Một vài kết quả mới về điểm Kosnita và ứng dụng

„I HÅC THI NGUYN

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

o0o

L THÀ PH×ÌNG THƒO

MËT V€I KT QUƒ MÎI V IšM

KOSNITA V€ ÙNG DÖNG

Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p

M¢ sè: 8 46 01 13

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC

PGS. TS. TR†N VI›T C×ÍNG

Th¡i Nguy¶n - 2021

i

Möc löc

Danh s¡ch h¼nh v³ iii

Danh s¡ch kþ hi»u iv

Líi c£m ìn vi

Mð ¦u 1

1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 Mët sè iºm trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Mët sè ÷íng trong tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Mët sè ành lþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita v  ùng döng 18

2.1 iºm Kosnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 ành lþ v  t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Mët v i k¸t qu£ mîi v· iºm Kosnita . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Mët sè ùng döng cõa iºm Kosnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

K¸t luªn 52

T i li»u tham kh£o 53

ii

Danh s¡ch h¼nh v³

1.1 iºm Schiffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 iºm Miquel cõa tù gi¡c to n ph¦n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Hai iºm P v  P

∗ ¯ng gi¡c trong tam gi¡c ABC . . . . . . . . . . 6

1.4 ÷íng trán Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 ÷íng th¯ng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 ành lþ Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 ành lþ Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 ành lþ Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 ành lþ Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 ành lþ Miquel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.11 Tam gi¡c ph£n chi¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.12 Kho£ng c¡ch AH = 2OM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.13 Ba ÷íng th¯ng AA0

, BB0 v  CC0 çng quy . . . . . . . . . . . . . 15

1.14 ÷íng trán Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 AX v  AX0 ¯ng gi¡c trong gâc BAC d . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 iºm Kosnita K cõa tam gi¡c ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 T¥m N cõa ÷íng trán Euler v  iºm K ¯ng gi¡c . . . . . . . . . 23

2.4 iºm Kosnita cõa ∆DEF v  iºm Schiffler cõa ∆ABC tròng nhau 24

2.5 H¼nh biºu di¹n t½nh ch§t 2.1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 ÷íng th¯ng Euler cõa ∆HaHbHc song song vîi OK . . . . . . . . 27

2.7 ành lþ Cevian Nests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 C¡c ÷íng th¯ng B0

I

0

, C0J

0

, D0K0 v  AM çng quy . . . . . . . . . 29

2.9 AA2 i qua iºm èi xùng cõa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.10 Ba iºm A2, I, A0

th¯ng h ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.11 Ba ÷íng th¯ng AX, BY, CZ çng quy t¤i P . . . . . . . . . . . . . 32

iii

2.12 IQ song song vîi ÷íng th¯ng Euler cõa ∆ABC . . . . . . . . . . 33

2.13 C¡c ÷íng th¯ng AA1, BB1, CC1 çng quy ho°c song song. . . . . 34

2.14 Tröc ¯ng ph÷ìng chung HP cõa (AA2),(BB2),(CC2) . . . . . . . 35

2.15 XO1, Y O2 v  ZO3 çng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.16 ÷íng th¯ng O1O4, O2O5 v  O3O6 çng quy . . . . . . . . . . . . . 38

2.17 Ba ÷íng trán (AB1C1),(BC1A1),(CA1B1) còng i qua mët iºm . 39

2.18 C¡c ÷íng trán AB0C

0

, BC0A0

, CA0B0 i qua £nh cõa iºm Kosnita 41

2.19 T¥m ÷íng trán Taylor cõa ∆ABC l  iºm Spieker cõa ∆A0B0C

0

. 43

2.20 ành lþ 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.21 IL i qua iºm Kosnita K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.22 HSP i qua iºm Kosnita K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.23 L

∗Ex

0 i qua iºm Kosnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv

Danh s¡ch kþ hi»u

I T¥m ÷íng trán nëi ti¸p

O T¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p

H Trüc t¥m

K iºm Kosnita

(O) ÷íng trán t¥m O

(ABC) ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC

(AB) ÷íng trán ÷íng k½nh AB

C(O; R) ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh R

R B¡n k½nh ÷íng trán ngo¤i ti¸p

r B¡n k½nh ÷íng trán nëi ti¸p

R(O) B¡n k½nh ÷íng trán t¥m O

AB ë d i ¤i sè o¤n AB

−→AB V²ctì AB

[ABC] Di»n t½ch tam gi¡c ABC

(AB, CD) Gâc giúa hai ÷íng th¯ng AB, CD

(

−→AB, −−→CD) Gâc giúa hai v²ctì AB v  CD

(ABCD) Bèn iºm i·u háa A, B, C, D

O(ABCD) Chòm i·u háa OA, OB, OC, OD

Nk

I Ph²p nghàch £o cüc I, ph÷ìng t½ch k

V

k

G Ph²p và tü t¥m G, t¿ sè k

v

Hk

O Ph²p và tü t¥m O, t¿ sè k

A(a) iºm A câ tåa ë phùc l  a

a Li¶p hñp phùc cõa a

|a| Modulo cõa sè phùc a

(c.g.c) D§u hi»u çng d¤ng c¤nh, gâc, c¤nh

(g.g) D§u hi»u çng d¤ng gâc, gâc