một số chuyên đề về bất đẳng thức

DongPhD Problems BookSeries

Một Số Chuyên Đề Về

Bất Đẳng Thức

Tổng hợp các Chuyên đề về Bất đẳng thức được chia sẻ trên mạng

vnMath.com

Dịch vụ

Toán học

[email protected]

Sách

Đại số

Giải tích

Hình học

Các loại

khác

Thông tin

bổ ích

(Free)

Toán

học vui

Kiếm

tiền trên

mạng

Bài báo

Giáo án

(Free)

Bản điện tử chính thức có tại

http://www.vnmath.com

http://book.vnmath.com

Contributors

Bùi Việt Anh

Võ Quốc Bá Cẩn

Nguyễn Anh Cường

Phạm Kim Hùng

Phan Thành Nam

Võ Thành Văn

Phan Thành Việt

Editors

DongPhD

Ghi chú

Sách gồm nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức hay, chẳng hạn ABC,

GLA, SOS, pqr, Mixing variables, etc.

Các chuyên đề này được tổng hợp từ các trang web sau: diendantoanhoc.net,

mathvn.com, mathvn.org, vnmath.com.

PH÷‘NG PHAŸP DO¿N BIE£N

Phan Tha¯nh Vie‰t

No‰i dung:

1. GiÙ˘i thie‰u.

2. B—T 3 bie·n vÙ˘i cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc Òo·i xˆ˘ng.

3. Do‡n bie·n baËng kÛ thua‰t ha¯m so·.

4. B—T 3 bie·n vÙ˘i cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi bie‚n.

5. B—T 4 bie·n.

6. Do‡n bie·n baËng ha¯m lo‡i.

7. Do‡n bie·n ve‡ gia˘ trÚ trung bÏnh.

8. —Únh ly˘ do‡n bie·n toÂng qua˘t.

9. NhÏn laÔi.

10. Ba¯i ta‰p.

1. GiÙ˘i thie‰u.

Ca˘c baÔn tha‚n me·n, ra·t nhie‡u trong so· ca˘c B—T ma¯ ta Òaı gaÎp co˘ da·u

Òa˙ng thˆ˘c khi ca˘c bie·n so· baËng nhau. Mo‰t vÌ duÔ kinh ÒieÂn la¯

VÌ duÔ 1: (B—T Cauchy) Cho x, y, z > 0 thÏ x + y + z ≥ 3

√3 xyz.

Co˘ the no˘i so· lˆÙÔng B—T nhˆ va‰y nhie‡u Òe·n no„i nhie‡u baÔn seı tha·y

Òie‡u Òo˘ la¯ ... hieÂn nhie‚n. Ta·t nhie‚n, kho‚ng ha˙n nhˆ va‰y. Tuy nhie‚n, trong

trˆÙ¯ng hÙÔp Òa˙ng thˆ˘c kho‚ng xa˚y ra khi ta·t ca˚ ca˘c bie·n baËng nhau thÏ ta

laÔi ra·t thˆÙ¯ng rÙi va¯o mo‰t trˆÙ¯ng hÙÔp kha˘c, toÂng qua˘t hÙn: Òo˘ la¯ co˘ mo‰t so·

(thay vÏ ta·t ca˚) ca˘c bie·n baËng nhau. ‘¤ Òa‚y chu˘ng to‚i da„n ra mo‰t vÌ duÔ seı

ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh Ù˚ pha‡n sau.

VÌ duÔ 2: (VMO) Cho x, y, z ∈ R, x

2 + y

2 + z

2 = 9. ThÏ

2(x + y + z) − xyz ≤ 10

Trong B—T na¯y thÏ da·u "=" xa˚y ra khi x = y = 2, z = −1 (va¯ ca˘c hoa˘n

vÚ).

1

Co˘ the nhie‡u baÔn seı ngaÔc nhie‚n khi bie·t raËng co¯n co˘ nhˆıng ba·t Òa˙ng

thˆ˘c ma¯ da·u "=" xa˚y ra khi ca˘c bie·n Òe‡u kha˘c nhau. VÌ duÔ sau Òa‚y cuıng

seı ÒˆÙÔc chˆ˘ng minh Ù˚ pha‡n sau.

VÌ duÔ 3: (Jackgarfukel) Cho a, b, c la¯ 3 so· thˆÔc kho‚ng a‚m va¯ co˘ to·i Òa

mo‰t so· baËng 0. ThÏ ta luo‚n co˘:

a

√

a + b

+

b

√

b + c

+

c

√

c + a

≤

5

4

√

a + b + c

‘¤ Òa‚y, da·u Òa˙ng thˆ˘c xa˚y ra khi a = 3b > 0, c = 0 (va¯ ca˘c daÔng hoa˘n vÚ).

Ca˘c baÔn co˘ the tˆÔ ho˚i la¯ ca˘c gia˘ trÚ cha˙ng haÔn nhˆ (3, 1, 0) co˘ gÏ ÒaÎc bie‰t

ma¯ la¯m cho Òa˙ng thˆ˘c xa˚y ra. Mo‰t ca˘ch trˆÔc gia˘c, ta tha·y dˆÙ¯ng nhˆ ÒieÂm

ÒaÎc bie‰t Òo˘ la¯ do co˘ mo‰t bie·n baËng 0. VÏ gia˚ thie·t la¯ ca˘c bie·n kho‚ng a‚m,

ne‚n bie·n baËng 0 co¯n ÒˆÙÔc goÔi la¯ bie·n co˘ gia˘ trÚ tre‚n bie‚n.

To˘m laÔi, trong ca˘c B—T ma¯ ta gaÎp, co˘ ca˘c trˆÙ¯ng hÙÔp da·u "=" xa˚y

ra ra·t thˆÙ¯ng gaÎp: Òo˘ la¯ trˆÙ¯ng hÙÔp ta·t ca˚ ca˘c bie·n baËng nhau (ta goÔi la¯ "cˆÔc

trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi ta‚m"), toÂng qua˘t hÙn la¯ trˆÙ¯ng hÙÔp co˘ mo‰t so· ca˘c bie·n baËng

nhau (ta goÔi la¯ "cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc co˘ tÌnh Òo·i xˆ˘ng"), mo‰t trˆÙ¯ng hÙÔp kha˘c

la¯ da·u "=" xa˚y ra khi co˘ mo‰t bie·n co˘ gia˘ trÚ tre‚n bie‚n (va¯ ta goÔi la¯ "cˆÔc trÚ

ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi bie‚n").

PhˆÙng pha˘p do‡n bie·n ÒˆÙÔc ÒaÎt ra Òe gia˚i quye·t ca˘c B—T co˘ daÔng nhˆ

tre‚n. YŸ tˆÙ˚ng chung la¯: ne·u ta Òˆa ÒˆÙÔc ve‡ trˆÙ¯ng hÙÔp co˘ hai bie·n baËng

nhau, hoaÎc la¯ mo‰t bie·n co˘ gia˘ trÚ taÔi bie‚n, thÏ so· bie·n seı gia˚m Òi. Do Òo˘

B—T mÙ˘i ÒÙn gia˚n hÙn B—T ban Òa‡u, ÒaÎc bie‰t ne·u B—T mÙ˘i chÊ co¯n mo‰t

bie·n thÏ baËng ca˘ch kha˚o sa˘t ha¯m mo‰t bie·n so· ta seı chˆ˘ng minh B—T kha˘

ÒÙn gia˚n. ChÌnh vÏ tˆ tˆÙ˚ng la¯ gia˚m da‡n so· bie·n ne‚n phˆÙng pha˘p na¯y ÒˆÙÔc

goÔi la¯ phˆÙng pha˘p do‡n bie·n.

Ba‚y giÙ¯ chu˘ng to‚i seı trÏnh ba¯y ca˘c kÛ thua‰t chÌnh cu˚a phˆÙng pha˘p

tho‚ng qua ca˘c ba¯i toa˘n cuÔ theÂ. —o·i tˆÙÔng ra·t quan troÔng ma¯ chu˘ng to‚i

muo·n baÔn ÒoÔc naÈm baÈt la¯ ca˘c B—T vÙ˘i 3 bie·n so·. Sau Òo˘, ca˘c mÙ˚ ro‰ng cho

4 bie·n seı ÒˆÙÔc trÏnh ba¯y. Cuo·i cu¯ng, chu˘ng ta Òe·n vÙ˘i ca˘c phˆÙng pha˘p

do‡n bie·n toÂng qua˘t cho n bie·n so·, trong Òo˘ baÔn ÒoÔc seı cu¯ng chu˘ng to‚i Òi tˆ¯

nhˆıng ke·t qua˚ "co ÒieÂn" tÙ˘i nhˆıng ca˚i tie·n nho˚ va¯ sau Òo˘ la¯ mo‰t ke·t qua˚

2

he·t sˆ˘c toÂng qua˘t. Tinh tha‡n xuye‚n suo·t cu˚a chu˘ng to‚i la¯ muo·n baÔn ÒoÔc

ca˚m nha‰n ÒˆÙÔc tÌnh tˆÔ nhie‚n cu˚a va·n Òe‡. Qua Òo˘, ca˘c baÔn seı ly˘ gia˚i ÒˆÙÔc

"taÔi sao", Òe ro‡i co˘ the tˆÔ mÏnh bˆÙ˘c Òi tre‚n con ÒˆÙ¯ng sa˘ng taÔo.

*Ghi chu˘: Chu˘ng to‚i seı Òa˘nh da·u ca˘c ba¯i toa˘n theo tˆ¯ng muÔc. VÏ so· lˆÙÔng

ca˘c ÒÚnh ly˘ la¯ ra·t Ìt ne‚n chu˘ng to‚i kho‚ng Òa˘nh da·u. Chu˘ng to‚i co· gaÈng ghi

te‚n ta˘c gia˚ va¯ nguo‡n trÌch da„n Òo·i vÙ˘i ta·t ca˚ ca˘c ke·t qua˚ quan troÔng, ngoaÔi

trˆ¯ nhˆıng ke·t qua˚ cu˚a chu˘ng to‚i.

2. B—T 3 bie·n vÙ˘i cˆÔc trÚ ÒaÔt ÒˆÙÔc Òo·i xˆ˘ng.

Xin pha˘c hoÔa laÔi tˆ tˆÙ˚ng cu˚a chu˘ng ta nhˆ sau. Ba¯i toa˘n cu˚a chu˘ng ta seı

co˘ daÔng f(x, y, z) ≥ 0 vÙ˘i x, y, z la¯ ca˘c bie·n so· thˆÔc tho˚a maın ca˘c tÌnh cha·t

na¯o Òa·y. —ie‡u chu˘ng ta mong muo·n la¯ seı co˘ Òa˘nh gia˘ f(x, y, z) ≥ f(t, t, z)

vÙ˘i t la¯ mo‰t ÒaÔi lˆÙÔng thÌch hÙÔp tu¯y theo mo„i lie‚n he‰ giˆıa x, y, z (ta seı

goÔi Òa‚y la¯ kÛ thua‰t do‡n ve‡ 2 bie·n baËng nhau). Sau Òo˘ chu˘ng ta kieÂm tra

f(t, t, z) ≥ 0 Òe hoa¯n ta·t chˆ˘ng minh. Lˆu y˘ raËng ne·u ca˘c bie·n Òaı ÒˆÙÔc

chuaÂn ho˘a thÏ bˆÙ˘c cuo·i chÊ la¯ ba¯i toa˘n vÙ˘i mo‰t bie·n.

Trong muÔc na¯y, chu˘ng ta seı chÊ xem xe˘t ca˘c vÌ duÔ cÙ ba˚n nha·t.

Ba¯i toa˘n 1. (B—T Cauchy) Cho x, y, z > 0, chˆ˘ng minh raËng

x + y + z ≥ 3

√3 xyz

LÙ¯i gia˚i:

VÏ B—T la¯ Òo‡ng ba‰c ne‚n baËng ca˘ch chuaÂn ho˘a ta co˘ the gia˚ sˆ˚ x+y+z = 1

(*). Vie·t laÔi ba¯i toa˘n dˆÙ˘i daÔng f(x, y, z) ≥ 0 vÙ˘i f(x, y, z)=1 − 27xyz. Ta

tha·y raËng khi thay x va¯ y bÙ˚i t =

x+y

2

thÏ Òie‡u kie‰n (*) va„n ba˚o toa¯n (tˆ˘c la¯

va„n co˘ t + t + z = 1), ne‚n ta chÊ pha˚i xem xe˘t sˆÔ thay ÒoÂi cu˚a xyz.

Theo B—T Cauchy vÙ˘i 2 bie·n (chˆ˘ng minh ra·t ÒÙn gia˚n) thÏ xy ≤ t

2

,

ne‚n xyz ≤ t

2

z. Va‰y f(x, y, z) ≥ f(t, t, z).

Cuo·i cu¯ng Òe y˘ la¯ z = 1 − 2t ne‚n ta co˘:

f(t, t, z)=1 − 27t

2

z = 1 − 27t

2

(1 − 2t) = (1 + 6t)(1 − 3t)

2 ≥ 0

va¯ ba¯i toa˘n chˆ˘ng minh xong. —a˙ng thˆ˘c xa˚y ra khi x = y va¯ 3t = 1, nghÛa

la¯ x = y = 1/3, tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i x = y = z.

3

*Nha‰n xe˘t:

1) Co˘ the nhie‡u baÔn seı bÙı ngÙı vÙ˘i ca˘ch chuaÂn ho˘a Ù˚ tre‚n. Chu˘ng to‚i xin

no˘i roı: kho‚ng co˘ gÏ la¯ bÌ aÂn Ù˚ Òa‚y ca˚. Ne·u thÌch, ca˘c baÔn hoa¯n toa¯n co˘

the chuaÂn ho˘a theo ca˘ch kha˘c, cha˙ng haÔn gia˚ sˆ˚ xyz = 1 va¯ chˆ˘ng minh

f(x, y, z) ≥ 0 vÙ˘i f(x, y, z) = x+y+z −3. Khi Òo˘ bˆÙ˘c do‡n bie·n seı la¯ chˆ˘ng

minh f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vÙ˘i t =

√xy. —e‡ nghÚ baÔn ÒoÔc tˆÔ ly˘ gia˚i vÏ sao

trong lÙ¯i gia˚i tre‚n thÏ ta xe˘t t =

x+y

2

co¯n Ù˚ Òa‚y laÔi xe˘t t =

√xy, va¯ sau Òo˘

hoa¯n tha¯nh chˆ˘ng minh theo ca˘ch na¯y.

2) BaÔn ÒoÔc co˘ the thaÈc maÈc: kho‚ng ca‡n chuaÂn ho˘a ÒˆÙÔc kho‚ng? Ca‚u tra˚ lÙ¯i

la¯: ÒˆÙÔc! Tha‰t va‰y, chu˘ng ta va„n hoa¯n toa¯n co˘ the xe˘t ba¯i toa˘n f(x, y, z) ≥ 0

vÙ˘i f(x, y, z) = x + y + z − 3

√xyz. Khi Òo˘ bˆÙ˘c do‡n bie·n seı la¯ chˆ˘ng minh

f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) vÙ˘i t =

x+y

2

hay t =

√xy Òe‡u ÒˆÙÔc. ThˆÔc cha·t, Òie‡u na¯y

hoa¯n toa¯n de„ hieÂu, no˘ chÊ la¯ sˆÔ tˆÙng ˆ˘ng giˆıa B—T co˘ Òie‡u kie‰n va¯ B—T

kho‚ng Òie‡u kie‰n (qua kÛ thua‰t chuaÂn ho˘a).

3) Chu˘ng to‚i nghÛ la¯ ca˘c baÔn seı Òo‡ng y˘ raËng: ne·u mo‰t ba¯i toa˘n Òaı chuaÂn ho˘a

(tˆ˘c la¯ B—T co˘ Òie‡u kie‰n) thÏ no˘ seı "gÙÔi y˘" cho chu˘ng ta ca˘ch do‡n bie·n (pha˚i

Òa˚m ba˚o Òie‡u kie‰n), tuy nhie‚n, ngˆÙÔc laÔi mo‰t ba¯i toa˘n chˆa chuaÂn ho˘a (B—T

kho‚ng Òie‡u kie‰n) thÏ chu˘ng ta seı co˘ nhie‡u ca˘ch Òe do‡n bie·n hÙn (no˘i chung, ta

seı choÔn ca˘ch do‡n bie·n sao cho ba˚o toa¯n ÒˆÙÔc "nhie‡u" bieÂu thˆ˘c nha·t trong

B—T - Òie‡u na¯y cuıng tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i chuaÂn ho˘a sao cho bieÂu thˆ˘c co˘ daÔng

ÒÙn gia˚n nha·t). Do Òo˘, mo‰t sˆÔ pho·i hÙÔp to·t giˆıa kÛ thua‰t chuaÂn ho˘a va¯ do‡n

bie·n la¯ mo‰t Òie‡u ca‡n thie·t. Tuy nhie‚n, khi Òaı quen vÙ˘i nhˆıng Òie‡u na¯y thÏ ca˘c

baÔn seı tha·y kho‚ng co˘ sˆÔ kha˘c bie‰t Òa˘ng ke na¯o giˆıa chu˘ng.

Ba¯i toa˘n 2. (B—T Schur) Cho a, b, c ≥ 0, chˆ˘ng minh raËng:

a

3 + b

3 + c

3 + 3abc ≥ a

2

(b + c) + b

2

(c + a) + c

2

(a + b).

LÙ¯i gia˚i:

Xe˘t f(a, b, c) = a

3 + b

3 + c

3 + 3abc − a

2

(b + c) − b

2

(c + a) − c

2

(a + b). —aÎt

t =

b+c

2

, ta hi voÔng: f(a, b, c) ≥ f(a, t, t). Xe˘t

d = f(a, b, c) − f(a, t, t) = h

b + c −

5

4

a

i

(b − c)

2

Ta tha·y vÙ˘i a, b, c la¯ ca˘c so· kho‚ng a‚m tu¯y y˘ thÏ kho‚ng chaÈc co˘ d ≥ 0. Tuy

nhie‚n, ne·u gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c} thÏ ta va„n co˘ d ≥ 0. Khi Òo˘ ta chÊ co¯n pha˚i

4

chˆ˘ng minh f(a, t, t) ≥ 0. Nhˆng B—T na¯y tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i a(a − t)

2 ≥ 0

ne‚n hieÂn nhie‚n Òu˘ng. Ba¯i toa˘n chˆ˘ng minh xong.

*Nha‰n xe˘t: Vie‰c gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c} la¯ mo‰t thu˚ thua‰t ra·t thˆÙ¯ng ÒˆÙÔc a˘p

duÔng Òe do‡n bie·n. NhaÈc laÔi la¯ ne·u B—T 3 bie·n Òo·i xˆ˘ng thÏ ta co˘ the gia˚ sˆ˚

a ≤ b ≤ c (hoaÎc a ≥ b ≥ c), co¯n trong trˆÙ¯ng hÙÔp B—T 3 bie·n hoa˘n vÚ vo¯ng

quanh thÏ ta co˘ the gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c} (hoaÎc a = max{a, b, c}).

Ba¯i toa˘n 3. Cho a, b, c la¯ 3 so· thˆÔc dˆÙng co˘ tÌch baËng 1. Chˆ˘ng minh

raËng:

1

a

+

1

b

+

1

c

+

6

a + b + c

≥ 5.

HˆÙ˘ng da„n:

Ne·u nhˆ 2 ba¯i toa˘n ban Òa‡u la¯ nhˆıng ba¯i toa˘n quen thuo‰c, thÏ Òa‚y la¯

mo‰t ba¯i toa˘n kho˘. VÙ˘i kinh nghie‰m thu ÒˆÙÔc tˆ¯ ba¯i toa˘n 1, chu˘ng ta co˘ theÂ

nghÛ ngay tÙ˘i vie‰c do‡n bie·n theo trung bÏnh nha‚n Òe khai tha˘c gia˚ thie·t

tÌch ba so· baËng 1. Mo‰t lÙ¯i gia˚i theo hˆÙ˘ng Òo˘ Òaı ÒˆÙÔc baÔn Yptsoi (—a¯i Loan)

Òˆa le‚n tre‚n die„n Òa¯n Mathlinks, ma¯ sau Òa‚y chu˘ng to‚i xin da„n laÔi mo‰t ca˘ch

vaÈn taÈt.

Ta chˆ˘ng minh ÒˆÙÔc f(a, b, c) ≥ f(a, √

bc, √

bc) ne·u gia˚ sˆ˚ a ≥ b ≥ c.

Tie·p theo, ta chˆ˘ng minh raËng f(a, √

bc, √

bc) ≥ 5, hay la¯

f



1

x

2

, x, x

≥ 5, vÙ˘i x =

√

bc

B—T na¯y tˆÙng ÒˆÙng vÙ˘i (x − 1)2

(2x

4 + 4x

3 − 4x

2 − x + 2) ≥ 0. VÏ bieÂu

thˆ˘c trong ngoaÎc thˆ˘ hai dˆÙng vÙ˘i x > 0 ne‚n chˆ˘ng minh hoa¯n ta·t. —a˙ng

thˆ˘c xa˚y ra khi va¯ chÊ khi a = b = c = 1.

Qua ca˘c vÌ duÔ tre‚n, chu˘ng ta Òaı tha·y ca˘ch do‡n bie·n ve‡ trung bÏnh co‰ng

va¯ trung bÏnh nha‚n tha‰t la¯ hˆıu duÔng. Tuy nhie‚n, ca˘c ca˘ch do‡n bie·n la¯ vo‚

cu¯ng phong phu˘ va¯ uyeÂn chuyeÂn. VÌ duÔ sau Òa‚y minh hoÔa cho Òie‡u Òo˘.

Ba¯i toa˘n 4.(Iran 1996) Chˆ˘ng minh raËng vÙ˘i a, b, c > 0 thÏ:

(ab + bc + ca)

 1

(a + b)

2

+

1

(b + c)

2

+

1

(c + a)

2



≥

9

4

.

HˆÙ˘ng da„n:

—a‚y la¯ mo‰t ba¯i toa˘n ra·t kho˘. Ca˘c baÔn co˘ the tha·y Òie‡u Òo˘ qua sˆÔ kie‰n

5

la¯ da·u "=" ÒaÔt ÒˆÙÔc ngoa¯i a = b = c co¯n co˘ a = b, c → 0.

Ca˘c baÔn ne‚n thˆ˚ Òe tha·y 2 ca˘ch do‡n bie·n tho‚ng thˆÙ¯ng la¯ trung bÏnh

co‰ng va¯ trung bÏnh nha‚n Òe‡u da„n Òe·n nhˆıng B—T vo‚ cu¯ng phˆ˘c taÔp. LÙ¯i

gia˚i sau Òa‚y la·y tˆ¯ y˘ cu˚a tha‡y Tra‡n Nam Duıng, ma¯ ne·u nhÏn kÛ baÔn seı tha·y

ÒˆÙÔc mo·i tˆÙng quan, kho‚ng chÊ trong tÌnh toa˘n ma¯ trong ca˚ tˆ duy, cu˚a ca˘c

kÛ thua‰t chuaÂn ho˘a va¯ do‡n bie·n, ma¯ chu˘ng to‚i Òaı Òe‡ ca‰p trong nha‰n xe˘t 3)

cu˚a ba¯i toa˘n 1.

VÏ B—T la¯ Òo‡ng ba‰c ne‚n ta co˘ the gia˚ sˆ˚ ab + bc + ca = 1 (*). Ba‚y giÙ¯

ta hi voÔng co˘ Òa˘nh gia˘ f(a, b, c) ≥

9

4

vÙ˘i f(a, b, c) la¯ bieÂu thˆ˘c thˆ˘ hai cu˚a

ve· tra˘i B—T ca‡n chˆ˘ng minh. ‘¤ Òa‚y t pha˚i tho˚a mo„i lie‚n he‰ Ù˚ (*), nghÛa la¯

t

2 + 2tc = 1.

BaËng ca˘ch gia˚ sˆ˚ c = min{a, b, c} ta seı chˆ˘ng minh ÒˆÙÔc f(a, b, c) ≥

f(t, t, c). Cuo·i cu¯ng, ta kieÂm tra f(t, t, c) ≥

9

4

. ‘¤ Òa‚y baÔn ÒoÔc co˘ the thay

c = 1−t

2

2t

va¯o B—T Òe tha·y:

f(t, t, c) = (1 − t

2

)(1 − 3t

2

)

2

4t

2

(1 + t

2

)

≥ 0

Ba¯i toa˘n chˆ˘ng minh xong!

*Nha‰n xe˘t: ‘¤ bˆÙ˘c cuo·i, ca˘c baÔn cuıng co˘ the kho‚ng chuaÂn ho˘a nˆıa ma¯

quay laÔi B—T Òo‡ng ba‰c:

(t

2 + 2tc)( 2

(t + c)

2

+

1

4t

2

) ≥

9

4

⇔ (t

2 + 2tc)(8t

2 + (t + c)

2

) − 9(t + c)

2

t

2 ≥ 0 ⇔ 2tc(t − c)

2 ≥ 0

Cuo·i cu¯ng chu˘ng ta Òe·n vÙ˘i mo‰t vÌ duÔ ma¯ cˆÔc trÚ kho‚ng ÒaÔt taÔi ta‚m, maÎc

du¯ B—T la¯ Òo·i xˆ˘ng. Ca˘c baÔn seı tha·y raËng, trong con ÒˆÙ¯ng cu˚a chu˘ng ta

pha‡n quan troÔng nha·t la¯ do‡n ve‡ hai bie·n baËng nhau, co¯n sau Òo˘ thÏ cˆÔc trÚ

ÒaÔt taÔi ta‚m hay kho‚ng kho‚ng pha˚i la¯ Òie‡u ma·u cho·t.

Ba¯i toa˘n 5. (VMO) Cho x, y, z la¯ ca˘c so· thˆÔc tho˚a maın: x

2 + y

2 + z

2 = 9.

Chˆ˘ng minh raËng: 2(x + y + z) − xyz ≤ 10.

LÙ¯i gia˚i.

—aÎt f(x, y, z) = 2(x + y + z) − xyz. Chu˘ng ta hi voÔng seı co˘ f(x, y, z) ≥

f(x, t, t), trong Òo˘ t

2 = (y

2 + z

2

)/2 (*) (chu˘ng to‚i nghÛ raËng ba‚y giÙ¯ baÔn ÒoÔc

Òaı tˆÔ ly˘ gia˚i ÒˆÙÔc Òie‡u na¯y). Lˆu y˘ la¯ trong (*) t co˘ the nha‰n 2 gia˘ trÚ, ÒeÂ

6

ÒÚnh y˘ ta haıy xe˘t khi t ≥ 0.

Ta co˘: d = f(x, y, z) − f(x, t, t) = 2(y + z − 2t) − x(yz − t

2

). Ta tha·y

ngay y + z − 2t ≤ 0 va¯ yz − t

2 ≤ 0. Do Òo˘ Òe co˘ d ≤ 0 ta chÊ ca‡n x ≤ 0.

Tˆ¯ Òo˘, ta gia˚ sˆ˚ x = min{x, y, z}. Xe˘t trˆÙ¯ng hÙÔp x ≤ 0. Khi Òo˘

ta do‡n bie·n nhˆ tre‚n va¯ chÊ co¯n pha˚i chˆ˘ng minh f(x, t, t) ≤ 10. Thay

t =

p

(9 − x

2)/2 ta co˘:

g(x) = f(x, t, t)=2x + 2p

2(9 − x

2) − x(9 − x

2

)/2

Ta co˘:

g

′

(x) = 3x

2

2

−

5

2

−

4x

√

18 − 2x

2

Gia˚i ra ta tha·y phˆÙng trÏnh g

′

(x)=0 chÊ co˘ 1 nghie‰m a‚m la¯ x = −1. HÙn

nˆıa g

′

lie‚n tuÔc va¯ g

′

(−2) > 0 > g(0) ne‚n suy ra g

′ ÒoÂi da·u tˆ¯ dˆÙng sang a‚m

khi Òi qua ÒieÂm x = −1. Va‰y ∀x ≤ 0 thÏ g(x) ≤ g(−1) = 10 va¯ ta co˘ Òie‡u

pha˚i chˆ˘ng minh. TrˆÙ¯ng hÙÔp na¯y Òa˙ng thˆ˘c ÒaÔt ÒˆÙÔc taÔi x = −1, y = z = 2.

Pha‡n co¯n laÔi ta pha˚i gia˚i quye·t trˆÙ¯ng hÙÔp x > 0, tˆ˘c la¯ 3 so· x, y, z Òe‡u

dˆÙng. Lu˘c na¯y da·u B—T la¯ thˆÔc sˆÔ va¯ ta chÊ ca‡n Òa˘nh gia˘ ÒÙn gia˚n chˆ˘

kho‚ng pha˚i tho‚ng qua do‡n bie·n. Ne·u x ≥ 3/4 thÏ

f(x, y, z) = 2(x+y+z)−xyz ≤ 2

p

3(x

2 + y

2 + z

2)−(

3

4

)

3 = 2√

27−

27

64

< 10

Ne·u x ≤ 3/4 thÏ

f(x, y, z) = 2(x+y+z)−xyz ≤ 2(p

2(y

2 + z

2

)+3/4) ≤= 2(√

18+3/4) < 10

Ba¯i toa˘n chˆ˘ng minh xong!

3. Do‡n bie·n baËng kÛ thua‰t ha¯m so·.

—a‚y la¯ mo‰t kÛ thua‰t ra·t quan troÔng cu˚a phˆÙng pha˘p do‡n bie·n. Tuy

nhie‚n chu˘ng to‚i giÙ˘i thie‰u no˘ ngay sau pha‡n cÙ ba˚n nha·t la¯ nhaËm trang

bÚ cho ca˘c baÔn mo‰t kÛ thua‰t ca‡n thie·t trˆÙ˘c khi Òi qua ca˘c muÔc sau. HÙn

nˆıa, chu˘ng to‚i nghÛ raËng khi Òaı quen vÙ˘i no˘ thÏ ca˘c baÔn seı kho‚ng co¯n pha˚i

pha‚n bie‰t cˆÔc trÚ ÒaÔt taÔi ta‚m hay taÔi bie‚n, va¯ do Òo˘ muÔc tie·p theo seı nheÔ

nha¯ng hÙn.

7

Trong $2 chu˘ng ta tha·y raËng Òe chˆ˘ng to˚ f(x, y, z) ≥ f(t, t, z) ta chÊ

vie‰c xe˘t hie‰u d = f(x, y, z) − f(t, t, z) ro‡i tÏm ca˘ch Òa˘nh gia˘ sao cho d ≥ 0.

Tuy nhie‚n, Òo˘ la¯ vÏ daÔng B—T qua˘ ÒÙn gia˚n, phu¯ hÙÔp vÙ˘i ca˘c bie·n ÒoÂi

ÒaÔi so·. Gia˚ sˆ˚ ta pha˚i la¯m vie‰c vÙ˘i bieÂu thˆ˘c f co˘ daÔng, cha˙ng haÔn, nhˆ:

f(x, y, z) = x

k + y

k + z

k vÙ˘i k > 0 thÏ ca˘c ca˘ch bie·n ÒoÂi ÒaÔi so· seı trÙ˚ ne‚n

ra·t co‡ng ke‡nh va¯ phˆ˘c taÔp.

KÛ thua‰t ha¯m so· du¯ng Òe gia˚i quye·t ca˘c trˆÙ¯ng hÙÔp nhˆ va‰y. YŸ tˆÙ˚ng

chÌnh the· na¯y, cha˙ng haÔn Òe chˆ˘ng minh f(x, y, z) ≥ f(x, t, t) vÙ˘i t =

(y + z)/2, ta xe˘t ha¯m: g(s) = f(x, t + s, t − s) vÙ˘i s ≥ 0. Sau Òo˘ chˆ˘ng minh

g taÍng vÙ˘i s ≥ 0 (tho‚ng thˆÙ¯ng du¯ng co‚ng cuÔ ÒaÔo ha¯m ra·t tie‰n lÙÔi), suy ra

g(s) ≥ g(0), ∀s ≥ 0, va¯ ta seı thu ÒˆÙÔc Òie‡u mong muo·n. Mo‰t trong nhˆıng

vÌ duÔ quen thuo‰c vÙ˘i ca˘c baÔn la¯ do‡n bie·n baËng ha¯m lo‡i, tuy nhie‚n dˆÙ˘i Òa‚y

chu˘ng ta seı quan sa˘t kÛ thua‰t do‡n bie·n trong bo·i ca˚nh toÂng qua˘t hÙn, co¯n

va·n Òe‡ ve‡ ha¯m lo‡i seı ÒˆÙÔc trÙ˚ laÔi Ù˚ mo‰t muÔc sau trong ba¯i toa˘n vÙ˘i n bie·n.

Chu˘ng to‚i nha·n maÔnh raËng, Òa‚y la¯ mo‰t kÛ thua‰t kho˘, bÙ˚i no˘ chˆ˘a ÒˆÔng

nhˆıng ne˘t ra·t tinh te· cu˚a phˆÙng pha˘p do‡n bie·n. Nhˆıng vÌ duÔ sau Òa‚y theÂ

hie‰n ra·t roı ve˚ ÒeÔp va¯ sˆ˘c maÔnh cu˚a phˆÙng pha˘p do‡n bie·n.

Ba¯i toa˘n 1. Cho k > 0 va¯ a, b, c la¯ ca˘c so· kho‚ng a‚m va¯ chÊ co˘ to·i Òa 1

so· baËng 0. Chˆ˘ng minh raËng:

(

a

b + c

)

k + ( b

c + a

)

k + ( c

a + b

)

k ≥ min{2,

3

2

k

} (∗)

LÙ¯i gia˚i:

Ta·t nhie‚n ta chÊ ca‡n chˆ˘ng minh B—T khi 2 = 3

2

k ⇔ k =

ln3

ln2 − 1 (ca˘c

baÔn haıy suy nghÛ taÔi sao B—T Òu˘ng cho trˆÙ¯ng hÙÔp na¯y laÔi da„n Òe·n B—T

Òu˘ng cho trˆÙ¯ng hÙÔp toÂng qua˘t). Chu˘ y˘ vÙ˘i k nhˆ tre‚n thÏ Òa˙ng thˆ˘c xa˚y

ra taÔi hai cho„ la¯ a = b = c hoaÎc a = b, c = 0 (va¯ ca˘c hoa˘n vÚ).

Kho‚ng ma·t toÂng qua˘t co˘ the gia˚ sˆ˚ a + b + c = 1 va¯ b ≥ c ≥ a. —aÎt

t =

b+c

2

va¯ m =

b−c

2

, suy ra b = t + m, c = t − m, a = 1 − 2t . Khi Òo˘ ve· tra˘i

B—T ca‡n chˆ˘ng minh la¯:

f(m) = 

1 − 2t

2t

k

+



t + m

1 − t − m

k

+



t − m

1 + m − t

k

VÏ c ≥ a ne‚n 3t − 1 ≥ m ≥ 0, va¯ 1 ≥ b + c = 2t ne‚n 1

2 ≥ t ≥

1

3

Ta seı kha˚o sa˘t f(m) tre‚n mie‡n m ∈ [0, 3t − 1] vÙ˘i t ∈ [

1

3

,

1

2

] la¯ haËng so·.

8

Ta co˘:

f

′

(m) = k(t + m)

k−1

(1 − t − m)

k+1 −

k(t − m)

k−1

(1 + m − t)

k+1

f

′

(m) ≥ 0 ⇔

(t + m)

k−1

(1 − t − m)

k+1 ≥

(t − m)

k−1

(1 + m − t)

k+1

⇔ g(m) := [ln(t − m) − ln(t + m)] −

k + 1

1 − k

[ln(1 − t − m) − ln(1 + m − t)] ≥ 0

Tie·p tuÔc kha˚o sa˘t g, ta co˘:

g

′

(m) = −



1

t − m

+

1

t + m



+

k + 1

1 − k



1

1 − t − m

+

1

1 + m − t



≥ 0

⇔

−2t

(t − m)(t + m)

+

k + 1

1 − k

.

2(1 − t)

(1 − t − m)(1 + m − t)

≥ 0 (1)

—a˘nh gia˘ k+1

1−k ≥ 2, do va‰y Òe chˆ˘ng minh (1) ta ca‡n chˆ˘ng minh

⇔

−t

t

2 − m2

+

2(1 − t)

(1 − t)

2 − m2

≥ 0 (1)

⇔ u(m) = −t + 4t

2 − 3t

3 + 3tm2 − 2m2 ≥ 0

Tha‰t va‰y, vÏ u

′

(m) < 0 ne‚n u(m) ≥ u(3t − 1) = 2(3t − 1)(2t − 1)2 ≥ 0

Va‰y g(m) Òo‡ng bie·n suy ra g(m) ≥ g(0) = 0 suy ra f

′

(m) ≥ 0 suy ra

f(m) ≥ f(0). NhÙ˘ la¯ khi m = 0 thÏ b = c = t.

Cuo·i cu¯ng, ta ca‡n chˆ˘ng minh h(t) := f(0) ≥ 2. Vie·t laÔi:

h(t) = 

1 − 2t

2t

k

+ 2 

t

1 − t

k

Ta kha˚o sa˘t h(t) tre‚n mie‡n t ∈ [0,

1

3

]. Ta co˘:

h

′

(t) = 2ktk−1

(1 − t)

k+1 −

k

2

k

.

(1 − 2t)

k−1

t

k+1 ≤ 0

⇔ 2

k+1t

2k ≤ [(1 − t)(1 − 2t)]k−1

(2)

Trong B—T cuo·i, ve· tra˘i la¯ ha¯m Òo‡ng bie·n theo t va¯ ve· pha˚i la¯ ha¯m nghÚch

bie·n theo t, va¯ lˆu y˘ la¯ t ≤

1

3

ne‚n Òe chˆ˘ng minh (2) ta ca‡n:

2

k+1 

1

3

2k

≤ [(1 −

1

3

)(1 −

2

3

)]k−1

9

Ba·t Òa˙ng thˆ˘c na¯y Òu˘ng, ne‚n h(t) nghÚch bie·n, suy ra

h(t) ≥ h(

1

3

)=2

Ba¯i toa˘n ÒˆÙÔc gia˚i quye·t troÔn veÔn!

Nha‰n xe˘t: —e tha·y ÒˆÙÔc ne˘t ÒeÔp cu˚a ba¯i toa˘n na¯y, chu˘ng to‚i xin da„n ra

mo‰t so· trˆÙ¯ng hÙÔp rie‚ng cu˚a no˘, ba˚n tha‚n chu˘ng Òaı la¯ ca˘c ba¯i toa˘n hay va¯

ÒˆÙÔc bie·t Òe·n mo‰t ca˘ch ro‰ng raıi.

1) TrˆÙ¯ng hÙÔp k = 1, ta thu ÒˆÙÔc B—T Netbit:

a

b + c

+

b

c + a

+

c

a + b

≥

3

2

—a‚y la¯ mo‰t B—T ra·t noÂi tie·ng. Mo‰t ca˘ch chˆ˘ng minh "kinh ÒieÂn" la¯:

a

b + c

+

b

c + a

+

c

a + b

+3=

a + b + c

b + c

+

a + b + c

a + c

+

a + b + c

a + b

= (a + b + c)( 1

b + c

+

1

c + a

+

1

a + b

)

≥ (a + b + c)

9

(b + c)+(c + a)+(a + b)

=

9

2

2) TrˆÙ¯ng hÙÔp k =

1

2

, ta thu ÒˆÙÔc B—T sau:

r a

b + c

+

r

b

c + a

+

r c

a + b

≥ 2

—a‚y cuıng la¯ mo‰t ba¯i toa˘n ra·t ÒeÔp, trˆÙ˘c Òa‚y ÒˆÙÔc bie·t Òe·n nhˆ mo‰t B—T

ngˆÙÔc chie‡u vÙ˘i B—T Netbit. Co˘ mo‰t lÙ¯i gia˚i ra·t ÒÙn ga˚n, chÊ du¯ng B—T

Cauchy:

r

a

b + c

=

2a

2

p

a(b + c)

≥

2a

a + b + c

3) TrˆÙ¯ng hÙÔp k ≥

2

3

, ta co˘ B—T sau:

(

a

b + c

)

k + ( a

b + c

)

k + ( a

b + c

)

k ≥

3

2

k

10

—a‚y cuıng la¯ mo‰t ba¯i toa˘n ra·t ÒeÔp Òaı ÒˆÙÔc bie·t Òe·n tˆ¯ trˆÙ˘c nhˆ la¯ mo‰t

mÙ˚ ro‰ng cho B—T Netbit (no˘ cuıng tˆ¯ng ÒˆÙÔc ÒaÍng tre‚n taÔp chÌ THTT vÙ˘i te‚n

cu˚a ta˘c gia˚ la¯ Tra‡n Tua·n Anh). Tˆ¯ ke·t qua˚ ba¯i toa˘n toÂng qua˘t, ta bie·t raËng

2/3 kho‚ng pha˚i la¯ so· to·t nha·t Òe co˘ gia˘ trÚ nho˚ nha·t la¯ 3/2

k

. Tuy nhie‚n, no˘

la¯ so· to·t nha·t theo nghÛa co˘ the a˘p duÔng B—T Cauchy theo ca˘ch sau Òa‚y. —eÂ

ÒÙn gia˚n chu˘ng to‚i trÏnh ba¯y vÙ˘i trˆÙ¯ng hÙÔp k = 2/3.

a + b + c = a +

b + c

2

+

b + c

2

≥ 3

3

r

a(

b + c

2

)

2

⇒ (

2a

b + c

)

2

3 ≥

3a

a + b + c

Cu¯ng vÙ˘i ba¯i toa˘n 1, ba¯i toa˘n sau Òa‚y cuıng la¯ mo‰t trong nhˆıng vÌ duÔ ra·t

ÒeÔp cho kÛ thua‰t ha¯m so·.

Ba¯i toa˘n 2. Cho k > 0, a, b, c ≥ 0 va¯ a + b + c = 3. Chˆ˘ng minh raËng:

(ab)

k + (bc)

k + (ca)

k ≤ max{3,(

3

2

)

k

} (∗)

LÙ¯i gia˚i:

Kho‚ng ma·t toÂng qua˘t co˘ the gia˚ sˆ˚ b ≥ c (co¯n vie‰c cho a = min hay

max thÏ tu¯y theo tÏnh huo·ng, ta seı Òie‡u chÊnh mo‰t ca˘ch "hÙÔp lÌ" khi ca‡n

thie·t).

—aÎt t = b+c

2

va¯ m = b−c

2

suy ra b = t + m, c = t − m . Khi Òo˘ ve· tra˘i B—T

ca‡n chˆ˘ng minh trÙ˚ tha¯nh:

f(m) = a

k

[(t + m)

k + (t − m)

k

]+(t

2 − m2

)

k

Ta kha˚o sa˘t f(m) tre‚n mie‡n m ∈ [0, t]. Ta co˘:

f

′

(m) = kak

[(t + m)

k−1 − (t − m)

k−1

] − 2km(t

2 − m2

)

k−1

f

′

(m) ≥ 0 ⇔ g(m) := a

k

[(t − m)

1−k − (t + m)

1−k

] − 2m ≥ 0

Ta·t nhie‚n ta chÊ ca‡n xe˘t khi k > 1 (khi k ≤ 1 thÏ ba¯i toa˘n ÒÙn gia˚n).

Ta co˘:

g

′′(m) = a

k

k(k − 1)[(t − m)

−k−1 − (t + m)

−k

] > 0

11

⇒ g

′

(m) Òo‡ng bie·n, do Òo˘ co˘ to·i Òa mo‰t nghie‰m tre‚n (0, t). VÏ g(0) =

0, g(t)=+∞ ne‚n chÊ co˘ hai kha˚ naÍng:

g(m) > 0 hoaÎc g(m) = − 0 +

TˆÙng ˆ˘ng ta co˘ f(m) Òi le‚n hoaÎc f(m) Òi xuo·ng ro‡i laÔi Òi le‚n. Trong trˆÙ¯ng

hÙÔp na¯o thÏ cˆÔc ÒaÔi cuıng ÒaÔt Ù˚ bie‚n do Òo˘

f(m) ≤ max{f(0), f(t)}

NhaÈc laÔi la¯ m = 0 ⇔ b = c = t va¯ m = t ⇔ c = 0.

De„ tha·y khi c = 0 thÏ:

f(t) = 2(ab)

k ≤



3

2

2k

ne‚n ta chÊ co¯n pha˚i xe˘t trˆÙ¯ng hÙÔp co¯n laÔi. —aÎt:

h(t) := f(0) = 2t

k

a

k + t

2k = 2t

k

(3 − 2t)

k + t

2k

Ta co˘:

h

′

(t) = −4k(3 − 2t)

k−1

t

k + 2k(3 − 2t)

k

b

k−1 + 2kb2k−1

h

′

(t) ≥ 0 ⇔ −2



3 − 2t

t

k−1

+



3 − 2t

t

k

+ 1 ≥ 0

⇔ u(x) := x

k − 2x

k−1 + 1 ≥ 0 vÙ˘i x =

3 − 2t

t

Ta co˘: u

′

(x)=[kx − 2(k − 1)]x

k−2

. VÏ u

′

(x) co˘ to·i Òa mo‰t nghie‰m tre‚n R+

ne‚n u(x) co˘ to·i Òa 2 nghie‰m trong R+, trong Òo˘ mo‰t nghie‰m la¯ x = 1.

Tˆ¯ Òo˘, ta seı gia˚ sˆ˚ a = min{a, b, c}. Khi Òo˘ ta chÊ vie‰c xe˘t khi t ≥ 1 va¯

tˆÙng ˆ˘ng seı la¯ x ≤ 1. VÏ u(x) chÊ co˘ to·i Òa 1 nghie‰m trong (0, 1) ne‚n h

′

(t)

chÊ co˘ to·i Òa 1 nghie‰m trong (1,

3

2

).

Lˆu y˘ la¯ lˆu y˘ h

′

(1) = 0, h′

(

3

2

) > 0. Do Òo˘, chÊ co˘ hai kha˚ naÍng hoaÎc h(t)

Òo‡ng bie·n hoaÎc h(t) co˘ daÔng −0+. Trong trˆÙ¯ng hÙÔp na¯o thÏ h(t) cuıng ÒaÔt

max taÔi hai bie‚n, suy ra:

h(t) ≤ max{f(1), f(

3

2

)} = max{3,(

3

2

)

2k

}

va¯ ba¯i toa˘n gia˚i quye·t xong!

12

*Nha‰n xe˘t: ‘¤ Òa‚y chu˘ng to‚i kho‚ng gia˚ thie·t a = min{a, b, c} ngay tˆ¯ Òa‡u la¯

muo·n nha·n maÔnh raËng: vie‰c do‡n ve‡ 2 bie·n baËng nhau luo‚n thˆÔc hie‰n ÒˆÙÔc

ma¯ kho‚ng ca‡n thˆ˘ tˆÔ saÈp ÒˆÙÔc giˆıa ca˘c bie·n. Ta‰n duÔng Òie‡u Òo˘, chu˘ng ta

co˘ the la¯m ca˘ch kha˘c Òe ne˘ vie‰c kha˚o sa˘t ba¯i toa˘n 1 bie·n.

Tha‰t va‰y, nhˆ trong chˆ˘ng minh Òaı chÊ ra, ta luo‚n co˘ B—T sau Òa‚y ma¯

kho‚ng ca‡n gia˚ thie·t gÏ ve‡ thˆ˘ tˆÔ cu˚a a, b, c:

f(a, b, c) ≤ max{(

3

2

)

2k

, f(a,

b + c

2

,

b + c

2

)} (∗)

Tˆ¯ Òo˘, vÙ˘i mo„i a, b, c co· ÒÚnh, xe˘t daıy so· sau: (a0, b0, c0)=(a, b, c), va¯

∀n ∈ Z

+ thÏ ta ÒÚnh nghÛa baËng quy naÔp:

(a2n−1, b2n−1, c2n−1)=(a2n−2,

b2n−2 + b2n−2

2

,

b2n−2 + b2n−2

2

)

va¯:

(a2n, b2n, c2n)=(a2n−1 + b2n−1

2

,

a2n−1 + b2n−1

2

, c2n−1)

thÏ ta co˘ ngay

f(a, b, c) ≤ max{(

3

2

)

2k

, f(an, bn, cn)}, ∀n ∈ Z

+

De„ tha·y ca˘c daıy {an}, {bn}, {bn} Òe‡u ho‰i tuÔ ve‡ 1, ne‚n chuyeÂn qua giÙ˘i haÔn

ta co˘ Òie‡u pha˚i chˆ˘ng minh.

KÛ thua‰t chuyeÂn qua giÙ˘i haÔn nhˆ va‰y cuıng kha˘ tˆÔ nhie‚n. No˘ co˘ theÂ

toÂng qua˘t le‚n tha¯nh 2 ÒÚnh ly˘ do‡n bie·n toÂng qua˘t la¯ SMV va¯ UMV ma¯

chu˘ng to‚i seı giÙ˘i thie‰u Ù˚ pha‡n sau. Cuıng sˆ˚ duÔng tÌnh lie‚n tuÔc cu˚a ha¯m so·

nhˆng vÙ˘i kÛ thua‰t kha˘c, chu˘ng to‚i co¯n ÒaÔt ÒˆÙÔc 1 ke·t qua˚ toÂng qua˘t hÙn.

Sau khi co˘ (*), co¯n mo‰t ca˘ch kha˘c Òe ÒaÔt ÒˆÙÔc Òie‡u pha˚i chˆ˘ng minh

ma¯ chÊ ca‡n sˆ˚ duÔng mo‰t so· hˆıu haÔn la‡n thay the·. Tuy nhie‚n, Òe kho˚i tru¯ng

laÈp chu˘ng to‚i seı giÙ˘i thie‰u no˘ trong muÔc B—T 4 bie·n (va¯ ca˘c muÔc sau), khi

ma¯ no˘ thˆÔc sˆÔ ca‡n thie·t.

h Co¯n trong trˆÙ¯ng hÙÔp 3 bie·n, chu˘ng to‚i seı chÊ sˆ˚ duÔng ca˘ch tie·p ca‰n ÒÙn

gia˚n nha·t (do‡n ve‡ 1 bie·n ro‡i kha˚o sa˘t), nhaËm giˆı ÒˆÙÔc tÌnh trong sa˘ng cu˚a

tˆ tˆÙ˚ng.

Chu˘ng to‚i hi voÔng raËng, sau khi ÒoÔc kÛ hai ba¯i toa˘n tre‚n, thÏ ca˘c baÔn co˘

the sˆ˚ duÔng kÛ thua‰t ha¯m so· Òe do‡n bie·n theo ca˘ch ba·t kÏ, chˆ˘ kho‚ng nha·t

13