Nửa nhóm tiến hóa fredholm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

ĐINH NGUYỄN ANH TRUNG

NỬA NHÓM TIẾN HÓA FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

TP. HỒ CHÍ MINH - 2009

3

MỞ ĐẦU.

Trong luận văn này ta trình bày dạng tổng quát của định lý Fedholm

vô hạn chiều cho các phương trình vi phân đặt tốt

(Gu)(t):= −u'

(t) + A(t)u(t) = f (t), t ∈ (*)

trên không gian Banach X . Các kết quả trong chương 1, 2, 3 và phần

chứng minh điều kiện cần của định lý I trong chương 4 được lấy trong [7],

phần chứng minh điều kiện đủ của định lý I được lấy trong [8]. Kết quả

chính, định lý lưỡng phân I, mô tả đặc trưng tính Fredholm của (closure of

the) toán tử G trên Lp

(, X) và xác định chỉ số Fredholm của nó dựa theo

các thành phần của phép lưỡng phân mũ trên các nửa đường thẳng của họ

tiến hóa là nghiệm của (*). Các toán tử tuyến tính A(t), t ∈ là không bị

chặn trên X , và ta chỉ yêu cầu bài toán gốc (***) tương ứng được đặt tốt

(theo nghĩa yếu). Ta chuyển bài toán về việc khảo sát một toán tử dịch

chuyển trên không gian các dãy có giá trị trong X và đưa ra một chứng

minh thuần lý thuyết toán tử cho định lý I dựa trên dạng rời rạc của phương

pháp “input-output” từ lý thuyết phương trình vi phân.

Với trường hợp hữu hạn chiều X = d , các dạng của định lý lưỡng

phân đã được thiết lập trong nhiều bài báo. Ở đó A(t) là các ma trận và

G = − d

dt

+ A(.) được định nghĩa trên không gian Sobolev W 1, p ,d ( ).

Trong trường hợp này G là Fredholm khi và chỉ khi họ tiến hóa

{U (t,τ )}t≥τ

nghiệm của bài toán (*) có các phép lưỡng phân mũ trên −

và + . Tuy nhiên những áp dụng vào các phương trình đạo hàm riêng đòi

hỏi một dạng vô hạn chiều của định lý lưỡng phân với các toán tử A(t)

không bị chặn. Các nghiên cứu theo hướng này đã được thực hiện trong

[2], [8], [9], …. Ta nhấn mạnh rằng các chứng minh cho các dạng hữu hạn

4

và vô hạn chiều của định lý lưỡng phân là rất khác nhau bởi nhiều khó

khăn nảy sinh trong trường hợp vô hạn chiều như đã được trình bày trong

phần 1 và 7 của [8].

Vài tác giả đã nghiên cứu tính Fredholm của toán tử G và các vấn đề

liên quan trong những trường hợp vô hạn chiều đặc biệt. Trong [12] một

dạng phương trình vi phân của (*) trên khôn gian Banach X có tính chất

UMD đã được nghiên cứu, ở đó miền xác định chung của các toán tử A(t)

được nhúng compact vào X và A(t)→ A± khi t → ±∞ . Giả sử rằng phổ

của A± không giao i , ta chứng minh được G là Fredholm trên Lp

(, X)

với p ∈(1,∞), và chỉ số của nó được tính theo các thành phần của

the spectral flow của A(.). Trong [7] những định lý dạng này đã được thiết

lập cho bài toán parabolic đặt tốt tổng quát. Hướng tiếp cận sau này xuất

phát từ việc nghiên cứu chi tiết tính chính quy cực đại của nghiệm của

phương trình vi phân không thuần nhất. Trường hợp toán tử A(t) bị chặn

được xem xét ở [1] trong mối liên kết với những áp dụng cho lý thuyết

Morse vô hạn chiều. Trong [11] và [13], điều kiện cần và đủ cho tính

Fredholm của toán tử G được thiết lập cho một lớp các phương trình vi

phân vô hạn chiều có tính chất backward uniqueness (được giới thiệu dưới

đây). Công việc này có liên hệ với những nghiên cứu chi tiết về sóng lan

truyền với bài toán elliptic trên hình trụ.

Trong một hướng nghiên cứu khác, ta bắt đầu với họ tiến hóa tổng

quát U (t,τ ), t ≥ τ và xây dựng một toán tử G trên Lp

(, X) như được mô

tả dưới đây. Không có bất kỳ điều kiện thu hẹp nào trên tính chính quy hay

dáng tiệm cận của A(.) Nếu (***) được đặt tốt theo nghĩa cổ điển thì G là

bao của G = − d

dt

+ A(.) . Trong [3] các tác giả giả sử thêm trước rằng

U (t,τ ) có các phép lưỡng phân mũ trên các nữa đường thẳng. Khi đó một

5

“toán tử nút” được giới thiệu và chứng minh được rằng G và toán tử nút là

Fredholm đồng thời với cùng các chỉ số. Mặt khác, các tác giả trong [8]

yêu cầu X là phản xạ và đòi hỏi tính chất backward uniqueness cho họ tiến

hóa, với các giả thiết này, họ mô tả đặc trưng tính Fredholm của G như ta

làm dưới đây. Trong luận văn này ta loại bỏ bất kỳ giả thiết thêm nào và

thiết lập định lý sau.

Định lý I. Giả sử rằng A = {U (t,τ ):t ≥ τ;t,τ ∈} là một họ tiến hóa bị

chặn mũ, liên tục mạnh trên một không gian Banach X và G là toán tử

sinh của nửa nhóm tiến hóa liên kết định nghĩa trên ε () = Lp

(, X),

p ∈[1,∞) hoặc trên ε () = C0 (, X). Khi đó toán tử G là Fredholm khi

và chỉ khi tồn tại các số thực a ≤ b sao cho hai điều kiện sau thỏa:

(i). Họ tiến hóa A có các phép lưỡng phân mũ với họ các phép chiếu

Pt

− { }t≤a

và Pt

+ { }t≥b

trên (−∞,a] và [b,∞) tương ứng.

(ii). Toán tử nút N(b,a) đi từ ker Pa

− vào ker Pb

+ được định nghĩa

bởi công thức N(b,a) = I − Pb

+ ( )U (b,a) ker Pa

− là Fredholm.

Thêm nửa, nếu G là Fredholm thì ta có các đẳng thức

dimkerG = dimker N(b,a), codimimG = codimimN(b,a) và

indG = indN(b,a). Đặc biệt các tính chất Fredholm của G không phụ

thuộc vào cách chọn không gian hàm ε ().

Nửa nhóm tiến hóa T = {T (t)}t≥0

đề cập trong định lý I được định

nghĩa trên Lp

(, X) , p ∈[1,∞) hoặc C0 (, X) bởi công thức

(T (t) f )(τ ) = U (τ,τ − t) f (τ − t), τ ∈, t ≥ 0 ; xem [4]. Đó là nữa nhóm

liên tục mạnh và ta ký hiệu toán tử sinh của nó bởi G . Toán tử G có thể

được mô tả bởi các thành phần của nghiệm yếu của phương trình tiến hóa

6

không thuần nhất như được chỉ ra trong bổ đề sau, xem [4, proposition

4.32].

Bổ đề II. Một hàm u thuộc miền xác định domG của toán tử G trên

Lp

(, X), p ∈[1,∞) tương ứng trên C0 (, X), khi và chỉ khi

u ∈Lp

(, X)∩C0 (, X) tương ứng u ∈C0 (, X) , và tồn tại một hàm số

f ∈Lp

(, X) tương ứng f ∈C0 (, X), sao cho thỏa:

u(t) = U (t,τ )u(τ ) − U (t,σ ) f (σ )dσ τ

t

∫ với mọi t ≥ τ trong  (**)

Nếu (**) thỏa thì Gu = f .

Bây giờ ta xem xét thử trường hợp phương trình vi phân

u'

(t) = A(t)u(t) , t ≥ τ , u(τ ) = x ∈dom(A(τ )) , (***)

là đặt tốt theo nghĩa cổ điển , nghĩa là các toán tử A(t) được định nghĩa trù

mật và có một họ tiến hóa A sao cho U (t,τ )dom(A(τ )) ⊆ dom(A(t)) với

t ≥ τ và u(t) = U (t,τ ) x là nghiệm C1

duy nhất của (***). Thì G là bao

của toán tử G = − d

dt

+ A(.) trên Lp

(, X), p ∈[1,∞) tương ứng trên

C0 (, X) với miền xác định:

domG = u ∈W 1, p

(, X):u(t) ∈domA(t), a.e., A(.)u(.) ∈Lp { (, X)} tương

ứng u ∈C0 (, X):u(t) ∈domA(t), for t ∈; u' { (.), A(.)u(.) ∈C0 (, X)} ,

ở đây W 1, p

(, X), p ∈[1,∞)là không gian Sobolev thông thường, xem

[4,theorem3.12].

Tuy nhiên ta biết rằng các giả định đối với các toán tử A(t) chỉ

nhằm vào tính đặt tốt theo ý nghĩa như trên chứ không phải là các điều kiện

cần thiết, xem khảo sát trong [14]. Cho nên ta chỉ giả sử rằng tồn tại họ tiến

hóa A mà không cần điều kiện gì đối với các toán tử A(t).