Những thành tựu trong lịch sử giải phương trình đại số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HỮU PHÚC

NHỮNG THÀNH TỰU TRONG LỊCH SỬ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNHĐẠI SỐ

Chuyên ngành:PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ THANHNHÀN

Thái Nguyên – 2011

Môc lôc

Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Mét sè vÊn ®Ò trong lÞch sö gi¶i ph­¬ng tr×nh ®a thøc 5

1.1 Mét sè vÊn ®Ò vÒ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . . . . . . . . . . 5

1.2 S¬ l­îc tiÕn tr×nh gi¶i ph­¬ng tr×nh ®¹i sè . . . . . . . . . . . 10

2 LÞch sö gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai, ba, bèn 14

2.1 Ph­¬ng tr×nh bËc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Ph­¬ng tr×nh bËc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Ph­¬ng tr×nh bËc bèn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Gi¶i ph­¬ng tr×nh b»ng c¨n thøc. 29

3.1 Më réng tr­êng, më réng c¨n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Nhãm gi¶i ®­îc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Nhãm Galois cña mét ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Tiªu chuÈn gi¶i ®­îc b»ng c¨n thøc . . . . . . . . . . . . . . . 36

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Lêi c¶m ¬n

T«i xin tr©n träng c¶m ¬n PGS. TS Lª ThÞ Thanh Nhµn, ng­êi ®· trùc tiÕp

gi¶ng d¹y, h­íng dÉn vµ t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy.

T«i xin tr©n träng c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu vµ Phßng §µo t¹o Tr­êng §¹i

häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn vµ c¸c thÇy, c« gi¸o ®· trùc tiÕp gi¶ng

d¹y, gióp ®ì t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i Tr­êng.

T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ®Õn cha mÑ, ng­êi th©n, b¹n bÌ vµ tÊt c¶ nh÷ng

ng­êi ®· gióp ®ì, ®éng viªn t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh

luËn v¨n.

2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Më ®Çu

Lý thuyÕt gi¶i ph­¬ng tr×nh ®¹i sè cã lÞch sö tõ rÊt l©u ®êi. Tõ tr­íc c«ng

nguyªn, c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh ®a thøc bËc 2 ®· ®­îc biÕt ®Õn trong c¸c nÒn

to¸n häc cæ cña ng­êi Ai CËp, ng­êi Babylon, ng­êi Hy L¹p. §Õn thÕ kû 16,

loµi ng­êi ®· ®¹t ®­îc nh÷ng thµnh tùu lín trong lÞch sö gi¶i ph­¬ng tr×nh

®a thøc bëi nh÷ng ®ãng gãp cña c¸c nhµ to¸n häc La M· nh­ Scipione del

Ferro (1465-1526), Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576),

Ludovico Ferrari (1525-1565). Nh÷ng nhµ to¸n häc nµy ®· t×m ra lêi gi¶i

ph­¬ng tr×nh ®a thøc bËc 3, 4 b»ng c¨n thøc, tøc lµ ®­a ra c«ng thøc tÝnh

nghiÖm theo c¸c hÖ sè cña ®a thøc th«ng qua c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nh©n,

chia, khai c¨n. §Çu thÕ kØ 19, Ruffini (1765-1822) mét nhµ to¸n häc,vËt lÝ

ng­êi ý, ®· chøng minh tÝnh kh«ng gi¶i ®­îc b»ng c¨n thøc cña mét ph­¬ng

tr×nh bËc lín h¬n 4, nh­ng vÉn cßn lç hæng trong chøng minh nµy. §éc lËp

víi Ruffini, nhµ to¸n häc ng­êi Nauy, Niels Henrik Abel (1802-1829), ®·

chØ ra r»ng kh«ng thÓ gi¶i ®­îc ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t bËc lín h¬n 4 b»ng

c¨n thøc. Thõa h­ëng nh÷ng thµnh tùu cña Abel, nhµ to¸n häc Ph¸p thiªn tµi

Evariste Galois (1811-1832) ®· ®Ó l¹i cho thÕ giíi to¸n häc mét trong nh÷ng

lý thuyÕt ®Ñp ®Ï nhÊt, trong ®ã cã lêi gi¶i hoµn h¶o cho bµi to¸n næi tiÕng vÒ

tÝnh gi¶i ®­îc b»ng c¨n thøc cña ph­¬ng tr×nh ®a thøc.

Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy nh÷ng thµnh tùu trong lÞch sö gi¶i

ph­¬ng tr×nh ®a thøc. Tµi liÖu tham kh¶o chñ yÕu lµ 2 cuèn s¸ch "Galois

Theory" cña J. P. Escofier (Springer, 2004) vµ cña J. Rotman (Springer, 2001).

Chóng t«i cho r»ng, luËn v¨n nµy ®· ph¸c häa kh¸ chi tiÕt vÒ lÞch sö gi¶i

ph­¬ng tr×nh ®a thøc, trong ®ã chøa ®ùng nh÷ng th«ng tin quan träng kh«ng

thÓ t×m thÊy ë bÊt cø tµi liÖu tiÕng ViÖt nµo.

LuËn v¨n gåm 3 ch­¬ng. Ch­¬ng 1 ®Ò cËp ®Õn mét sè vÊn ®Ò vÒ nghiÖm

cña ph­¬ng tr×nh nh­: xÊp xØ nghiÖm, liªn hÖ víi h×nh häc vµ l­îng gi¸c,

khã kh¨n vÒ kÝ hiÖu vµ thuËt ng÷, sù tån t¹i nghiÖm vµ s¬ l­îc tiÕn tr×nh

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn