Một số đa thức có dạng đặc biệt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ DIỆU THÚY

MỘT SỐ ĐA THỨC CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO THỊ DIỆU THÚY

MỘT SỐ ĐA THỨC CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

Thái Nguyên - 2016

i

Mục lục

Danh sách kí hiệu ii

Lời mở đầu 1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Đa thức và vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Khái niệm và tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Phân tích đa thức thành các thừa số bất khả quy . . . . 6

1.3 Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ về đa thức đối xứng . . . . . . . . 8

1.3.2 Các kết quả cơ bản về đa thức đối xứng . . . . . . . . . 9

1.3.3 Bất đẳng thức Muirhead . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chương 2. Đa thức giá trị nguyên 14

2.1 Đa thức giá trị nguyên một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Đa thức giá trị nguyên nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Dạng q-đồng dạng của đa thức giá trị nguyên . . . . . . . . . . 19

Chương 3. Đa thức Chebyshev 22

3.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Bất đẳng thức cho các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . 34

3.4 Hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

ii

Danh sách các kí hiệu

Kí hiệu Tên

(C

k

n

)q Hệ số q−nhị thức

Tn(x) Đa thức Chebyshev

F(x, z) Hàm sinh của dãy (an(x))

h−, −i Tích vô hướng