Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP

TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH

MỘT SỐ ĐA TẠP

TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 62 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2017

3

Mục lục

Bảng ký hiệu ii

Mở đầu 1

1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân 3

1.1 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.5 Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp . . . . . . . . . 12

1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.4 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . . 24

4

1.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.3 Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.4 Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1 Liên thông trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.2 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3 Trường chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.4 Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con 33

1.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6.2 Cung trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.3 Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính 39

2.1 Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1 Cấu trúc tô pô của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.2 Cấu trúc vi phân của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.3 Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann. . . . . . . . . . . . 44

2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith . . . . . . . . . 45

2.2 Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.2 Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.3 Mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.5 Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

i

2.2.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Kết luận và Đề nghị 56

Tài liệu tham khảo 57

ii

Bảng ký hiệu

dimM Số chiều của đa tạp M

C∞(M) tập tất cả các hàm trơn trên M

C∞(E) tập các lát cắt trơn của (E, M, π)

C∞(TM) tập các trường vectơ trơn X : M → TM

S

m mặt cầu đơn vị trong Rm

TpRm tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p

TpM không gian tiếp xúc của M tại p

G đại số Lie của G

⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ

Ap hạn chế đa tuyến tính của A trên tích tenxơ TpM ⊗ ... ⊗

TpM

G(k, n) tập tất cả các không gian k chiều của R

O(k, n) tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn

ST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cột

colsp(Y ) không gian con của Rn

sinh bởi các cột của Y

I

k

n

tập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1, ..., jk) ∈ Nk với

1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n

AJ ma trận con cỡ k × k chứa các hàng j1, ..., jk của A với

A ∈ Rk×n

AC

J ma trận bù của AJ trong A