Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con Serre

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



PHẠM MAI LAN

MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VÀ

MỘT SỐ PHẠM TRÙ CON SERRE

Chuyªn ngµnh: Đại số và lý thuyết số

M· sè: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên, 2009

Môc lôc

Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Ph¹m trï con Serre vµ mét sè chuÈn bÞ vÒ m«®un ®èi ®ång

®iÒu ®Þa ph­¬ng 6

1.1 Ph¹m trï con Serre S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 §iÒu kiÖn (CI ) trªn ph¹m trï con Serre S . . . . . . . . . 11

1.3 M«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . . . . . . . . . . . 15

2 D·y S-chÝnh quy vµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng 19

2.1 D·y S-chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 §iÒu kiÖn ®Ó Hi

I

(M) ∈ S víi mäi cÊp i < n . . . . . . . . 27

2.3 S-®é s©u vµ mét sè ®Æc tr­ng cña S-®é s©u . . . . . . . . . 35

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

2

Lêi c¶m ¬n

LuËn v¨n nµy ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm

kh¾c cña PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. Nh©n dÞp nµy t«i xin ch©n thµnh

bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c« vµ gia ®×nh.

T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi GS. TSKH NguyÔn Tù C­êng, GS. TSKH

Lª TuÊn Hoa, PGS. TS NguyÔn Quèc Th¾ng ë ViÖn To¸n häc Hµ Néi; TS.

NguyÔn ThÞ Dung cïng toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o khoa To¸n vµ Phßng §µo

t¹o sau §¹i häc tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· tËn

t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i tr­êng.

T«i còng rÊt biÕt ¬n c¸n bé, gi¸o viªn tr­êng PTTH Phôc Hoµ, Së

GD§T Cao B»ng, TØnh Cao B»ng n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o mäi ®iÒu

kiÖn thuËn lîi nhÊt ®Ó t«i hoµn thµnh kÕ ho¹ch häc tËp cña m×nh.

T«i còng xin bµy tá sù quý mÕn cña m×nh tíi gia ®×nh, bè mÑ, anh chÞ

vµ chång t«i, c¸c b¹n t«i, nh÷ng ng­êi ®· lu«n ®éng viªn, khuyÕn khÝch

t«i hoµn thµnh c«ng viÖc.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

3

Lêi nãi ®Çu

Trong suèt luËn v¨n nµy lu«n gi¶ thiÕt R lµ mét vµnh giao ho¸n,

Noether, cã ®¬n vÞ. Cho I lµ i®ªan cña R. MÆc dï ®· cã nhiÒu nhµ to¸n

häc quan t©m nghiªn cøu m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng Hi

I

(M) cña

mét R-m«®un M øng víi gi¸ I, nh­ng cho ®Õn nay ng­êi ta vÉn biÕt rÊt Ýt

th«ng tin vÒ m«®un nµy. Ngay c¶ khi M lµ h÷u h¹n sinh, m«®un ®èi ®ång

®iÒu ®Þa ph­¬ng vÉn kh«ng nhÊt thiÕt lµ h÷u h¹n sinh vµ còng kh«ng nhÊt

thiÕt lµ Artin. ThËm chÝ ng­êi ta cßn kh«ng biÕt khi nµo th× m«®un nµy

triÖt tiªu, trõ mét sè tr­êng hîp ®Æc biÖt ®­îc chØ ra.

MÆt kh¸c, c¸c tÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh￾tÝnh triÖt tiªu, tÝnh h÷u h¹n sinh, tÝnh Artin, tÝnh chÊt h÷u h¹n cña gi¸ l¹i

®­îc quan t©m ®Æc biÖt v× nh÷ng øng dông cña nã trong nhiÒu lÜnh vùc cña

to¸n häc nh­ §¹i sè Giao ho¸n, H×nh häc §¹i sè, §¹i sè Tæ hîp. Ch¼ng

h¹n, chiÒu vµ ®é s©u cña mét m«®un h÷u h¹n sinh M lµ nh÷ng bÊt biÕn

quan träng cña M ®Òu ®­îc ®Æc tr­ng qua tÝnh triÖt tiªu cña m«®un ®èi

®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng nh­ sau: §é s©u depth(I, M) cña M trong i®ªan

I lµ cÊp i bÐ nhÊt sao cho Hi

I

(M) = 0; Khi (R, m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng

th× chiÒu dim M cña M lµ cÊp i lín nhÊt ®Ó Hi

m(M) 6= 0. V× lÝ do ®ã,

ng­êi ta ®Æt ra nh÷ng c©u hái: Khi nµo th× m«®un ®èi ®ång ®iÒu triÖt tiªu?

M«®un nµy h÷u h¹n sinh ë nh÷ng cÊp nµo? T×m ®iÒu kiÖn ®Ó nã lµ m«®un

Artin. Khi nµo nã cã gi¸ h÷u h¹n?...

C¸c c©u hái nµy ®· ®­îc tr¶ lêi bé phËn bëi nhiÒu nhµ to¸n häc cho

tr­êng hîp M lµ h÷u h¹n sinh. G. Faltings 1978 ®· chØ ra r»ng cÊp r bÐ

nhÊt ®Ó Hr

I

(M) kh«ng h÷u h¹n sinh lµ

min{depth(Mp) + ht((I + p)/p) : p 6⊇ I}.

L. Melkersson 1995 tr×nh bµy mét kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ cña Faltings,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn