Một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ THU

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ THU

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2017

i

Mục lục

Mục lục ii

Danh sách ký hiệu iii

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 Một vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 7

1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Bài toán quy hoạch toàn phương 21

2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Các định lí về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 23

ii

2.2.1 Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến

tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng

buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert thực . 37

Kết luận 60

Tài liệu tham khảo 61

iii

Danh sách ký hiệu

N Tập số tự nhiên

R Tập số thực

R

n Không gian các số thực n chiều

h., .i Tích vô hướng

k.k Chuẩn

0

+F Nón lùi xa của tập lồi F

∂f(x) Dưới vi phân của f tại x

∂εf(x0) ε−Dưới vi phân của f tại x0

∇f(x) Đạo hàm của f tại x

R

m×n Không gian ma trận cấp m × n

R

n×n

S Không gian ma trận đối xứng cấp n × n

AT Ma trận chuyển vị của ma trận A

B(x

0

, ρ) Hình cầu đóng tâm x

0 bán kính ρ

H Không gian Hilbert thực

1

Mở đầu

Quy hoạch toàn phương là một bộ phận đặc biệt của quy hoạch phi tuyến,

có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và trong thực tế. Đây là vấn đề đã được

nhiều nhà Toán học nghiên cứu và xây dựng nên nhiều thuật toán để giải.

Sau khi học những kiến thức trong chuyên ngành Toán ứng dụng, với

mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng

dụng của chúng. Đồng thời muốn tìm hiểu sâu hơn về kết quả tồn tại nghiệm

của bài toán quy hoạch toàn phương. Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài

kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương".

Luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

với ràng buộc tuyến tính trong R

n và bài toán quy hoạch toàn phương lồi với

những ràng buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert. Các kết quả và

thông tin trong luận văn được viết dựa vào bài báo "On the Solution Existence

of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" của Vũ Văn

Đông và Nguyễn Năng Tâm, 2016.

Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau:

Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương này trình bày một số kiến thức

cơ sở về không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert.

Chương 2: "Bài toán quy hoạch toàn phương", chương này trình bày

nội dung bài toán quy hoạch toàn phương và sự tồn tại nghiệm của bài toán

quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trong không gian R

n và bài

toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi trong