Nguyên hàm và tích phân

Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phân ậ ử ụ ứ

CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 1. BÀI T P Ậ S D NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ Ứ

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T Ấ Đ NH Ị

1. Đ nh nghĩa: ị

• Giả sử y = f(x) liên t c trên kho ng ( ụ ả a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là m t ộ

nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) khi và ch khi F ỉ ′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b).

• N u ế y = F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s ộ ủ ố y = f(x) thì t p h p t t c các ậ ợ ấ ả

nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) là t p h p I ậ ợ = { F( x ) c c R + ∈ } và tập hợp

này còn đ c kí hi u d i d u tích phân b t đ nh ượ ệ ướ ấ ấ ị = = + ∫

I f ( x )dx F( x ) c

2. Vi phân:

2.1 Giả sử y = f(x) xác đ nh trên kho ng ( ị ả a, b) và có đ o hàm ạ t i đi m ạ ể x∈(a,b).

Cho x m t s gia ộ ố ∆x sao cho (x + ∆x) ∈ (a,b), khi đó ta có:

• Công thức vi phân theo s gia ố :

( )

( ) ( )

 = ∆ ′



= ∆ ′ 

dy y x x

df x f x x

• Công th c bi n đ i vi phân: ứ ế ổ

Ch n hàm s ọ ố y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x.

V y ta có: ậ

( )

( ) ( )

 = ∆ ′ 



= ∆ ′ 

dy y x x

df x f x x

⇔

( )

( ) ( )

 = ′ 



= ′ 

dy y x dx

df x f x dx

• N u hàm s ế ố f(x) có vi phân t i đi m ạ ể x thì ta nói f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x.

Do df x f x x ( ) = ∆ ′( ) nên f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x ⇔f(x) có đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x

2.2. Tính chất: Gi s u và v là 2 hàm s cùng kh vi t i đi m ả ử ố ả ạ ể x. Khi đó:

( ) ( ) ( )

−

± = ± = + = 2

u udv vdu d u v du dv ; d uv udv vdu ; d

v v

2.3 Vi phân của hàm hợp

Nếu

 =



 =

y f ( u )

u g( x ) và f, g kh vi thì ả ( ) ( ) ( ) dy f u du f u u x dx = = ′ ′

1