Một vài ứng dụng của phương pháp sai phân vào giải toán trong chương trình thpt

%Ӝ*,È2'Ө&9¬Ĉ¬27Ҥ2

ĈҤ,+Ӑ&Ĉ¬1Ҹ1*

0$,7+ӎ75$1*

0Ӝ79¬,Ӭ1*'Ө1*&Ӫ$3+ѬѪ1*3+È3

6$,3+Æ19¬2*,Ҧ,72È17521*

&+ѬѪ1*75Î1+7581*+Ӑ&3+Ә7+Ð1*

Chuyên ngành : Phѭѫng pháp toán sѫcҩp

0mVӕ : 60.46.40

7Ï07Ҳ7/8Ұ19Ă17+Ҥ&6Ƭ .+2$+Ӑ&

Ĉj1ҹQJ - 1ăP 3

&{QJWUuQKÿѭӧFKRjQWKjQKWҥL

ĈҤ,+Ӑ&Ĉ¬1Ҹ1*

1JѭӡLKѭӟQJGүQNKRDKӑF 76/Ç+Ҧ,7581*

3KҧQELӋQ TS. /Ç+2¬1*75Ë

3KҧQELӋQ GS.TSKH. 1*8<ӈ19Ă10Ұ8

/XұQYăQÿѭӧFEҧRYӋ WҥL+ӝLÿӗQJFKҩPOXұQYăQ WӕWQJKLӋS7KҥFVƭ khoa

KӑF KӑSWҥLĈҥLKӑFĈj1ҹQJYjRQJj\ 15 tháng 12 QăP 3.

* &yWK͋WuPKL͋XOX̵QYăQW̩L

- Trung tâm Thông tin - +ӑFOLӋXĈҥLKӑFĈj1ҹQJ

- 7KѭYLӋQWUѭӡQJĈҥLKӑF6ѭSKҥPĈҥLKӑFĈj1ҹQJ

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng trong nhiều lĩnh

vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc

giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân. Một trong

các bài toán hay được sử dụng bằng phương pháp sai phân là tìm cách

tách một số hạng của dãy số đã cho thành tổng đại số của hai hay ba

số hạng liên tiếp của dãy khác. Cùng với đó, trong chương trình của

khối Trung học phổ thông, rất nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực: đại số,

bất đẳng thức, tích phân... cũng được giải quyết bằng phương pháp sai

phân. Với mục đích là tìm hiểu về một phương pháp giải toán trong khối

Trung học phổ thông thông qua lý thuyết sai phân và cũng nhằm mục

đích hoàn thiện hơn nữa về kiến thức để phục vụ cho công tác giảng dạy

trong môi trường Trung học phổ thông, nên tôi đã mạnh dạn lựa chọn

đề tài "Một vài ứng dụng của phương pháp sai phân vào giải toán trong

chương trình Trung học phổ thông" làm luận văn cao học cho mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Hệ thống một số kiến thức về phương pháp sai phân, từ đó trình bày

cách giải quyết bài toán trong chương trình Trung học phổ thông. Đồng

thời, nghiên cứu và ứng dụng phần mềm Maple để giải quyết các bài

toán này.

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các kiến thức sử dụng nằm trong lĩnh vực sau đây:

Giải tích, Giải tích số, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết

phương trình vi phân thường...

4. Đối tượng nghiên cứu

4.1 Đối tượng

Nghiên cứu các tính chất của sai phân, các dạng phương trình sai

phân cấp một, cấp hai và ứng dụng một phương pháp chung trong việc

giải một lớp các bài toán trong chương trình Trung học phổ thông.

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu và giải quyết các bài toán thuộc các lĩnh vực: dãy số, bất

8

Mở rộng:

Trong trường hợp khi fn = Pm(n)β

n

(β 6= 0), thì x

r

n

tìm được dưới

dạng:

1. x

r

n = Qm(n)β

n

, nếu λ 6= β.

2. x

r

n = nQm(n)β

n

, nếu λ = β.

 Nếu fn = α sin nx + β cos nx, α2 + β

2 6= 0, x 6= 0, x 6=

kπ, k ∈ Z thì tìm x

r

n = A sin nx + B cos nx.

 Nếu fn =

P

s

k=1

fnk thì tìm nghiệm riêng x

r

n =

P

s

k=1

xnk, với xnk

tương ứng là nghiệm riêng của fnk, k = 1, 2, ..., s.

b. Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình axn+1 + bxn = fn.

Phương trình này có nghiệm x

tn

n = Cλn

, với λ = −

b

a

.

Để tìm nghiệm riêng, ta xem C biến thiên theo n, có nghĩa là C là

một hàm của n và tìm x

r

n

c = Cnλ

n

.

Thay vào phương trình sai phân, ta được

Cn+1λ

n+1 + bCnλ

n = fn

⇔ ∆Cn = −

fn

bλn

.

Lấy tổng hai vế theo k từ 0 đến n − 1, ta được Cn = C0 −

1

b

n

P−1

k=0

fk

λ

k

.

Vậy x

r

n = [C0 −

1

b

n

P−1

k=0

fk

λ

k

]λ

n

.

1.3.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với

hệ số biến thiên

Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên

xn+1 = qnxn + fn, n = 0, 1, ...x0 = a (1.8)

Định lý 1.4. Nghiệm của phương trình sai phân không thuần nhất

(1.8) x

tq

n

thỏa mãn

x

tq

n = x

tn

n + x

r

n

.

9

1.4 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

1.4.1. Định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính

cấp hai

Định nghĩa 1.7. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai có dạng

axn+2 + bxn+1 + cxn = fn, a 6= 0, c 6= 0, (1.9)

hay

xn+2 = pxn+1 + qxn + fn, q 6= 0.

Nếu a, b, c, p, q là các hằng số thì (1.9) gọi là phương trình sai phân

tuyến tính cấp hai hệ số hằng số.

Nếu a, b, c, p, q là các hàm số của n thì (1.9) gọi là phương trình sai

phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.

Nếu fn ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

cấp hai tương ứng với (1.9) là :

axn+2 + bxn+1 + cxn = 0,

hay

xn+2 = pxn+1 + qxn, (1.10)

và là phương trình cấp hai không thuần nhất trong trường hợp ngược

lại.

1.4.2. Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

cấp hai

a. Nghiệm tổng quát x

tn

n

của phương trình thuần

nhất

i. Nếu phương trình đặc trưng

aλ2 + bλ + c = 0 (1.11)

có hai nghiệm thực khác nhau λ1 6= λ2 thì x

tn

n = Aλn

1 + Bλn

2

, trong đó

A, B là hai hằng số tùy ý.

ii. Nếu (1.11) có nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λ thì x

tn

n =

(A + Bn)λ

n

, trong đó A, B là các hằng số bất kỳ.

10

iii. Nếu (1.11) có nghiệm phức λ = x + iy = r(cos ϕ + isin ϕ),

r = |λ| =

√

x

2 + y

2

; ϕ = arctan

y

x

. Khi đó x

tn

n = r

n

(A cos nϕ +

B sin nϕ) trong đó A, B là các hằng số tùy ý.

b. Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x

r

n

.

 Phương pháp hệ số bất định

i. fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n).

Nếu (1.11) không có nghiệm λ = 1, thì tìm x

r

n = Qk(n) .

Nếu (1.11) có nghiệm đơn λ = 1 thì x

r

n = nQk(n).

Nếu (1.11) có nghiệm kép λ = 1 thì x

r

n = n

2Qk(n).

ii.fn = Pk(n)β

n

, trong đó Pk(n) là đa thức bậc k của n.

Nếu phương trình đặc trưng (1.11) không có nghiệm λ = β thì x

r

n =

Qk(n)β

n

.

Nếu (1.11) có nghiệm đơn λ = β thì x

r

n = n.Qk(n)β

n

.

Nếu (1.11) có nghiệm kép λ = β thì x

r

n = n

2Qk(n)β

n

.

iii.fn = Pm(n) cos βn+Ql(n) sin βn. Ký hiệu k = max{m, l}.

Nếu α = cos β ±isin β không là nghiệm của phương trình đặc trưng

(1.11) thì x

r

n = Tk(n) cos βn + Rk(n) sin βn.

Nếu α = cos β ± isin β là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

x

r

n = nTk(n) cos βn + nRk(n) sin βn.

 Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình sai phân

xn+2 = pnxn+1 + qnxn + fn. (1.12)

Có phương trình sai phân thuần nhất tương ứng là

xn+2 = pnxn+1 + qnxn (1.13)

Nếu un và vn là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (1.12), thì ta tìm

nghiệm riêng của (1.13) dưới dạng x

r

n = Anun + Bnvn. Thay x

r

n

vào

(1.12) ta được

An+2un+2+Bn+2vn+2 = pn(An+1un+1+Bn+1vn+1+qn(Anun+Bnvn))+fn

(1.14)

Ta có