Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

CAO THỊ THÚY HẰNG

MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ

NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

CAO THỊ THÚY HẰNG

MỘT VÀI TÍNH CHẤT VỀ

NGHỊCH ĐẢO CỦA HỆ SỐ NHỊ THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1. Một vài tính chất của hệ số nhị thức 4

1.1 Hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Hàm tổng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Hàm tổng của tích các hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Định lý Faulhaber cho lũy thừa của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . 11

Chương 2. Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức 17

2.1 Tổng của nghịch đảo hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Tổng lũy thừa nghịch đảo của hệ số nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chương 3. Một số bài tập hệ số nhị thức trong toán phổ thông 38

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

1

Mở đầu

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức là một định lý toán học về việc khai

triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức

bậc n thành một đa thức có n + 1 số hạng:

(x + a)

n =

Xn

k=0



n

k



x

(n−k)

a

k

với



n

k



=

n!

(n − k)!k!

là số tổ hợp chập k của n phần tử và được gọi là hệ số nhị thức. Định lý này đã được

độc lập chứng minh bởi hai người đó là nhà toán học và cơ học Isaac Newton tìm ra

trong năm 1665 và nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670. Định lý này

đặc biệt quan trọng, đã được giảng dạy ở các bậc trung học và được sử dụng để giải

quyết nhiều bài toán liên quan.

Trong nhiều chủ đề, như giải tích tổ hợp, lý thuyết đồ thị, và lý thuyết số, hệ số

nhị thức thường xuất hiện một cách tự nhiên và đóng vai trò quan trọng. Ví dụ, các

hệ số trong khai triển nhị thức chính là các hàng của tam giác Pascal. Trong toán tổ

hợp, số Catalan là dãy các số tự nhiên xuất hiện nhiều trong các bài toán đếm, dãy số

Catalan có công thức tổng quát là các hệ số nhị thức.

Nghịch đảo của hệ số nhị thức cũng xuất hiện nhiều trong các tài liệu toán học và

nhiều kết quả về đẳng thức nghịch đảo của hệ số nhị thức được tìm ra. Tuy nhiên, ta

biết rằng rất khó để tính các giá trị tổng nghịch đảo của hệ số nhị thức. Sury, Wang

và Zhao [5] đã chứng minh với λ 6= −1 có biểu diễn sau:

Xn

r=m

λ

r

￾

n

r

= (n + 1)

nX−m

r=0

λ

m+r

(λ + 1)r+1

n−Xm−r

i=0



n − m − r

i



(−1)i

m + 1 + i

+ (n + 1) λ

n+1

(λ + 1)n+2 Xn

r=m

(λ + 1)r+1

r + 1

. (1

2

D. H. Lehmer cũng chứng minh nếu |x| < 1, thì

X

m≥1

(2x)

2m

m

￾

2m

m

=

2x

√

1 − x

2

sin−1 x.

Yang và Zhao tìm ra biểu diễn của các tổng

X∞

n=1

ε

n

n(n + k)

￾

2n

n

,

X∞

n=1

ε

n

n2

(n + k)

￾

2n

n

,

X∞

n=1

ε

n

n(n + k)

￾

2n+k

n

, và X∞

n=1

ε

n

n(n + k)

￾

2n+2k

n+k

,

trong đó |ε| = 1, và k là một số nguyên dương tùy ý với k > 1.

Gần đây, Dzhumadil’daev và Yeliussizov khảo sát trường hợp tổng lũy thừa của hệ

số nhị thức với lũy thừa âm

ζk(m) = X∞

i=1



i + k − 1

k

−1

.

Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu một số tổng hữu hạn, một số chuỗi vô

hạn liên quan đến hàm nghịch đảo của hệ số nhị thức. Xuất phát từ những lí do đó

nên em mạnh dạn chọn đề tài: “Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị

thức” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nông Quốc Chinh.

Luận văn gồm 3 chương chính là:

Chương 1: Một vài tính chất của hệ số nhị thức

Chương 2: Một vài tính chất về nghịch đảo của hệ số nhị thức

Chương 3: Một số bài tập hệ số nhị thức trong toán phổ thông.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nông Quốc Chinh.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS. TS. Nông Quốc Chinh, người đã

định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Tin, Phòng Đào Tạo,

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo đã giúp đỡ em

trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học.

Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn

động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và hoàn

thành luận