Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

i

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả

nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công

trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Hà Nội, tháng 3 năm 2014

Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án

GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn

ii

Lời cảm ơn

Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng

mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng

nghiệp, bạn bè và gia đình.

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến

GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận

tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp

đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện

Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý

thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi

hoàn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu

trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời

cảm ơn chân thành nhất.

Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp

Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng

hộ và giúp đỡ quý báu.

Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tôi, là nơi mà tôi có thể bày tỏ mọi

cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tôi lòng biết ơn sâu nặng và những tình

cảm không thể nói bằng lời.

Nguyễn Quốc Hoàn

iii

Mục lục

Lời cam đoan ....................................................................................................i

Lời cảm ơn .......................................................................................................ii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ..........................................................vi

Danh mục các hình vẽ và đồ thị.....................................................................vii

MỞ ĐẦU .........................................................................................................1

1 Lý do chọn đề tài ......................................................................................1

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................4

3 Phương pháp nghiên cứu..........................................................................5

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án...............................................5

5 Bố cục của luận án....................................................................................7

1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI

ABEL...........................................................................................................9

1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang ...............11

1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon

Julia – Zee ............................................................................................16

1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov ...................................16

1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee.......................................................19

1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield

(BPS)....................................................................................................21

1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn ..........................................................21

1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS).................23

1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton...24

iv

1.5 Kết luận chương 1................................................................................26

2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI

ĐỐI XỨNG TRỤC....................................................................................27

2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục ......................................27

2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm...................................................28

2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục....................................................31

2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng ..32

2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo

cao ........................................................................................................34

2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục .................34

2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục ..........................................35

2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] .................................37

2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel

[IV] ........................................................................................39

2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi

Abel [III, IV] .........................................................................41

2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích ..................42

2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng

sợi dây....................................................................................43

2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình ..............................................44

2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] .....................................52

2.5 Kết luận chương 2................................................................................56

3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG

TRƯỜNG CHUẨN ...................................................................................58

3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong.................59

3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và

[V]........................................................................................................65

v

3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn ..74

3.4 Kết luận chương 3................................................................................76

4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN.77

4.1 Hạt trong trường Wu-Yang..................................................................77

4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS ...84

4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft .............................................84

4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS................................................88

4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills.93

4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V]......................93

4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V]....................................98

4.4 Kết luận chương 4................................................................................99

KẾT LUẬN..................................................................................................100

Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án ...103

Tài liệu tham khảo .......................................................................................104

Phụ lục.........................................................................................................111

vi

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

: Mật độ Lagrangian

: Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận

: Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần

: Thế Yang-Mills

: Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần

: Vector màu

: Đạo hàm hiệp biến

: Đạo hàm phản biến

: Mật độ dòng nguồn ngoài

: Điện trường phi abel dạng thành phần

: Từ trường phi abel dạng thành phần

: Số topo

: Mật độ năng lượng trường phi abel

: 4-xung lượng chính tắc

: Spin đồng vị của hạt

: Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz

: Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz

: Cường độ trường của trường gauge Lorentz

: Ma trận của phép quay các thông số không gian

: Hàm ma trận của

vii

Danh mục các hình vẽ và đồ thị

Hình 2.1 Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị 38

Hình 2.2 Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị 38

Hình 2.3 Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel

40

Hình 2.4 Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector

với

nguồn ngoài kỳ dị

40

Hình 2.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với

nguồn ngoài kỳ dị

41

Hình 2.6 Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích

màu với nguồn ngoài kỳ dị

42

Hình 2.7 Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 46

Hình 2.8 Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 47

Hình 2.9 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với

nguồn ngoài dạng sợi dây

47

Hình 2.10 Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và

mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây

49

Hình 2.11 Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng vào tổng điện tích phi

Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây

52

Hình 4.1 Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo 96

Hình 4.2 Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo 97

Hình 4.3 Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu

dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng

quát của Einstein theo

98

1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [1] đề xướng vào năm 1954. Ý

tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các

phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills

đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống

nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử

của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về

cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [2], với việc sử

dụng mô hình nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các

lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [3]

và Salam [4] đã kết hợp cơ chế Higgs [5, 6, 7] vào trong lý thuyết của

Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây

dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình

Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối

lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà

Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết

vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi

sự trao đổi boson ở CERN năm 1973 [8, 9, 10], lý thuyết điện - yếu đã

được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được

trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc

động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa

trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm .

Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô

hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình

chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn

toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.

2

Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion

là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của

Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng

thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo

nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là

những hạt truyền tương tác.

Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn

lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những

thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như

là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt

boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì

thế các boson này còn được gọi là gauge boson.

Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô

tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai

thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn,

một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính

chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.

Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời

gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất

khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong

những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như

các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo

thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa

là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng

topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động.

Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm:

Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý

thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ

điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các

phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ

năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch

chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến

3

được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các

soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm

Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang￾Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad￾Sommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được

tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý

thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi

tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng

các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm

nghiệm cho từng trường hợp.

Trên thế giới, một số trung tâm mạnh về các vấn đề này có thể kể đến là

Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực

nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v...

Các lý thuyết Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, lý thuyết hiện đang được

thừa nhận là sơ đồ khung nhất quán cho lý thuyết các hạt cơ bản. Liên quan

đến các lý thuyết Yang-Mills, còn được gọi là lý thuyết chuẩn (gauge

theories), trong nước có các nhóm nghiên cứu về các mở rộng khác nhau của

mô hình chuẩn và các hệ quả đối với hạt cơ bản theo hướng hiện tượng luận

và đã có nhiều kết quả mới được công bố. Gần nhất với hướng nghiên cứu

của đề tài luận án này – Nghiên cứu về nghiệm của các phương trình Yang￾Mills – Có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu

nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý

của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối

xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn

và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong

các bài toán lượng tử.

Trong luận án này chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các

phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. Nhằm nghiên cứu sâu hơn các

nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills-Higgs, tìm

thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới

của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills so với

các kết quả của các tác giả đã công bố có thể nêu vắn tắt như sau:

4

(i) Chúng tôi nghiên cứu để tìm nghiệm của các phương trình Yang￾Mills cho bài toán có tính đối xứng trục - khi đó các hàm trường phụ thuộc

vào hai biến không gian là và (trường hợp đối xứng cầu thì các hàm

trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này

chúng tôi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng

được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự;

(ii) Tiếp theo, chúng tôi khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với

chỉ số topo cao ( );

(iii) Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm , xét lý thuyết

Yang-Mills đối với nhóm Lorentz , cũng là của – nhóm

đẳng cấu địa phương – và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài

toán hạt trong trường hấp dẫn.

Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý

thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills

và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực

còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt

ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng

tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu

đã chọn.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a) Mục tiêu nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như

các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết

Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên

cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải

tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường

gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn

đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng

dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường

hấp dẫn.