Những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum - Oettli

Nguyễn Xuân Tấn và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 106(06): 119 - 124

119

NHỮNG BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG HỖN HỢP PARETO

KIỂU BLUM - OETTLI

Nguyễn Xuân Tấn

1

, Nguyễn Quỳnh Hoa2*

1Viện Toán học Việt Nam

2

Trường Đại học Kinh tế & QTKD – ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ yếu hơn cho những ánh xạ đa trị để đảm

bảo cho sự tồn tại nghiệm của những bài toán tựa cân bằng hỗn hợp Pareto kiểu Blum – Oettli.

Từ khóa: Bài toán tựa cân bằng, tựa giống như lồi, ánh xạ đa trị, nửa liên tục, miền định nghĩa.

MỞ ĐẦU

*

Năm 1994, Blum và Oettli đã phát biểu bài

toán cân bằng. Người ta thường gọi bài toán

này là bài toán cân bằng cổ điển hay bài toán

cân bằng vô hướng. Bài toán được phát biểu

như sau: Cho X là không gian vectơ lồi địa

phương, D X ⊂ là tập lồi đóng, khác rỗng và

f D D : × →ℝ là hàm thoả mãn f x x ( , ) 0 =

với mọi x D ∈ . Tìm điểm x D ∈ sao cho

f x y ( , ) 0 ≥ , với mọi y D ∈ . Điểm x được

gọi là điểm cân bằng. Ta sử dụng ký hiệu

(EP) để chỉ bài toán này (tiếng Anh:

Equilibrium problem).

Từ bài toán cân bằng cổ điển của Blum –

Oettli, một số nhà toán học đã đưa ra các

dạng bài toán cân bằng khác và các dạng bài

toán tựa cân bằng.

Mục đích của bài báo này là giới thiệu một số

dạng bài toán tựa cân bằng, tựa cân bằng hỗn

hợp Pareto kiểu Blum – Oettli và một số định

lý về điều kiện tồn tại nghiệm.

Cho X Y i Y Z i i , 1, 2 , , ( = ) là các không gian

topo Hausdorff lồi địa phương, cho

D X K Z ⊆ ⊆ , là các tập con khác rỗng và

C Y ⊆ là một nón. Ta đặt l C C C ( ) = ∩ −( ).

Nếu l C( ) = {0} thì C được gọi là nón nhọn.

Cho Y’ là không gian topo đối ngẫu của Y.

Ta gọi ξ, y là tích vô hướng giữa '

ξ ∈Y và

y Y ∈ ,xác định bởi ξ ξ , . y y = ( ) Nón đối

*

Tel: 0977615828; Email: [email protected]

ngẫu cực, nón đối ngẫu mạnh, nón đối ngẫu

yếu của nón C lần lượt được định nghĩa:

{ }

{ } ( )

{ }

' '

' '

' '

: , 0, ;

: , 0, \ ;

: , 0, int .

C Y c c C

C Y c c C l C

C Y c c C

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

+

−

= ∈ ≥ ∀ ∈

= ∈ > ∀ ∈

= ∈ > ∀ ∈

Trong bài này, ta luôn giả sử rằng C là một

nón nhọn ở trong Y với C .

+

≠ ∅

Cho các ánh xạ đa trị:

1 2

: 2 , : 2 ,

, , : 2 , : 2 ,

, : 2 .

D K

D K

Y

S D K T D K

P P P D K Q D D

G H K D D

× → × →

× → × →

× × →

Lin và Tan [8] đã đặt ra và nghiên cứu các bài

toán sau:

1) Bài toán tựa cân bằng Pareto trên kiểu

Blum – Oettli loại 1:

Tìm ( , ) x y D K ∈ × sao cho x S x y ∈ ( , ),

y T x y ∈ ( , )và ( ( , , ) ( , , )) ( \ ( )) G y x x H y x x C l C − ⊄−

với mọi x S x y ∈ ( , ).

2) Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới kiểu

Blum – Oettli loại 1:

Tìm( , ) x y D K ∈ × sao cho:

x S x y y T x y ∈ ∈ ( , ), ( , )

và ( ( , , ) ( , , )) ( \ ( )) G y x x H y x x C l C − ∩ − = ∅

với mọi x S x y ∈ ( , ).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn