Về môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất

§¹i häc th¸i nguyªn

Tr-êng ®¹i häc s- ph¹m

Gi¸p Xu©n Tr-êng

VÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph-¬ng

cÊp cao nhÊt

LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

Thái Nguyên, 2012

Môc lôc

Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Mét sè vÊn ®Ò vÒ m«®un Artin 5

1.1 Tiªu chuÈn Artin cho c¸c m«®un . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 BiÓu diÔn thø cÊp cho c¸c m«®un Artin . . . . . . . . . . . 9

1.3 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 TÝnh chÊt c¬ së cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng 16

2.1 Kh¸i niÖm m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . . . . . 16

2.2 TÝnh triÖt tiªu cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . 18

2.3 TÝnh Artin cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng . . . . . . 20

3 VÒ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt 23

3.1 TÝnh catenary cho c¸c vµnh Noether . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 TÝnh chÊt (*) cho m«®un Artin . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 §Æc tr­ng tÝnh chÊt (*) cña Hd

I

(M) . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 TËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt cña Hd

I

(M) . . . . . . . . . . 31

3.5 TËp ®èi gi¸ cña Hd

I

(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1

2

Lêi c¶m ¬n

LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù chØ b¶o vµ h­íng dÉn tËn t×nh cña

PGS. TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn. C« ®· dµnh nhiÒu thêi gian h­íng dÉn vµ

gi¶i ®¸p c¸c th¾c m¾c cña t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin

bÇy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c«.

T«i xin göi tíi c¸c thÇy c« Khoa To¸n, Khoa Sau ®¹i häc Tr­êng §¹i

häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn còng nh­ c¸c thÇy c« ®· tham gia

gi¶ng d¹y khãa häc 2010-2012, lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt vÒ c«ng lao d¹y

dç trong suèt qu¸ tr×nh gi¸o dôc, ®µo t¹o cña nhµ tr­êng.

T«i xin c¶m ¬n Së Néi vô, Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o tØnh B¾c Giang,

Tr­êng THPT Bè H¹, tæ To¸n-Tin Tr­êng THPT Bè H¹, n¬i t«i ®ang c«ng

t¸c, ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn thµnh khãa häc nµy.

T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ vµ ng­êi th©n ®· quan t©m, t¹o ®iÒu

kiÖn, ®éng viªn, cæ vò ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2

3

Më ®Çu

Cho (R, m) lµ vµnh giao ho¸n Noether, ®Þa ph­¬ng vµ M lµ R-m«®un

h÷u h¹n sinh. Tõ Bæ ®Ò Nakayama ta cã

AnnR(M/pM) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR M.

RÊt tù nhiªn, theo suy nghÜ ®èi ngÉu, NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn

[CN] ®· xÐt tÝnh chÊt sau ®èi víi c¸c R-m«®un Artin A

AnnR(0 :A p) = p víi mäi i®ªan nguyªn tè p ⊇ AnnR A. (∗)

Khi R lµ vµnh ®Çy ®ñ theo t«p« m-adic, sö dông ®èi ngÉu Matlis vµ ¸p

dông tÝnh chÊt trªn cho c¸c m«®un h÷u h¹n sinh, ta thÊy r»ng tÝnh chÊt

(*) lu«n ®óng cho mäi R-m«®un Artin. Tuy nhiªn tÝnh chÊt (*) nãi chung

kh«ng cßn ®óng khi vµnh R kh«ng ®Çy ®ñ. TÝnh chÊt (*) ®­îc giíi thiÖu

bëi NguyÔn Tù C­êng vµ Lª Thanh Nhµn [CN] nh»m nghiªn cøu chiÒu

cña m«®un Artin, hä chØ ra r»ng nÕu A tháa m·n tÝnh chÊt (*) th× chiÒu

Noether cña A vµ chiÒu Krull dim(R/ AnnR A) b»ng nhau. N¨m 2007,

trong [CDN], NguyÔn Tù C­êng, NguyÔn ThÞ Dung, Lª Thanh Nhµn ®·

®Æc tr­ng tÝnh chÊt (*) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp cao nhÊt

víi gi¸ cùc ®¹i nh­ sau: Hd

m(M) tháa m·n tÝnh chÊt (*) khi vµ chØ khi

vµnh R/ AnnR Hd

m(M) lµ catenary. N¨m 2009, Lª Thanh Nhµn vµ TrÇn

Nguyªn An [NA1] ®· ®Æc tr­ng tÝnh chÊt (*) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu cÊp

i tïy ý víi gi¸ cùc ®¹i, tõ ®ã hä chØ ra r»ng nÕu R lµ catenary phæ dông

vµ c¸c thí h×nh thøc cña R lµ Cohen-Macaulay th× Hi

m(M) tháa m·n tÝnh

chÊt (*) víi mäi i. N¨m 2012, Lª Thanh Nhµn vµ TrÇn §ç Minh Ch©u

[NC] ®· ®Æc tr­ng tÝnh chÊt (*) cña m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng cÊp

cao nhÊt víi gi¸ tïy ý, tõ ®ã hä nghiªn cøu tËp i®ªan nguyªn tè g¾n kÕt,

tËp ®èi gi¸ vµ sè béi cña m«®un nµy.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3