Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng trong đại số ppsx

1

Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng trong đại số

------------------------------------------------

Một số trường hợp thường gặp

Dạng 1 : Nếu x

2

+ y2 =1 thì đặt

sin

os

x

y c





 



 

với

  0;2 

Dạng 2 : Nếu x

2

+ y2

=a

2

(a>0) thì đặt

sin

os

x a

y ac





 



 

với

  0;2 

Dạng 3 : Nếu

x 1

thì đặt

 

sin , ;

2 2

os , 0;

x

x c

 

 

  

   



     





 

Dạng 4 : Nếu

x m

thì đặt

 

sin , ;

2 2

os , 0;

x m

x mc

 

 

  

   



     





 

Dạng 5 :Nếu

x 1

hoặc bài toán có chứa

2

x 1 thì đặt x=

1

cos

với

3

0; ;

2 2

 

 

   

         

Dạng 6 :Nếu

x m

hoặc bài toán có chứa

2 2

x  m

thì đặt x =

os

m

c 

với

3

0; ;

2 2

 

 

   

         

Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức

2

x 1

thì đặt

x = tan



với

;

2 2

 



  

   

Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức

2 2

x  m

thì đặt

x = m tan



với

;

2 2

 



  

   

I. chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:

2

1

(1 a )(1 b )

(a b)(1 ab)

2

1

2 2



 

 

 

Giải:

Đặt: a = tg , b = tg với ,  











  



2

;

2

.

2

Khi đó: A =

(1 tg )(1 tg )

(tg tg )(1 tg tg )

(1 a )(1 b )

(a b)(1 ab)

2 2 2 2

   

     



 

 

= cos

2 cos

2

 .

















 

 



 

  

cos cos

sin sin

. 1

cos cos

sin( )

= sin ( + ) . cos ( + ) =

2

1

sin (2 + 2)

Suy ra: A =

2

1

sin (2 + 2) 

2

1

Vậy: -

2

1



(1 a )(1 b )

(a b)(1 ab)

2 2

 

 



2

1

(đpcm).

Bài 2:

Chứng minh rằng nếu x < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:

(1 + x)n

+ (1 – x)n

< 2n

(1)

Giải:

Vì x < 1 nên có thể đặt x = cost với t  (0; )

và bất đẳng thức (1) được viết thành:

(1 + cos t)n

+ (1 – cos t)n

< 2n

(2)

Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos2

2

t

và 1 – cost = 2sin2

2

t

ta được

2

n















2

t

sin

2

t

cos2n 2n

< 2n

(3)

Bởi vì 0 <

2

t

<

2



nên 0 < sin

2

t

, cos

2

t

< 1 nên chắc chắn:

cos

2n

2

t

=

n

2

2

t

cos 











< cos2

2

t

n > 1. Tương tự ta có:

sin2n

2

t

< sin2

2

t

n > 1. Do đó

2

n















2

t

sin

2

t

cos2n 2n

< 2n















2

t

sin

2

t

cos2 2

= 2n

Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh.