Một số định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

--------------------------

NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN CỦA

CÁC HÀM CHỈNH HÌNH TÁCH

VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Thái nguyên -2010

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu về ánh xạ chỉnh hình tách biến là một trong những hướng

nghiên cứu quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Các kết quả đạt được

theo hướng nghiên cứu này ngày càng nhiều và đẹp đẽ. Ngày nay nhiều nhà

toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề này với những cách

tiếp cận khác nhau.

Lịch sử phát triển của việc nghiên cứu các hàm chỉnh hình tách vô cùng

phong phú, đa dạng và đã thu được những kết quả vô cùng đẹp, có ứng dụng

lớn trong giải tích hiện đại. Nó được chia làm ba giai đoạn cụ thể sau.

Đầu tiên là giai đoạn từ năm 1899 đến năm 1967 với những đóng góp

quan trọng của các nhà bác học nổi tiếng như: Osgood, Hartogs, Hukuhara,

Shimoda, Terada… Đặc trưng chủ yếu của giai đoạn này là nghiên cứu trên

chữ thập 2-lá. Trước tiên là vào năm 1899, Osgood đã khẳng định rằng nếu

một hàm chỉnh hình tách giới nội trong miền D thì chỉnh hình trong miền đó.

Tiếp đó là vào năm 1906, Hartogs khẳng định rằng mọi hàm chỉnh hình trong

miền D đều chỉnh hình tách trong miền đó. Bước đột phá quan trọng là nghiên

cứu của Hukuhara vào năm 1930. Ông đã khẳng định rằng hàm chỉnh hình

tách giới nội địa phương trên tập X(A1,A2; D1,D2) là chỉnh hình trên D1



D2

(trong đó

1 1 2 2 A D A D   ,

) với điều kiện A2 có ít nhất một điểm tụ trong D2.

Nhưng ở đây ông lại mở rộng vấn đề bằng câu hỏi: “Với điều kiện nào của A2

thì khẳng định trên vẫn đúng”. Và phải đến hơn 30 năm sau Terada mới trả

lời được câu hỏi trên với điều kiện A2 là không đa cực.

Giai đoạn tiếp theo là từ năm 1969 đến năm 1997 với các nghiên cứu của

các nhà bác học Siciak năm 1969 và P. Zahariuta năm 1976 khi ông phát minh ra

cơ sở chung của không gian Hilber. Sau đó phương pháp của Zahariuta đã được

2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

cải tiến bởi Nguyễn Thành Vân và Zeriahi trong các công trình của hai ông vào

các năm 1991, 1995 và 1997. Đến năm 2001 với định lý chữ thập cổ điển của

Alehyane và Zeriahi đã đưa ra công thức tổng quát cho giải tích phức.

Giai đoạn thứ ba là từ năm 1998 đến năm 2001. Đặc trưng của giai đoạn

này là nghiên cứu thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích, bắt

đầu với nghiên cứu của Oktem sau đó được tổng quát hóa bởi Siciak. Kết quả

tổng quát nhất là định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải

tích và kỳ dị đa cực của Jarnicki và Pflug.

Với mục đích nghiên cứu một vài kết quả về thác triển các hàm chỉnh

hình tách, luận văn gồm những nội dung cơ bản sau:

Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị.

Nội dung chính của chương chủ yếu trình bày các khái niệm đa tạp

phức, hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi, bao chỉnh hình, hàm cực trị tương

đối, tập đa cực, đa cực địa phương, đa chính quy địa phương và hàm chỉnh

hình tách, tập kỳ dị. Tiếp đó chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ như

thác triển các hàm chỉnh hình tách và tính chất của tập đa cực, đa cực đóng

tương đối, đa chính quy địa phương để chuẩn bị cho việc trình bày chương 2.

Chƣơng 2. Định lý thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ dị đa cực.

Phần đầu chương chúng tôi trình bày sơ lược các kết quả nghiên cứu

về hàm chỉnh hình tách qua các giai đoạn phát triển của hướng nghiên cứu

này. Tiếp đó là một định lý về thác triển của các hàm chỉnh hình tách với kỳ

dị đa cực. Phần cuối chương, chúng tôi trình bày chứng minh định lý này

trong trường hợp chữ thập 2-lá và trong trường hợp tổng quát.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo TS

Nguyễn Thị Tuyết Mai. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô.

3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Em xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học

Sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em

suốt khóa học.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế

Tài chính Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa cơ bản và Bộ môn Toán

đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá

trình học tập và nghiên cứu.

Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên

khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn.

4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƢƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Đa tạp phức

1.1.1. Ánh xạ chỉnh hình

Giả sử X là một tập mở trong

n



và

f X:  

là một hàm số.

Hàm f được gọi là khả vi phức tại

0

x X 

nếu tồn tại ánh xạ tuyến

tính

:

n

   

sao cho:

 0 0     

0

lim 0

h

f x h f x h

h





  



trong đó

 1

,..., 

n

n

h h h  

và

1/2

2

1

n

i

i

h h



 

      .

Hàm f được gọi là chỉnh hình tại

0

x X 

nếu f khả vi phức trong

một lân cận nào đó của

0

x

và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh

hình tại mọi điểm thuộc X.

Một ánh xạ

:

m

f X 

có thể viết dưới dạng

f f f   1

,..., m 

trong đó

: , 1,..., i i f f X i m      

là các hàm tọa độ. Khi đó f gọi là chỉnh hình

trên X nếu

i

f

chỉnh hình trên X với mọi i=1,…,m.

Ánh xạ

:  

n

f X f X   

được gọi là song chỉnh hình nếu f là song

ánh, chỉnh hình và

1

f



cũng là ánh xạ chỉnh hình.