Nghiệm toàn cục cho bài toán ellipic suy biến

Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 88(12): 211 - 216

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 211 http://www.lrc-tnu.edu.vn

NGHIỆM TOÀN CỤC CHO BÀI TOÁN ELLIPIC SUY BIẾN

Phạm Thị Thủy1,*, Phạm Thị Thu Hằng2

1

Trường ĐH Sư Phạm – ĐH Thái Nguyên

2

Trường ĐHKT Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên

TÓM TẮT

Trong bài báo này, dựa vào số mũ tới hạn chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại n ghiệm toàn cụ c của bài

toán Elliptic suy biến . Bên cạnh đó, chúng tôi cũng chỉ ra rằng quỹ đạo của các tập bị chặn là bị

chặn . Bằng chứng minh một cách tiệm cận compact của nửa nhóm s(t) và sử dụng điều kiện tán

xạ cho chứng minh tính chất bị chặn của tập các điểm cân bằng , ta có sự tồn tại của điểm hấp

dẫn. Hơn nữa, chứng minh được mọi nghiệm dần đến tập các điểm cân bằng với t dần đến vô

cùng. Kết quả trên là mở rộ ng củ a mộ t số kết quả trong [1], [2], [3].

Từ khóa: Bài toán Elliptic suy biến, sự tồn tạ i, điểm cân bằng

MỞ ĐẦU*

Trong những năm gần đây, có nhiều nhà Toán

học tập trung nghiên cứu sự tồn tại và không

tồn tại các nghiệm củ a lớp các phương trình

Elliptic suy biến. Đặc biệt trong [1] tác giả đã

chứng minh đượ c định lý nhúng Sobolev và

chỉ ra số mũ tới hạn là:

* 2 ( ) 2

( ) 2 k

n k

n k





trong đó

1 2 n k N k N ( ) ( 1)   

Từ số mũ tới hạn đã tìm đượ c nghiệm toàn

cục của bài toán Elliptic suy biến . Trong bài

báo này , chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại

nghiệm toàn cụ c và dáng điệu củ a nghiệm củ a

bài toán sau.

Giả sử Ω là miền giới nội với biên trơn ∂Ω

trong R3

, α, β là các số thực, xét bài toán:

0

( ) ( ) ( ) 0 (1)

( , ) 0 , , 0 (2)

( ,0) ( ) , (3)

Ut G u f u g x trong

U x t x t

U x u x x

      

   



  

trong đó:

2 2 2

2 2

2 2 2 1 2

1 2 3

( ) u u u G u x x

x x x

       

  

*

Tel: 0913 005 027

với chuẩn

1

2

1

222

2 2 2

222 1 2 ( )

1 2 3

1 2 3

S

uuu

u u x x

xxx

dx dx dx

 





  

         

và đạt

đượ c các kết quả về sự tồn tại nghiệm toàn

cục của bài toán trên.

CÁC KẾT QUẢ CHÍNH

Bổ đề 1: Với

 

*

2,2k  p

thì tồn tại mộ t số thực dương

1

0,

2

 

 

 

sao cho

X



nhúng liên tục trong

( ) p

L  .

Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có:

*

0 2

1

u u u

L X L P k

  

, (4)

với

*

*

*

2(2 ) 4 2( 1) ; 2

(2 2) 1

k

k

k

p

p

        

    

Áp dụng

*

2k 1

L H

u C u 

vào bất đẳng thức (4) ta được