Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân thức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ

LỚP PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM

NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - Năm 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1

Më §Çu

Lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna ®-îc ®¸nh gi¸ lµ mét trong

nh÷ng thµnh tùu s©u s¾c cña to¸n häc trong thÕ kû hai m-¬i. §-îc h×nh thµnh tõ

nh÷ng n¨m ®Çu cña thÕ kû, lý thuyÕt Nevanlinna cã nguån gèc tõ nh÷ng c«ng

tr×nh cña Hadamard, Borel vµ ngµy cµng cã nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc

kh¸c nhau cña to¸n häc.

Vµo n¨m 1925, Nevanlinna ®· ph¸t triÓn lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ víi xuÊt

ph¸t ®iÓm lµ c«ng thøc næi tiÕng Jensen. Lý thuyÕt cã néi dung chñ yÕu lµ ®Þnh lý

c¬ b¶n thø nhÊt, ®Þnh lý c¬ b¶n thø 2 vµ quan hÖ sè khuyÕt.

Néi dung luËn v¨n gåm hai ch-¬ng:

Ch-¬ng I: Tr×nh bµy c¬ së lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña Nevanlinna.

Ch-¬ng II: Tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ nghiÖm toµn côc cña ph-¬ng tr×nh

vi ph©n phøc dùa trªn bµi b¸o nghiÖm toµn côc cña mét sè líp ph-¬ng tr×nh vi

ph©n phøc cña t¸c gi¶ Ping Li.

KÕt qu¶ cña luËn v¨n:

Cho P(f) lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f vµ nã cã ®¹o hµm ( víi hµm nhá cña f

coi nh- lµ hÖ sè) cã bËc kh«ng lín h¬n n - 1 , p1

, p2

lµ 2 hµm nhá cña

z

e

vµ

1 2  ,

lµ 2 h»ng sè kh¸c kh«ng. Sö dông lý thuyÕt ph©n phèi gi¸ trÞ cña

Nevanlinna ®Ó t×m ra nghiÖm toµn côc siªu viÖt cña ph-¬ng tr×nh vi ph©n phi

tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian phøc:

   

1 2

1 2 .

n z z f z P f p e p e  

  

LuËn v¨n ®-îc hoµn thµnh d-íi sù h-íng dÉn vµ chØ b¶o tËn t×nh cña GS -

TSKH Hµ Huy Kho¸i. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c vµ thµnh kÝnh nhÊt ®Õn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2

ThÇy, ThÇy kh«ng chØ h-íng dÉn t«i nghiªn cøu khoa häc mµ ThÇy cßn th«ng

c¶m, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh luËn v¨n.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n, khoa sau §¹i häc

tr-êng §¹i häc S- ph¹m thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c thÇy c« ViÖn To¸n häc

ViÖt Nam ®· gi¶ng d¹y, t¹o mäi ®iÒu kiÖn gióp ®ì t«i hoµn thµnh khãa häc vµ

luËn v¨n.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n ban Gi¸m hiÖu tr-êng cao ®¼ng C«ng NghÖ vµ

Kinh TÕ C«ng NghiÖp, ®Æc biÖt lµ c¸c ®ång nghiÖp trong khoa KHCB, gia ®×nh,

b¹n bÌ ®· quan t©m, gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc vµ hoµn thµnh luËn v¨n.

Th¸i Nguyªn, th¸ng 8 n¨m 2010

Häc viªn

L-u ThÞ Minh T©m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3

Ch-¬ng I

C¬ së lý thuyÕt Nevanlinna

1.1. Hµm ph©n h×nh

1.1.1.§Þnh nghÜa: §iÓm a ®-îc gäi lµ ®iÓm bÊt th-êng c« lËp cña hµm f(z)

nÕu hµm f(z) chØnh h×nh trong mét l©n cËn nµo ®ã cña a, trõ ra t¹i chÝnh ®iÓm ®ã.

1.1.2. §Þnh nghÜa: §iÓm bÊt th-êng c« lËp z = a cña hµm f(z) ®-îc gäi lµ

cùc ®iÓm cña f(z) nÕu

lim  

z a

f z



  .

1.1.3. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) chØnh h×nh trong toµn mÆt ph¼ng phøc



®-îc

gäi lµ hµm nguyªn.

Nh- vËy, hµm nguyªn lµ hµm kh«ng cã c¸c ®iÓm bÊt th-êng h÷u h¹n.

1.1.4. §Þnh nghÜa: Hµm f(z) ®-îc gäi lµ hµm ph©n h×nh trong miÒn

D  

nÕu nã lµ hµm chØnh h×nh trong D, trõ ra t¹i mét sè ®iÓm bÊt th-êng lµ

cùc ®iÓm.

NÕu D =



th× ta nãi f(z) ph©n h×nh trªn



, hay ®¬n gi¶n, f(z) lµ hµm

ph©n h×nh.

*NhËn xÐt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× trong l©n cËn cña mçi ®iÓm

z D f z  ,  

cã thÓ biÓu diÔn ®-îc d-íi d¹ng th-¬ng cña hai hµm chØnh h×nh.

1.1.5. §Þnh nghÜa: §iÓm z0 gäi lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) nÕu trong

l©n cËn cña z0

, hµm

 

 

 

0

1

m

f z h z

z z





, trong ®ã h(z) lµ hµm chØnh h×nh trong

l©n cËn cña z0 vµ

h z 0   0 .

1.1.6. TÝnh chÊt: NÕu f(z) lµ hµm ph©n h×nh trªn D th× f’(z) còng lµ hµm

ph©n h×nh trªn D. Hµm f(z) vµ f’(z)còng cã c¸c cùc ®iÓm t¹i nh÷ng ®iÓm nh-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4

nhau. §ång thêi, nÕu z0

lµ cùc ®iÓm cÊp m>0 cña hµm f(z) th× z0

lµ cùc ®iÓm cÊp

m+1 cña hµm f’(z).

*NhËn xÐt: Hµm f(z) kh«ng cã qu¸ ®Õm ®-îc c¸c cùc ®iÓm trªn D.

1.1.7. TÝnh chÊt: Cho hµm f(z) chØnh h×nh trong



, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó

f(z) kh«ng cã c¸c ®iÓm bÊt th-êng kh¸c ngoµi cùc ®iÓm lµ f(z) lµ hµm h÷u tû.

1.2. §Þnh lý c¬ b¶n thø nhÊt

1.2.1. C«ng thøc Poisson-Jensen

§Þnh lý: Gi¶ sö

f z   0

lµ mét hµm ph©n h×nh trong h×nh trßn

 z R  

víi

0    R

. Gi¶ sö

a M   1, 2,... 

lµ c¸c kh«ng ®iÓm, mçi kh«ng ®iÓm

®-îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã, bv

(v = 1,2,…N) lµ c¸c cùc ®iÓm cña f trong

h×nh trßn ®ã, mçi cùc ®iÓm ®-îc kÓ mét sè lÇn b»ng béi cña nã. Khi ®ã nÕu

. , 0 , 0;      

i

z r e r R f z f z 

     

th×:

   

 

   

2 2 2

2 2

0

2 2

1 1

1

log log Re

2 2

log log .

i

M N

v

v v

R r f z f d

R Rrcos r

R z a R z b

R a z R b z







 



  

 





  

 

 

 



 

(1.1)

Chøng minh

*Tr-êng hîp 1. Hµm f(z) kh«ng cã kh«ng ®iÓm vµ cùc ®iÓm trong

 z R   .

Khi ®ã ta cÇn chøng minh:

   

 

2 2 2

2 2

0

1

log log Re .

2 2

i R r f z f d

R Rrcos r







  





   

(1.1a)

+ Tr-íc hÕt ta chøng minh c«ng thøc ®óng t¹i z = 0, nghÜa lµ cÇn chøng

minh: