On tap TN 12 phan Hinh giai tich

Cao Minh Nhân

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vấn đề 1: Hệ tọa độ - Tọa độ các điểm và véc tơ

A. Tóm tắt lý thuyết

Trong Oxyz:

1. a (x,y,z) ⇔ a =x i +y j +z k

2. a (x1,y2,z2), b (x2,y2,z2)

Ta có:

• a =b ⇔











=

=

=

1 2

1 2

1 2

z z

y y

x x

• a ±b = (x1 ±x2; y1 ±y2;z1 ±z2)

• k a = (kx1; ky1; kz1)

• a b = x1x2+y1y2+z1z2

•

a = 2

1

2

1

2

1

x + y + z ; b = 2

2

2

2

2

2

x + y + z

• Cos ( a , b ) = 2

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

1 2 1 2 1 2

x

x x y y z z

+ y + z + x + y + z

+ +

( a ≠0 ; b ≠0 )

3. A (xA,yA,zA), B (xB,yB,zB), C (xC,yC,zC)

Ta có:

• AB = (xB-xA, yB-yA; zB-zA)

• AB= 2 2 2

( ) ( ) ( ) B A B A B A

x − x + y − y + z + z

• M là trung điểm của AB⇒ M ( 2

;

2

;

2

A B B A B A

x + x y + y z + z

)

• G là trọng tâm của tam giác ABC

⇒ G ( 2

;

2

;

2

A B C B A C B A C

x + x + x y + y + y z + z + z

)

• A, B, C thẳng hàng ⇔ AB = k. AC

Chú ý:

1, M ∈ Ox⇒ M (x; 0; 0)

M ∈ Oy⇒ M (0; y; 0)

M ∈ Oz⇒ M (0; 0; z)

2, M ∈ (Oxy)⇒ M (x; y; 0)

M ∈ (Oyz)⇒ M (0; y; z)

M ∈ (Oxz)⇒ M (x; 0; z)

B. Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxyz cho a (1, 2, 3); b (2,-1, 3); c (1, 0, 2)

Ôn thi ĐH

Cao Minh Nhân

1. Tính tọa độ của véc tơ u = 2 a -3 b +2 c

2. Tính độ dài của v biết v = a - b -3 c

3. Tính góc giữa hai véc tơ ( a , b + c )

Lời giải:

1. (2 6 2;4 3;6 9 4) ( 2;7;1)

2c(2; 0; 4)

3b (6;- 3; 9)

2a (2; 4; 6)

⇒ = − + + − + = −















u

2. ( 4;3; 6)

3c(3; 0;6)

b (2;-1;3)

a (1; 2; 3)

⇒ = − −















v

Vậy v = ( 4) 3 ( 6) 61 2 2 2

− + + − =

3.









b + = (3;−1;5)

a (1; 2; 3)

c

⇒Cos ( a , b , c )= 14 35

1.3 - 2.1 3.5

+

+

=

490

16

⇒( a , b , c )≈

Bài 2: Trong Oxyz cho 3 điểm A (1; 1; 1); B (-1; 1; 0); C (3; 1;-1)

1. Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

2. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

3. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

4. Tìm trên mặt phẳng (Oxy) một điểm M cách đều 3 điểm A, B, C.

Lời giải:

1. AB (-2; 0;-1)

AC (2; 0;-2)

Giả sử AB = k AC ⇒











− = −

=

− =

k

k

k

1 2

0 0

2 2

hệ vô nghiệm

⇒ AB ≠ k AC hay 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

3. Gọi D (x; y; z)

AB (-2; 0;-1)

DC = (3-x; 1-y;-1-z)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC

Ôn thi ĐH

Cao Minh Nhân

Hay











− − = −

− =

− = −

1 1

1 0

3 2

z

y

x

⇔











=

=

= −

0

1

5

z

y

x

Vậy D (5; 1;0)

3. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ ABC

G ( )

3

1 0 1

;

3

1 1 1

;

3

1−1+3 + + + −

hay G (1; 1; 0)

4. M ∈ (Oxy) ⇒ M (x; 0; z)

MA= 2 2

(1−x) +1+(1−z) = 2 2 3

2 2

x + z − x − y +

MB= 2 2 (− 1− x) + 1+ z

= 2 2

2 2

x + z + x +

MC= 2 2

(3 −x) +1+(−1−z) = 6 2 11 2 2

x + z − x + z +

MA2=MB2=MC2⇔









+ + + = + − + +

+ − − + = + + +

2 2 6 2 11

2 2 3 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x z x x z x z

x z x y x z x

⇔







− =

+ =

8 2 9

4 2 1

x z

x z

⇔















= −

=

6

7

6

5

z

x

Vậy M ( 6

7

;0;

6

5

− )

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho a (2, -1, 2); b (3, 0, 1); c (-4, 1, -1)

1. Tính tọa độ của véc tơ u = 3 a -2 b + c

2. Tính độ dài véc tơ v biết v = 2 a +b +4 c

3. Cho x (2; y0; z0) xác định y0; z0 để a cùng phương x

Ôn thi ĐH