Môđun baer và tựa baer.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THẾ VIỆT

MODUN BAER VÀ TỰA BAER

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60.46.0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến.

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết.

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết vành Baer và vành tựa-Baer được Kaplansky

nghiên cứu và phát triển từ những năm 1951, nhờ nghiên

cứu trước đó của Reinhold Baer. Kế tiếp sau đó là sự đóng

góp của các nhà nghiên cứu A.W. Chatter, S.M. Khuri, F.

Birkenmeier, S.K. Berberian,... Kể từ năm 1980, sự phát

triển của lớp mô đun mở rộng (hay còn gọi là mô đun CS)

là một phần quan trọng của lý thuyết vành.

Những nghiên cứu, đóng góp của M. Harada, B. M¨uller,

B. Osofsky, P.F. Smith, D.V Huynh, N.V. Dung, R. Wis￾bauer..., và có nhiều bài báo được công bố trên thế giới liên

quan tới lý thuyết này. Nhiều công việc đã được thực hiện

trong việc tìm kiếm các điều kiện cần và đủ để chứng tỏ

tổng trực tiếp của các môđun mở rộng là mở rộng, nhưng

kết quả vẫn còn hạn chế. Nghiên cứu về tính chất của vành

Baer và vành tựa-Baer cung cấp một cách tiếp cận mới có

thể kiểm tra về tính chất mở rộng, hay mối quan hệ của lớp

môđun khác với lớp môđun mở rộng. Vì vậy, trong đề tài

này chúng tôi tổng quan các tính chất của lớp môđun Baer

và tựa-Baer.

Được sự định hướng của TS. Trương Công Quỳnh,

tôi đã chọn đề tài : "MÔĐUN BAER VÀ TỰA BAER"

làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu

2

Thông qua luận văn, chúng tôi sẽ tổng quan một số đặc

trưng của môđun Baer và môđun tựa-Baer, qua đó làm rõ

các nghiên cứu đã có trước đây. Chỉ ra mối quan hệ giữa

môđun Baer và mở rộng của môđun Bear, mối quan hệ giữa

môđun tựa-Baer và mở rộng của môđun tựa-Baer.

3. Bố cục luận văn

Trong luận văn này,

• Chương 1 : Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị về môđun

Baer và môđun tựa-Baer

• Chương 2 : Môđun Baer

• Chương 3 : Môđun tựa-Baer và mở rộng của nó

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành. Một R-môđun phải M là:

(1) Nhóm cộng aben M cùng với

(2) Ánh xạ

M × R −→ M

(m, r) 7−→ mr

được gọi là phép nhân môđun thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Qui tắc kết hợp: (mr1)r2 = m(r1r2)

(ii) Qui tắc phân phối: (m1 + m2)r = m1r + m2r

m(r1 + r2) = mr1 + mr2

(iii) Qui tắc unita: m1 = m

trong đó m, m1, m2 là các phần tử tuỳ ý của M, r1, r2 ∈ R.

Trong đó R được gọi là vành cơ sở. Nếu M là một R-môđun phải

ta thường kí hiệu M = MR. Tương tự ta cũng định nghĩa khái

niệm R-môđun trái.

Ví dụ 1.1.1. (1) Không gian véctơ trên một trường R chính là

một môđun trên trường R.

(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như một Z-môđun. Ngược

lại, mọi Z-môđun đều thu từ nhóm aben cộng.

(3) Vành R có thể được xem như vành môđun phải (trái) trên

4

chính nó. Nhờ trường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều

tính chất của vành thông qua môđun trên vành đó.

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị. Lúc đó vành R [x] là các

đa thức ẩn x lấy hệ tử trong R. Xét R [x] với phép cộng thông

thường cùng với phép nhân môđun xác định như sau: R(a0+a1x+

. . . + anx

n

) = ra0 + ra1x + . . . + ranx

n

với mọi r ∈ R, mọi

a0, a1, . . . , an ∈ R. Thì khi đó dễ dàng chứng minh được R [x].

Định nghĩa 1.1.2. Cho M là R-môđun phải. Tập con A khác

rỗng của M được gọi là môđun con của M (ký hiệu A 6 M hay

AR 6 MR) nếu A là R-môđun phải với phép toán cộng và nhân

môđun hạn chế trên A.

Định nghĩa 1.1.3. (1) Môđun MR được gọi là đơn nếu M 6= 0

và M chỉ có hai môđun con là 0 và M.

(2) Môđun con A của M được gọi là đơn nếu R 6= 0 và R chỉ có

iđêan hai phía là 0 và M.

(3) Môđun con A của M được gọi là môđun con cực tiểu của

môđun M nếu A 6= 0 và mọi B 6 M [B  A ⇒ B = 0].

(4) Tương tự, môđun A 6 M được gọi là môđun con cực đại của

môđun M nếu như A 6= M và mọi B 6 M [A  B ⇒ B = M]

Bổ đề 1.1.1. Môđun MR là đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và với mọi

m ∈ M, m 6= 0, M = mR.

Định nghĩa 1.1.4. (a) Cho (Tα)α∈A là một tập các môđun con

nửa đơn của M. Nếu M là tổng trực tiếp các môđun con này, nghĩa

là

M =

L

A

Tα (∗)

5

thì (∗) được gọi là một phân tích nửa đơn của M.

(b) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó có một phân tích

nửa đơn.

(c) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (RR)

nửa đơn.

Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn cho nên đối với mọi vành R

tồn tại môđun nửa đơn. Ngoài ra, ta cũng thấy môđun 0 là nửa

đơn vì

0 = P

i∈∅ Mi

, Mi đơn,

nhưng 0 không đơn (theo định nghĩa).

Định nghĩa 1.1.5. Cho họ các R-môđun phải (Ai

|i ∈ i). Lúc đó

R-môđun phải Q

i∈I Ai được gọi là tích trực tiếp của họ đó. (2)

Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈I Ai

được gọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ (Ai

, i ∈ I). Ta kí hiệu

nó là L

i∈I Ai

.

Định lý 1.1.1. Giả sử M là một R-môđun phải và (Mi)i∈I là họ

các môđun con của M. Xét ánh xạ

f :

M

i∈I

Mi −→ M

xi

7−→ X

I

xi

Các điều kiện sau là tương đương:

(1) f là một đẳng cấu.

(2) Mọi phần tử x ∈ M đều có thể viết được duy nhất dưới dạng

x =

Pxi

, trong đó (xi) là phần tử của ⊕Mi

, nghĩa là có giá hữu