Nguyên lý cực tiểu trong không gian lồi địa phương đầy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————

TRẦN THỊ HUYỀN TRANG

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU

TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẦY

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 8.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2019

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG NHẬT QUY

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN VĂN ÂN

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

12 tháng 05 năm 2019.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Cho W là một tập mở trong không gian vecto tôpô Z. Hàm φ: W →

R ∪ {−∞} trên W được gọi là hàm đa điều hòa dưới (plurisubharmonic

(psh)) nếu nó là hàm nửa liên tục trên (upper semicontinuous (usc)) và thỏa

mãn bất đẳng thức:

φ(f(0)) ≤

1

2π

Z

2π

0

φ(f(e

iθ))dθ,

với mọi ánh xạ chỉnh hình f trên một lân cận của đĩa đơn vị đóng U trong

C vào W.

Từ định nghĩa trên đây ta có thể kiểm tra lại rằng sup của một họ tùy

ý các hàm đa điều hòa dưới cũng là một hàm đa điều hòa dưới nếu sup nhận

được là một hàm nửa liên tục trên. Thật vậy, để đơn giản ta xét trường hợp

2 hàm: giả sử u, v là các hàm psh và w = max{u, v} là usc. Khi đó ta có:

u(f(0)) ≤

1

2π

Z 2π

0

u(f(e

iθ))dθ ≤

1

2π

Z 2π

0

w(f(e

iθ))dθ,

v(f(0)) ≤

1

2π

Z 2π

0

v(f(e

iθ))dθ ≤

1

2π

Z 2π

0

w(f(e

iθ))dθ.

Từ đó suy ra

w(f(0)) ≤

1

2π

Z 2π

0

w(f(e

iθ))dθ.

Tuy nhiên, min của hai hàm psh thì nói chung không phải là một hàm

psh. Sau đây ta sẽ làm rõ hơn về vấn đề này.

Cho φ là hàm psh trên tập mở W trong Z, P là phép chiếu của Z lên

không gian con Y . Ta gọi bao con của hàm φ, là hàm được xác định như sau:

Iφ(z) = Ipφ(z) := inf {φ(w) : w ∈ W, P(w) = z} , ∀z ∈ P(W).

Sau đây ta nêu lên một số ví dụ để chỉ ra rằng hàm Iφ không phải là

hàm psh.

Ví dụ 1. Cho W là song đĩa đơn vị trong C

2 và φ(z, w) = log|2zw −1|.

Khi đó ta có Iφ(z) = −∞ khi |z| ≥ 1

2

và Iφ(z) = 0 khi z = 0. Điều này

2

chứng tỏ hàm Iφ không phải là hàm điều hòa dưới.

Ví dụ 2. Cho W = {(z, w) ∈ C

2

: |z| < 2, −|z|

2 + 4 < |w|

2} và

φ(z, w) = |w|

2

. Khi đó ta có: Iφ(0) = 4 và Iφ(z) = 3 khi |z| = 1. Và điều

này cũng chứng tỏ hàm Iφ không phải là hàm điều hòa dưới.

Bài toán tìm các điều kiện đủ để hàm Iφ xác định như trên đây là hàm

psh được gọi là "nguyên lý cực tiểu". Người đầu tiên nghiên cứu bài toán

này là Kiselman [9]. Trong [9] nguyên lý cực tiểu được xây dựng trên không

gian Z = C

n × C

m. Sau đây là phát biểu kết quả chính trong [9] ở dạng đơn

giản nhất.

Định lý. Giả sử W là một tập mở giả lồi trong C

2 và φ là một hàm psh

trên W sao cho cả hai W và φ đều là S- bất biến, tức là nếu (z, w) ∈ W thì

(z, eiα) ∈ W và φ(z, eiα) = φ(z, w) với mọi α ∈ R. Giả sử với mọi (z, w) ∈ W

thì thớ {x : (z, x) ∈ W} là liên thông. Khi đó, nếu P(z, w) = z thì hàm

IP φ(z) = inf{φ(z, w) : (z, w) ∈ W} là hàm psh.

Tiếp đó, B. Chafi trong [18] đã thay C

m trong kết quả của Kiselman

bởi nhóm Lie phức. Trong [21], Loeb đã thay cả C

n và C

m bởi các đa tạp

phức. Ý tưởng này tiếp tục được X. Y. Zhou phát triển trong [22]. Gần đây,

nguyên lý cực tiểu được Poletsky thiết lập trên không gian Z là giới hạn quy

nạp đặc biệt của họ các không gian Banach {Zi

, i ∈ I}.

Khái niệm giới hạn quy nạp đặc biệt nảy sinh trong quá trình nghiên

cứu lý thuyết không gian các đĩa giải tích trên không gian mêtric compact.

Không gian các đĩa giải tích H(X) vốn là giới hạn quy nạp đặc biệt của họ

các không gian Banach 

Hr(X); r > 1

(xem Định nghĩa 1.1.4). Nếu một

không gian mêtric compact X được ánh xạ liên tục vào không gian lồi địa

phương Z, thì thực chất nó là ánh xạ liên tục vào không gian Banach Zi nào

đó. Nhờ tính chất này mà một số kết quả của hàm chỉnh hình được chuyển

qua cho ánh xạ chỉnh hình nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. Mặt

khác, tính quy nạp đặc biệt cũng cho phép ta dễ dàng định nghĩa dãy khả

tổng, hệ cơ sở các dãy khả tổng và từ đó định nghĩa được các hàm = -ausc,

= - ausc yếu (xem Định nghĩa 1.3.7,2.1.4).

Mục đích của luận văn là xây dựng nguyên lý cực tiểu trên lớp các không

gian lồi địa phương đầy theo dãy. Nghiên cứu kỹ bài báo của A.Poletsky ta

thấy có ba vấn đề cần phải giải quyết để đạt được mục đích trên. Thứ nhất,

ta phải chứng minh được một số kết quả của ánh xạ chỉnh hình lấy giá trị

3

trong không gian lồi địa phương (Xem Mục 1.2). Thứ hai, ta phải định nghĩa

được các hàm = -ausc, = - ausc yếu trên không gian lồi địa phương đầy theo

dãy (Xem Mục 1.3). Thứ ba, ta phải chứng minh một điều kiện đủ cho phép

qua giới hạn dưới dấu tích phân đối với tập định hướng không đếm được

các hàm đo được (Xem Mục 1.4). Với những nhận định như vậy và dưới sự

hướng dẫn khoa học của TS. Hoàng Nhật Quy, em đã chọn đề tài "Nguyên

lý cực tiểu trong không gian lồi địa phương đầy" cho luận văn thạc sĩ của

mình.

2. Mục tiêu của đề tài

Dựa vào kĩ thuật của Poletsky để mở rộng nguyên lý cực tiểu cho lớp

không gian lồi địa phương đầy theo dãy.

3. Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu kinh

điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.

- Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn.

- Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học.

4. Ý nghĩa khoa học và thực tế của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn như là tài

liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâm đến các

kiến thức về hàm đa điều hòa dưới.

5. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, thì cấu trúc chính

của luận văn gồm 2 chương. Chương 1 dành để trình bày những kiến thức

và các kết quả chuẩn bị cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn.

Chương 2 được dành để trình bày kết quả chính và chứng minh của nó.

4

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM

Định nghĩa 1.1.1. Cho Z là một không gian vectơ tô pô. Tập X trong Z

được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] thì ta có λx + (1 − λ)y ∈ X.

Tập Y trong Z được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận U của 0, tồn tại số

vô hướng α sao cho: Y ⊂ αU.

Không gian vectơ tô pô Z được gọi là lồi địa phương nếu tồn tại một cơ sở

lận cận của 0 bao gồm các tập lồi.

Định nghĩa 1.1.2. Cho Z là một không gian vectơ tô pô và X ⊂ Z. Ta gọi

bao lồi của X, ký hiệu Γ(X), đó là tập lồi nhỏ nhất trong Z (theo quan hệ

bao hàm) chứa X.

Định nghĩa 1.1.3. Cho Z là một không gian vectơ tô pô. Dãy {yn}

∞

n=1 ⊂ Z

được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi lân cận U của 0 tồn tại n0 > 0 sao cho

∀m, n > n0 ta có: ym − yn ∈ U.

Không gian vectơ tô pô Z được gọi là đầy theo dãy nếu mọi dãy Cauchy

trong Z đều hội tụ tới một điểm cũng thuộc vào Z.

Định nghĩa 1.1.4. Cho Z là không gian lồi địa phương đầy theo dãy, D là

một tập mở trong C, ánh xạ:

f : D → Z.

được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó khả vi tại mọi điểm của D, tức là:

∀z ∈ D đều tồn tại giới hạn

f

0

(z) := lim

z

0→z

f(z

0

) − f(z)

z

0 − z

.

Ký hiệu:

• U = {z ∈ C : |z| < 1} ,

• Ur = {z ∈ C : |z| < r},

• S = {z ∈ C : |z| = 1} ,

• W là tập mở trong Z,

5

• H(W) := 

f : Vf → W là chỉnh hình , Vf là lân cận của U

,

• H(W) := 

f : U → W là liên tục và chỉnh hình trên U

,

• Hr(W) := 

f : Ur → W là liên tục và chỉnh hình trên Ur

.

Định nghĩa 1.1.5. Cho Z, Z0

là hai không gian lồi địa phương, Z

0

, Z là đầy

theo dãy và W là tập mở trong Z, ánh xạ liên tục: F : W → Z

0 được gọi là

chỉnh hình nếu F ◦ f là chỉnh hình, với mọi f là chỉnh hình từ U ⊂ C vào

W ⊂ Z.

Định nghĩa 1.1.6. Cho W là tập mở trong không gian lồi địa phương Z.

Hàm u : W → R được gọi là hàm nửa liên tục trên (usc) nếu các tập

{z ∈ W : u(z) < a} là mở, với mọi a thuộc R.

Định nghĩa 1.1.7. Cho u là hàm nửa liên tục trên trên W. Khi đó u được

gọi là hàm điều hòa dưới (psh) nếu với mọi f thuộc H(W) ta có:

u(f(0)) ≤

1

2π

Z

2π

0

u(f(e

iθ)dθ. (1.1)

Bất đẳng thức (1.1) được gọi là bất đẳng thức trung bình dưới.

Định nghĩa 1.1.8. Cho Z là một không gian lồi địa phương, W là một tập

mở trong Z, P là phép chiếu trên Z lên không gian con Y và φ là một hàm

trên W. Ta gọi là bao con của φ, là hàm được xác định như sau:

Iφ(z) = IP φ(z) := inf

w∈W,P(w)=z

φ(w); ∀z ∈ P(W).

Kết quả chính của luận văn là phát biểu và chứng minh các điều kiện

đủ để hàm Iφ là hàm psh.

Sau đây là một kết quả cơ bản của lớp các không gian lồi địa phương

đầy theo dãy.

Bổ đề 1.1.1. Cho Z là không gian lồi địa phương đầy theo dãy và Hausdorff;

A là tập lồi, cân, đóng và bị chặn. Đặt: ZA = span(A).

Gọi pA là phiếm hàm Minkowsky của A trên ZA Khi đó: (ZA, pA) là không

gian Banach.

Nhận xét 1.1.1. Gọi Z

0

là đối ngẫu của tôpô Z. Lấy z

∗ ∈ Z

0

. Khi đó, z

∗

cũng thuộc Z

0

A

:= (ZA, pA)

0

.

Thật vậy, lấy ε > 0. Khi đó, tồn tại lân cận V của 0 trong Z sao cho:

|z

∗

(x)| < ε, ∀x ∈ V.