Một vài vấn đề về phương trình Diophantine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC KHÁNH

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ NGỌC KHÁNH

MỘT VÀI VẤN ĐỀ VỀ

PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

i

Mục lục

Mở đầu 1

1 Giải phương trình Diophantine 3

1.1 Phương trình Diophantine . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Vành chính Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Khái niệm phương trình Diophantine . . . . . . . 5

1.1.4 Phương trình Diophantine có điều kiện . . . . . . 8

1.1.5 Tổng các số chính phương . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Một vài phương pháp giải phương trình Diophantine . . . 13

1.2.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . 13

1.2.2 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.4 Phương pháp tham số hóa . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.5 Phương trình nghiệm hữu tỷ qua tham số hóa . . . 21

1.2.6 Chứng minh phương trình nhiều vô hạn nghiệm . . 26

1.2.7 Công thức tính nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Một vài phương trình cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.1 Phương trình Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.2 Phương trình Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.3 Phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Hệ phương trình Pell 40

2.1 Hệ phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1 Tiêu chuẩn Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.2 Hệ phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Phương trình ba hệ số tổ hợp liên tiếp . . . . . . . . . . . 42

ii

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

1

MỞ ĐẦU

Số học nói chung và Phương trình Diophantine nói riêng là những lĩnh vực

cổ xưa nhất của Toán học, và cũng là lĩnh vực còn tồn tại nhiều những bài

toán, giả thuyết chưa có câu trả lời. Trong suốt quá trình phát triển của Toán

học, phương trình Diophantine luôn thu hút được nhiều người quan tâm nghiên

cứu và tìm hiểu. Chính việc đi tìm lời giải cho các bài toán hay chứng minh các

giả thuyết về phương trình Diophantine đã làm nảy sinh các lý thuyết, phương

pháp khác của Toán học. Các bài toán về phương trình Diophantine không có

quy tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Mỗi

phương trình với dạng riêng của nó đòi hỏi một cách giải đặc trưng phù hợp.

Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy mền dẻo, linh hoạt hơn cho người làm

toán.Chính vì thế, trong hầu hết các kỳ thi quan trọng như thi học sinh giỏi

Toán quốc gia, quốc tế, thi Olympic toán..., các bài toán liên quan đến phương

trình Diophantine cũng hay được đề cập đến và thường là những bài toán khó.

Việc hệ thống một cách tương đối các phương pháp giải phương trình Dio￾phantine và đưa ra các vấn đề mở về phương trình Diophantine là cần thiết

đối với việc giảng dạy và nghiên cứu toán học, đặc biệt là công tác ôn luyện

học sinh giỏi. Với lý do đó, trong luận văn này, tôi trình bày khái niệm phương

trình Diophantine, hệ phương trình Pell và tổng hợp một số phương pháp giải

phương trình và hệ phương trình này.

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia làm hai chương đề cập

đến các vấn đề sau:

Chương 1: Giải phương trình Diophantine.

1.1 Phương trình Diophantine.

1.2 Một vài cách giải phương trình Diophantine.

1.3 Một vài phương trình cổ điển.

Chương 2: Hệ phương trình Pell

2.1 Trình bày Hệ phương trình Pell.