Nguyên lý Carpets và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

HÀ MẠNH CƯỜNG

NGUYÊN LÝ CARPETS

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2021

i

Mục lục

Danh sách hình vẽ iii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Nguyên lý Carpets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Ý nghĩa hình học của nguyên lý Carpets . . . . . . . . . . . 8

2 Ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải một số bài toán hình

học phẳng 16

2.1 Ý tưởng chung về việc ứng dụng nguyên lý Carpets vào giải

bài toán hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Một số ví dụ minh họa việc ứng dụng nguyên lý Carpets

vào giải toán hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Một số ứng dụng của nguyên lý Carpets trong thực tiễn . . 36

2.3.1 Chứng minh √

2 là số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Chứng minh √

3 là số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.3 Đặc trưng của bộ ba Pythagoras . . . . . . . . . . . 40

2.3.4 Các bất đẳng thức trung bình . . . . . . . . . . . . 42

2.3.5 Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.6 Chia đôi hình tròn âm dương . . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận 49

Tài liệu tham khảo 50

ii

Danh sách hình vẽ

1.1 [DMR] = [BCR] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Nguyên lý Carpets 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 [AOD] = [BOC] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 [CDP] = [AMP] + [BCM] . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 [DP QR] = [AMP] + [BMQN] + [CNR] . . . . . . . . . . 7

1.6 Nguyên lý Carpets 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Hai cách bố trí hai tấm thảm trong một căn phòng hình

vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 [AEF] = [DF P] + [BEN] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 [MIP J] = [P AB] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Tính diện tích tứ giác IMDN . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.11 [QBCR] = [AMQP] + [P RND] . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Diện tích phần màu xám bằng diện tích phần màu đỏ . . . 18

2.2 [AEF] = [DF P] + [BEN] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 [XY ZT] = [AQX] + [BMY ] + [CNZ] + [DP T] . . . . . . 20

2.4 Điểm M nằm trong 4ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 [ABM] + [BCM] + [CAM] = [ABC] . . . . . . . . . . . . 22

2.6 [P SQR] = [ARD] + [BSC] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Diện tích miền màu trắng không đổi . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Ba đường chéo giao nhau tại một điểm . . . . . . . . . . . . 25

2.9 Diện tích phần màu hồng bằng phần màu vàng . . . . . . . 26

2.10 Diện tích phần màu hồng bằng phần màu vàng . . . . . . . 27

iii

2.11 Tổng diện tích hai nửa đường tròn bằng một nửa diện tích

hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.12 Diện tích miền màu xám bằng tổng diện tích hai miền màu

vàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.13 [AEP F] = [BCP] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.14 [AEDF] = [BDH] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.15 Diện tích các tam giác màu đỏ bằng diện tích các tam giác

màu xanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.16 Lưới điểm cách nhau 1 đơn vị dài . . . . . . . . . . . . . . 32

2.17 [A] + [B] = [C] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.18 Tìm diện tích của tam giác màu đỏ . . . . . . . . . . . . . 33

2.19 Tìm x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.20 Diện tích màu xám bằng diện tích màu xanh . . . . . . . . 35

2.21 √

2 là số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.22 √

3 là số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.23 Bộ ba Pythagoras (a, b, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.24 Các bất đẳng thức trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.25 Tổng các lập phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.26 Biểu tượng âm dương trên quốc kỳ Hàn Quốc . . . . . . . . 44

2.27 Hình tròn âm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.28 Chia đôi đường tròn âm dương bằng cách 1 . . . . . . . . . 45

2.29 Chia đôi đường tròn âm dương bằng cách 2 . . . . . . . . . 46

2.30 Chia đôi đường tròn âm dương bằng cách 3 . . . . . . . . . 47

2.31 Chia đôi đường tròn âm dương bằng cách 4 . . . . . . . . . 47

2.32 Chia đôi đường tròn âm dương bằng cách 5 . . . . . . . . . 48

1

Mở đầu

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, hình học phẳng là

một trong những nội dung quan trọng luôn xuất hiện trong các đề thi

THPT Quốc gia, trên các tạp chí toán học, blog toán học, trong các đề

thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic.

Hình học nói chung, các bài toán về hình học phẳng nói riêng luôn được

đánh giá là một nội dung tương đối khó, thường đòi hỏi học sinh hiểu chính

xác những mối quan hệ giữa các yếu tố hình học, các đối tượng hình học

được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn đạt một cách đầy đủ.

Do vậy các bài toán về hình học phẳng luôn là các bài toán thú vị nhưng

thường khá phức tạp và luôn có sức hấp dẫn, là niềm đam mê, thu hút

được sự yêu thích của các thầy cô dạy toán và học sinh.

Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi xin dành sự quan tâm đến nguyên

lý Carpets (tiếng Việt thường được gọi là nguyên lý trải thảm và các bài

toán liên quan đến nguyên lý Carpets). Tuy nhiên, các cách thức này không

được giảng dạy trong chương trình đại trà, cũng như chương trình nâng

cao ở bậc phổ thông.

Có thể diễn tả trực quan về nguyên lý Carpets như sau: Cho hai tấm

thảm có tổng diện tích bằng diện tích của nền nhà. Nếu ta trải hai tấm

thảm trong phạm vi nền nhà thì diện tích phần nền nhà chưa được trải

thảm bằng diện tích nền nhà được phủ bởi cả hai tấm thảm đó.

Trong thời gian vừa qua, đã có nhiều học viên cao học lựa chọn các chủ

đề liên quan đến hình học để triển khai luận văn thạc sĩ, nhưng chưa có