Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Những ứng dụng của các định lý sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU
Phản biện 1:
……………………………………………………………
Phản biện 2:
……………………………………………………………
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm –
ĐHĐN vào ngày 1 tháng 9s năm 2018
Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, một định lý quan trọng và nổi tiếng là
Định lý Lagrange: “ Với một nhóm hữu hạn cấp , mọi nhóm con của
đều có cấp là ước của ”. Ngược lại, nếu là một ước nguyên dương của
cấp của một nhóm hữu hạn , có luôn tồn tại một nhóm con cấp d của
nhóm hay không? Trả lời cho câu hỏi này là không, chẳng hạn nhóm thay
phiên có cấp 12, nhưng không có nhóm con cấp 6 nào. Tuy nhiên, nếu d
là một lũy thừa của một số nguyên tố , thì Định lý Sylow khẳng định sự
tồn tại của những nhóm con cấp d. Các Định lý Sylow cùng với các -nhóm
con Sylow có nhiều ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong lý thuyết nhóm,
chẳng hạn: xác định và phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, khảo sát một số
tính chất của nhóm như tính giao hoán, tính đơn, tính giải được,…
Nhằm tìm hiểu những ứng dụng của Định lý Sylow, tôi chọn đề tài
cho luận văn thạc sĩ của mình là: “ Những ứng dụng của các Định lý Sylow
trong lý thuyết nhóm hữu hạn ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p- nhóm hữu hạn.
- Tìm hiểu p- nhóm con Sylow và các Định lý Sylow.
- Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nhóm và p- nhóm hữu hạn.
- Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu.
2
- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến
nội dung đề tài. Đặc biệt là các tài liệu về Định lý Sylow và các ứng
dụng của chúng.
- Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được.
- Trao đổi với người hướng dẫn và các chuyên gia để thực hiện đề tài.
5. Cấu trúc luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của khóa luận được chia thành 2 chương:
Chƣơng 1: Cấu trúc nhóm và các định lý Sylow.
Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm,
kết quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên
quan.
Chƣơng 2: Những ứng dụng của các Định lý Sylow.
Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng
của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn.
3
CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW.
Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm,
kết quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên
quan.
1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA CẤU TRÚC NHÓM
1.1.1. Một số kết quả của cấu trúc nhóm.
Mệnh đề 1.1.1.1
Cho một nhóm , kí hiệu
( ) * +
khi đó ( ) là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc của .
Nhóm ( ) được gọi là nhóm con tâm của .
Mệnh đề 1.1.1.2
Cho là một nhóm và là một nhóm con của . Khi đó hai
tập con
( ) * |
+
( ) * |
+
là hai nhóm con của .
Định nghĩa 1.1.1.3
Hai nhóm con
( ) và
( ) được gọi lần lượt là nhóm tâm
hóa và nhóm chuẩn hóa của trong .
Định nghĩa 1.1.1.4
Một nhóm được gọi là nhóm xyclic nếu nó chứa một phần tử
sao cho mọi phần tử của đều bằng một lũy thừa nguyên nào đó của .
Phần tử có tính chất như thế được gọi là một phần tử sinh của nhóm
xyclic .
4
Hệ quả 1.1.1.5
(i) Mọi nhóm xyclic đều là nhóm giao hoán.
(ii) Với mỗi số nguyên dương thì có duy nhất một nhóm xyclic
cấp .
(iii) Hai nhóm xyclic có cùng bậc thì đẳng cấu với nhau.
Mệnh đề 1.1.1.6
Nếu là một nhóm giao hoán hữu hạn và là số nguyên tố
chia hết cấp của thì có một phần tử cấp .
Mệnh đề 1.1.1.7
Nếu là một nhóm hữu hạn, là một -nhóm con Sylow của
và là một - nhóm con của . Khi đó, ( ) .
Định lý 1.1.1.8 (Định lý Lagrange)
Giả sử là một nhóm hữu hạn và là một nhóm con của .
Khi đó, | | là một bội của | |.
Hệ quả 1.1.1.9
Mọi nhóm hữu hạn có cấp là một số nguyên tố đều là nhóm
xyclic và được sinh ra bởi một phần tử bất kì, khác phần tử đơn vị
của nhóm.
Định nghĩa 1.1.1.10
Giả sử là một nhóm con của nhóm . Lực lượng của tập
gồm các lớp kề trái của trong , được gọi là chỉ số của nhóm con trong
nhóm , và được kí hiệu là , -
Định nghĩa 1.1.1.11
Nếu là một nhóm con chỉ số 2 của một nhóm , thì là
nhóm con chuẩn tắc của .
5
Định nghĩa 1.1.1.12
Giả sử là một số nguyên tố.
(i) Nhóm được gọi là một - nhóm nếu cấp của nó là một lũy
thừa của .
(ii) Nhóm được gọi là một -nhóm con của nhóm nếu vừa
là một nhóm con của vừa là một - nhóm.
(iii) Nhóm được gọi là một - nhóm con Sylow của nhóm hữu
hạn nếu là một - nhóm con của và | |
là lũy thừa cao nhất
của chia hết | |.
Mệnh đề 1.1.1.13
Nếu là một - nhóm Sylow của nhóm hữu hạn , thì
*
+ cũng là một - nhóm Sylow của .
Định lý 1.1.1.14
Mỗi - nhóm giao hoán đều đẳng cấu với một tích trực tiếp
của các - nhóm xyclic. Hai sự phân tích như thế chỉ có thể khác nhau ở
thứ tự của các nhân tử.
Định nghĩa 1.1.1.15
Một nhóm được gọi là nhóm đơn nếu * + và chỉ có
hai nhóm con chuẩn tắc là * + và .
Định nghĩa 1.1.1.16
Một nhóm được gọi là nhóm giải được nếu tồn tại một dãy
các nhóm con
* +
trong đó mỗi
là nhóm con chuẩn tắc của và nhóm thương
là giao hoán, với mọi .