Mô đun nội xạ trực tiếp đơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VÕ THỊ HỒNG SƯƠNG

MÔĐUN NỘI XẠ TRỰC TIẾP ĐƠN

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Công Quỳnh

Phản biện 1:...........................................

Phản biện 2:...........................................

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Toán học họp tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà

Nẵng vào ngày .....tháng......năm 2017.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thộng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

Nói đến đại số hiện đại không thể không nhắc đến lý thuyết vành và

môđun, nó có những ứng dụng rộng rãi trong đại số hiện đại. Một trong

những lớp môđun quan trọng trong lý thuyết vành và môđun là: môđun nội

xạ, môđun xạ ảnh, môđun tự do, môđun hữu hạn sinh. . . Ngoài ra các đặc

trưng của các lớp vành Artin, Nơte, nửa đơn,. . . thông qua lớp các môđun

trên đã được nghiên cứu trong những năm gần đây. Hơn nữa, các đặc trưng

của vành được nghiên cứu dưới điều kiện nội xạ đã thu hút nhiều tác giả

trong và ngoài nước nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu về môđun nội xạ các nhà toán học đã đi

sâu vào các lớp môđun nội xạ đồng thời nghiên cứu các lớp môđun nội xạ

mở rộng: tựa nội xạ, giả nội xạ, nội xạ đơn, nội xạ cực tiểu, nội xạ trực tiếp.

Mặt khác, một trong những lớp môđun nội xạ được nghiên cứu gần đây đó

là môđun nội xạ trực tiếp đơn.

Luận văn trình bày về môđun nội xạ trực tiếp đơn, các tính chất và

ứng dụng của nó trong quá trình đưa ra đặc trưng của các vành: vành Artin

chuỗi, V -vành, vành chính quy,. . .

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Cấu trúc môđun xuất hiện trong hầu hết các lý thuyết toán học hiện

đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành,

iđêan, nhóm Aben và không gian vectơ. Dựa vào một số kết quả của tác giả

Mohamed Yousif, Yasser Ibrahim, Victor Camillo và Yiqiang Zhou (2014)

về môđun nội xạ trực tiếp đơn, chúng tôi thấy rằng cần thiết phải nghiên

cứu các tính chất của môđun nội xạ trực tiếp đơn từ đó sử dụng chúng để

2

nghiên cứu đặc trưng của các vành. Chẳng hạn, một vành R là nửa Artin

khi và chỉ khi mọi R-môđun phải nội xạ trực tiếp đơn là nội xạ, vành chính

quy R là V -vành phải (nghĩa là, mọi R-môđun phải đơn là nội xạ) nếu và

chỉ nếu mọi R-môđun phải cyclic là nội xạ trực tiếp đơn. . .

Từ những lý do trên mà chúng tôi chọn đề tài “Môđun nội xạ trực tiếp

đơn”.

2. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ

Có hai phương pháp nghiên cứu vành: nghiên cứu nội tại và nghiên

cứu vành thông qua Mod-R. Nhiều nhà toán học đã lựa chọn nghiên cứu

đặc trưng của các vành thông qua một số lớp môđun. Một trong những

lớp môđun đóng vai trò quan trọng là môđun nội xạ. Các nhà toán học đã

lựa chọn hướng nghiên cứu các mở rộng của môđun nội xạ để áp dụng vào

việc đưa ra đặc trưng của các vành, tiêu biểu là: Smith, Wisbauer, Chen

Zhizhong, Nicholson, Thuyet, Quynh, Dung, Huynh,. . .

Khái quát hóa là: nghiên cứu lớp các môđun tổng quát hóa các môđun

nội xạ và trong trường hợp này cụ thể là nội xạ trực tiếp đơn và áp dụng

đưa ra đặc trưng các vành liên quan.

Khái niệm về môđun nội xạ được biết đến từ thập niên 90 của thế kỉ

XX. Năm 1940, Baer đưa ra tiêu chuẩn về môđun nội xạ : R-môđun phải

M được gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu với bất kỳ iđêan phải I của R, với

mọi đồng cấu I

f

−→ M đều có thể mở rộng thành đồng cấu R

g

−→ M.

Từ đó các nhà toán học đã đưa ra các khái niệm tương tự về môđun

nội xạ: Một môđun M là môđun nội xạ nếu nó thỏa mãn một trong các

điều kiện tương đương sau:

(1). Với mọi môđun N và môđun con A bất kì của N, mọi đồng cấu

A

f

−→ M đều có thể mở rộng thành đồng cấu N

g

−→ M.

3

(2). Với bất kỳ môđun N, thì mọi đơn cấu N

f

−→ M là chẻ ra.

(3). M không có mở rộng cốt yếu thực sự.

Kết hợp với tiêu chuẩn mà Baer đã đưa ra ta có thể chứng minh một môđun

là môđun nội xạ theo một trong bốn cách trên.

Khi nghiên cứu về môđun nội xạ các nhà toán học đã xét các trường hợp

khái quát hóa của khái niệm nội xạ và đưa ra các kết quả sau:

- Từ tiêu chuẩn của Baer, nếu I là iđêan chính bất kỳ thì khi đó ta có

khái niệm P-nội xạ. Điều này tương đương với f là phép nhân trái bởi một

phần tử m nào đó trong M.

- Cho M, N là các môđun cho trước, nếu M và N thỏa mãn điều kiện

(1) thì M được gọi là N-nội xạ.

- Trong điều kiện (1), lấy môđun N bằng môđun M thì ta có khái

niệm môđun tựa nội xạ.

- Trong điều kiện (1), nếu A

f

−→ M là đơn cấu bất kỳ thì M được gọi

là N-giả nội xạ và nếu M là M-giả nội xạ thì M được gọi là giả nội xạ.

- Cũng trong điều kiện (1), nếu A là môđun con đơn bất kỳ của M thì

M được gọi là N-nội xạ cực tiểu.

Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, năm 1976 W.K.Nicholson đã đưa ra

khái niệm môđun nội xạ trực tiếp: một R-môđun M là nội xạ trực tiếp

nếu cho N là một hạng tử trực tiếp bất kỳ của M và bất kỳ đơn cấu

g : N → M thì tồn tại một tự đồng cấu f của R-môđun M sao cho

fg = ιN . Trong đó, ι : N ,→ M là phép nhúng chính tắc (đơn cấu chính

tắc).

Năm 2014, Victor Camillo, Yasser Ibrahim và Mohamed Yousif đã đưa

ra khái niệm môđun nội xạ trực tiếp đơn: một môđun M là nội xạ trực tiếp

đơn nếu với bất kỳ các môđun con đơn A và B của M mà A ∼= B và B

4

là hạng tử trực tiếp của M thì A cũng là hạng tử trực tiếp của M. Hơn

nữa, mọi môđun nội xạ trực tiếp là nội xạ trực tiếp đơn.

Dựa trên các lớp môđun của môđun nội xạ các nhà toán học đã khai

thác các tính chất của từng lớp môđun và từ đó mở rộng đưa ra đặc trưng

của các vành ví dụ như vành QF, vành P-nội xạ, vành CS, . . .

Như vậy có rất nhiều tác giả nghiên cứu theo hướng này vì vậy việc

tìm hiểu lớp môđun nội xạ trực tiếp đơn và áp dụng vào một số vành liên

quan là một việc làm cần thiết.

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Với mục tiêu nghiên cứu khái niệm và các tính chất của môđun nội xạ

trực tiếp đơn từ đó tổng quan về vành nội xạ trực tiếp đơn để đưa ra đặc

trưng của các vành chuỗi Artin, V -vành,...

4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình, sách, các bài báo viết về môđun nội

xạ, môđun nội xạ trực tiếp và nhằm hệ thống lại các tính chất một cách

hợp lý và đưa ra các đặc trưng của các vành liên quan.

5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã sử dụng các phương

pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp lôgic (tính hệ thống),

phương pháp chuyên gia (cố vấn).

6. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài đóng góp thiết thực trong việc nghiên cứu về môđun nội xạ,

môđun nội xạ trực tiếp, môđun nội xạ trực tiếp đơn và các vành C2, V -

vành, vành Artin chuỗi,. . . . trong chương trình toán ở đại học và sau đại học.

7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

5

Chương I: Trình bày các khái niệm, định lý cơ bản về môđun, môđun

nội xạ, môđun tựa nội xạ, vành, vành Artin, V-vành,. . .

Chương II: Nêu định nghĩa và các tính chất của môđun nội xạ trực

tiếp, vành C2.

Chương III: Nêu định nghĩa, các tính chất của môđun nội xạ trực tiếp

đơn, ứng dụng nêu ra đặc trưng của vành Artin chuỗi, V -vành.

6

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Các khái niệm, tính chất và định lý trong chương này chủ yếu trích từ

tài liệu [10]. Trong luận văn này vành R đã cho là vành có đơn vị là 1. Mọi

môđun đã cho là R-môđun phải.

1.1. Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là

thỏa mãn điều kiện tăng (ACC) trong trường hợp mọi dãy

L1 ≤ L2 ≤ ... ≤ Ln ≤ ...

trong L tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).

Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa mãn điều kiện

tăng (DCC) trong trường hợp mọi dãy

L1 ≥ L2 ≥ ... ≥ Ln ≥ ...

trong L tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).

Môđun MR được gọi là Nơte nếu MR thỏa điều kiện dãy tăng hoặc

mọi tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại.

Môđun MR được gọi là Artin nếu thỏa điều kiện dãy giảm hoặc mọi

tập khác rỗng các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.

Định nghĩa 1.1.2. Vành R được gọi là Nơte phải (Artin phải) nếu

môđun RR là Nơte (Artin).

Cho dãy hữu hạn các môđun con nào đó của một môđun M. Giả sử

đó là:

0 = B0 ≤ B1 ≤ ... ≤ Bk−1 ≤ Bk = M

kí hiệu là B.