Các mô đun t-mở rộng và môđun t-baer

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



NGUYỄN THÚY THI

CÁC MÔ ĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



NGUYỄN THÚY THI

CÁC MÔ ĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 8460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS. TS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH

ĐÀ NẴNG – NĂM 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả nêu trong luận văn "Các môđun

t-mở rộng và môđun t-Baer" là trung thực, các nội dung có dẫn chứng

cụ thể, rõ ràng.

Nguyễn Thúy Thi

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo

hướng dẫn PGS.TS. Trương Công Quỳnh đã tận tình hướng dẫn tôi trong

suốt quá trình thực hiện để tôi có thể hoàn thành được luận văn này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý thầy cô giáo đã

tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tập của khóa học.

Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị học viên trong lớp

Đại số và Lý thuyết số Khóa 33 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình

học tập.

Cuối cùng, tôi xin được cảm ơn đến gia đình, đơn vị tôi công tác và bạn

bè đã luôn quan tâm, tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ để tôi hoàn thành

việc học của mình.

Nguyễn Thúy Thi

TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài: CÁC MÔĐUN t-MỞ RỘNG VÀ MÔĐUN t-BAER.

Ngành: Đại số và Lý thuyết số.

Họ và tên học viên: Nguyễn Thúy Thi.

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trương Công Quỳnh.

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng.

Tóm tắt: Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan và chứng minh một số tính chất

đặc trưng của "môđun t-mở rộng"và "môđun t-Baer". Từ các khái niệm môđun con cốt yếu và

môđun con đóng ta có khái niệm tổng quát hơn là môđun con t-cốt yếu và t-đóng. Khái niệm về

môđun t-mở rộng là tổng quát hóa các môđun mở rộng. Một môđun là môđun t-mở rộng nếu mọi

môđun con t-đóng là một hạng tử trực tiếp. Do đó, mọi môđun mở rộng và mọi môđun Z2-xoắn

đều là môđun t-mở rộng. Từ đó, thiết lập mối liên hệ giữa môđun t-mở rộng với môđun t-đóng và

t-cốt yếu là: một môđun M là môđun t-mở rộng khi và chỉ khi mọi môđun con của M là môđun

con t-cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Một môđun t-mở rộng chính là tổng trực tiếp

của một môđun mở rộng không suy biến và một môđun Z2-xoắn. Đặc biệt, mọi Z-môđun hữu

hạn sinh đều là môđun t-mở rộng. Ảnh đồng cấu của một môđun t-mở rộng là t-mở rộng và mọi

môđun con bất biến hoàn toàn của môđun t-mở rộng là t-mở rộng.

Khái niệm môđun t-Baer là tổng quát hóa của môđun Baer mở rộng và không suy biến.

Chúng tôi thiết lập mối quan hệ chặt chẽ giữa các tính chất của môđun t-mở rộng và môđun

t-Baer. Lớp các môđun t-Baer bao gồm các môđun t-mở rộng, môđun Baer không suy biến. Một

môđun t-Baer chính là tổng trực tiếp hai môđun Baer suy biến và Z2-xoắn. Đồng thời, chỉ ra mối

liên hệ giữa môđun t-Baer và môđun Baer, đó là, một môđun M là môđun Baer và Z2(M) là

hạng tử trực tiếp của M nếu và chỉ nếu M là môđun t-Baer và ∩ϕ∈T ker(ϕ) là một hạng tử trực

tiếp của ∩ϕ∈Tϕ

−1

(Z2(M)) với mọi tập con khác rỗng T của S. Ngoài ra, chúng tôi chỉ ra mối liên

hệ chặt chẽ giữa môđun t-mở rộng và môđun Baer, đó là một môđun là môđun t-mở rộng khi và

chỉ khi nó là môđun t-Baer và t-đối không suy biến.

Từ tính chất của vành P-mở rộng, chúng tôi đưa ra khái niệm vành P-t-mở rộng. Đặc

biệt, một vành R là vành P-t-mở rộng phải khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải là môđun t-mở

rộng, mỗi R-môđun phải là môđun t-Baer, mỗi R-môđun phải không suy biến là môđun xạ ảnh.

Chúng tôi nêu lên đặc trưng của một vành R mà mỗi R-môđun phải tự do (lần lượt là môđun tự

do hữu hạn sinh, môđun xạ ảnh xyclic) là môđun t-Baer.

Đề tài mở ra hướng nghiên cứu tiếp theo về các môđun t-mở rộng mạnh và môđun t-Baer

mạnh.

Từ khóa: Môđun con t-cốt yếu và t-đóng, Môđun t-mở rộng, Môđun t-Baer, Môđun t-đối không

suy biến, Vành P-t-mở rộng.

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện đề tài

PGS. TS. Trương Công Quỳnh Nguyễn Thúy Thi

INFORMATIONPAGE OF MASTER THESIS

Name of thesis: t-EXTENDING MODULES AND t-BAER MODULES.

Major: Algebra and Number theory.

Full name of Master student: Nguyễn Thúy Thi.

Supervisor: Assoc. Prof. Truong Cong Quynh.

Training institution: The University of Education - University of Da Nang.

Abstract: In this thesis, we expose an overview and proof of some the characteristics of "t￾extending modules"and "t-Baer modules". From the notions of essential submodules and closed

submodules we have a more general notion that are t-essential submodules and t-closed submod￾ules. The notion of t-extending modules are a generalization of extending modules. A module is

a t-extending module if every t-closed submodule is a direct summand. As a consequence, every

extending module and every Z2-torsion module are t-extending. From there, we establish connec￾tions between t-extending modules with t-closed modules and t-essential submodules: a module

M is t-extending module if and only if every submodule of M is t-essential submodule in a direct

summand of M. A t-extending module is a direct sum of a nonsingular extending module and a

Z2-torsion module. In particular, every finitely generated Z-module is t-extending. Every homo￾morphic image of a t-extending module is t-extending and every fully invariant submodule of a

t-extending module is t-extending.

The notion of t-Baer modules are a generalization of extending and nonsingular Baer mod￾ules. We establish close connections between the properties of t-extending and t-Baer. The class of

t-Baer modules contains t-extending and nonsingular Baer modules. A t-Baer module is exactly

a direct sum of two modules, a nonsingular Baer module, and an other Z2-torsion module. Also,

we show connections between t-Baer modules and Baer modules that a module M is Baer and

Z2(M) is a direct summand of M if and only if M is t-Baer and ∩ϕ∈T ker(ϕ) is a direct summand

of ∩ϕ∈Tϕ

−1

(Z2(M)) for every nonempty subset T of S. In addition, a close connection exists

between t-extending modules and t-Baer modules, in fat, a module is t-extending if ang only if it

is t-Baer anf t-cononsingular.

From the properties of P-extending rings, we show the notion os P-t-extending rings. In

particular, a ring R is right P-t-extending if ang only if every right R-module is a t-extending

module, every right R-module is a t-Baer module, every nonsingular R-module is t-Baer module,

every nonsingular R-module is projective. We characterize a ring R for which every free (resp.,

finitely generated free, cyclic projective) right R-module is t-Baer.

The topic opens the way for the further study on strongly t-extending modules and strongly

t-Baer modules.

Key words: t-essential and t-closed submodules; t-extending module; t-Baer module; t-cononsingular

module; P-t-extending ring.