh nghóa: Moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät nhoùm khoâng coù

thöù töï goàm k phaàn töû phaân bieät ñöôïc ruùt ra töø n phaàn töû ñaõ cho.

Ví duï: Caùc toå hôïp chaäp 2 cuûa 3 phaàn töû x, y, z laø:

{x,y}; {x,z}; {y,z}.

1.2. Coâng thöùc tính toå hôïp: Goïi k Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû.

Ta coù coâng thöùc:

( )

!

! ! = −

k

n

n C

knk

Ví duï:

6

20

20! 38760.

6!14!

C = =

Chuù yù: Treân maùy tính coù phím chöùc naêng nCr, ta tính 6 C20 baèng caùch baám

20 nCr 6 =

1.3. Baøi toùan löïa choïn:

Moät loâ haøng chöùa N saûn phaåm, trong ñoù coù NA saûn phaåm loaïi A vaø N- NA

saûn phaåm loïai B. Choïn ngaãu nhieân ra n saûn phaåm (0 < n < N). Vôùi moãi soá

nguyeân k thoûa 0 ≤ k ≤ NA, 0 ≤ n-k ≤ N-NA. Tìm soá caùch choïn ra n saûn phaåm,

trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A.

Lôøi giaûi

Ñeå choïn ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåmloaïi A ta tieán haønh

2 böôùc:

Böôùc 1: Choïn k saûn phaåm loaïi A töø NA saûn phaåm loaïi A. Soá caùch choïn laø

A

k CN .

Böôùc 2: Choïn n-k saûn phaåm loaïi B töø N-NA saûn phaåm loaïi B. Soá caùch choïn

laø −

− A

n k CN N .

2

Theo nguyeân lyù nhaân ta coù soá caùch ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn

phaåm loaïi A laø:

. −

A A −

k nk C C N NN .

§2. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT

2.1. Pheùp thöû vaø bieán coá

1) Pheùp thöû laø moät thí nghieäm ñöôïc thöïc hieän trong nhöõng ñieàu kieän

xaùc ñònh naøo ñoù. Moät pheùp thöû coù theå cho nhieàu keát quaû khaùc nhau, moãi keát

quaû ñöôïc goïi laø moät bieán coá.

Ví duï: Thöïc hieän pheùp thöû laø tung moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët. Caùc

bieán coá coù theå xaûy ra laø: Xuaát hieän maët 1 chaám; Xuaát hieän maët coù chaám chaün,…

2) Bieán coá taát yeáu, kí hieäu Ω (OÂmeâga), laø bieán coá nhaát thieát phaûi xaûy ra

khi thöïc hieän pheùp thöû.

Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá

chaám khoâng quaù 6” laø bieán coá taát yeáu.

3) Bieán coá baát khaû, kí hieäu Φ, laø bieán coá khoâng bao giôø xaûy ra khi thöïc

hieän pheùp thöû.

Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá

chaám lôùn hôn 6” laø bieán coá baát khaû.

4) Bieán coá ngaãu nhieân laø bieán coá coù theå xaûy ra cuõng coù theå khoâng xaûy ra

khi thöïc hieän pheùp thöû. Ta thöôøng duøng caùc kí töï A, A1, A2, B, C,… ñeå chæ caùc

bieán coá ngaãu nhieân.

Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët 1 chaám”

laø moät bieán coá ngaãu nhieân.

Trong caùc ví duï minh hoïa sau, khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, ta goïi Aj (j =

1,2,…,6) laø bieán coá “Xuaát hieän maët j chaám” .

5) Bieán coá toång cuûa hai bieán coá A vaø B, kí hieäu A + B (hay A∪ B) laø bieán

coá ñònh bôûi:

A + B xaûy ra ⇔ A xaûy ra hoaëc B xaûy ra.

⇔ Coù ít nhaát moät trong hai bieán coá A hoaëc B xaûy ra.

Minh hoïa:

3

Ta coù theå môû roäng khaùi nieäm toång cuûa n bieán coá A1, A2,…, An nhö sau:

A1 + A2 +…+ An xaûy ra ⇔ Coù ít nhaát 1 trong n bieán coá A1, A2,…, An xaûy ra.

Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, goïi A laø bieán coá “Xuaát hieän maët coù

soá chaám khoâng quaù 2” vaø B laø bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün”, ta coù:

A = A1 + A2

B = A2 + A4 + A6

6) Bieán coá tích cuûa hai bieán coá A vaø B, kí hieäu AB (hay A∩B) laø bieán coá ñònh

bôûi:

AB xaûy ra ⇔ A xaûy ra vaø B xaûy ra.

Nhö vaäy, bieán coá tích AB xaûy ra khi vaø chæ khi caû hai bieán coá A vaø B

ñoàng thôøi xaûy ra.

Minh hoïa:

Ta coù theå môû roäng khaùi nieäm tích cuûa n bieán coá A1, A2,…, An nhö sau:

A1A2…An xaûy ra ⇔ Taát caû n bieán coá A1, A2,…, An ñoàng thôøi xaûy ra.

Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá sau:

A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün.

B : Xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn hay baèng 5.

C: Xuaát hieän maët coù soá chaám nhoû hôn hay baèng 5.

Ta coù: AB = A6 vaø ABC = Φ.

7) Bieán coá sô caáp laø bieán coá khaùc bieán coá baát khaû vaø khoâng theå phaân tích döôùi

daïng toång cuûa hai bieán coá khaùc.