Nguyên lý cực tiểu đối với Hàm đa điều hòa dưới

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HỒNG

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU

ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ HỒNG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU

ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN – 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại

học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS-TS. Phạm Hiến

Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn

hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và

hoàn thành luận văn.

Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ

nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học

Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã

giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và

nghiên cứu khoa học.

Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường

THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về

mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì

vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các

bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi

trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Lê Thị Hồng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4

1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 10

1.3. Hàm cực trị tương đối. 15

1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19

1.5. Toán tử Monge-Ampe 21

1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong 21

Chương 2. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA

ĐIỀU HÒA DƯỚI

24

2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24

2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới 33

2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40

2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn

có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm

cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại

mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc

biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những

tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng

hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối

với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài

toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực

trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã

có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin,

A.Yger, A.Zeriahi,... Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với

hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát

hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến

phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi

tiếng của Cartan-Boutroux.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp

khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ

điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux:

- Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong

n

£

cũng

như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu

Euclid trong

n

£ .