Ma trận khoảng và phương trình tuyến tính khoảng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGÔ THỊ DIỆU MY

MA TRẬN KHOẢNG

VÀ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHOẢNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

28 tháng 01 năm 2018.

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

TS. Phạm Quý Mười

TS. Trần Đức Thành

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Nói đến toán học người ta thường nghĩ đến những gì chính xác tuyệt

đối, chỉ có thể là đúng hoặc sai. Một số hiện tượng như chỉ số CPI, KPI,. . .

luôn biến động không ngừng theo thời gian và tạo thành những điểm đáy và

đỉnh. Từ đó, chúng tạo thành những khoảng giá trị hay tập giá trị. Trước

yêu cầu của thực tế này, một hướng nghiên cứu toán học mới ra đời đó là

giải tích khoảng.

Trong tập các khoảng đóng trong R được trang bị các phép toán số học

như phép cộng:

[a, a¯] +

b,

¯b

=

a + b, a¯ + ¯b

phép nhân vô hướng:

λ. [a, a¯] = [min{λa, λa¯}, max{λa, λa¯}]

và phép nhân:

[a, a¯] ∗

b,

¯b

=

min 

ab, a¯b, ab¯ , a¯

¯b

, max 

ab, a¯b, ab¯ , a¯

¯b

Nhờ đó, ta có thể định nghĩa được ma trận khoảng và các phép toán của

ma trận khoảng trên không gian khoảng I (R).Tuy nhiên, tập (I (R), +)

không là nhóm, (I (R), +, .) không là không gian vecto và (I (R), +, ∗)

không là vành nên một số tính chất của ma trận số không thể chuyển sang

ma trận khoảng.

Bên cạnh đó, trong I (R) ta có A − A có thể khác không. Ví dụ như

[1, 2] − [1, 2] = [−1, 1] 6= [0, 0] .

Do đó, X = B − A chưa chắc là nghiệm của phương trình A + X = B.

Với mục đích tìm hiểu sâu hơn về ma trận khoảng và cùng với sự định

2

hướng của TS. Phan Đức Tuấn tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Ma trận

khoảng và phương trình tuyến tính khoảng ” cho luận văn thạc sĩ của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cách xây dựng các phép toán trên ma trận khoảng và các

tính chất của các phép toán ấy. Áp dụng các tính chất trên vào giải các

phương trình tuyến tính khoảng.

3. Đối tượng nghiên cứu

Ma trận khoảng, các phép toán số học trên ma trận khoảng, ma trận

khoảng nghịch đảo và phương trình tuyến tính khoảng.

4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phép toán cộng, phép nhân vô

hướng, phép nhân hai ma trận khoảng. Giải một số phương trình tuyến tính

bậc nhất trên không gian khoảng.

5. Phương pháp nghiên cứu

Dựa theo các khái niệm, phép toán và tính chất đã có của ma trận số

ta chuyển chúng sang cho ma trận khoảng. Tuy nhiên, các phép toán trên

không gian I (R) không có một số khác biệt nên không phải những gì có

trên ma trận số sẽ có trên ma trận khoảng.

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách vở

có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả

về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn gọn, theo hệ thống khoa học với các

chứng minh chi tiết.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Có thể sử dụng luận văn như là tài

liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và giảng viên giảng dạy bộ

môn Toán.

3

7. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn được

chia làm ba chương. Chương 1, trình bày một số khái niệm cơ bản của tập

khoảng. Trang bị các phép toán số học cho tập khoảng. Trình bày lại một

số kết quả liên quan đến ma trận số, chứng minh chi tiết các kết quả đã

nêu và đưa ra kết quả để làm rõ hơn các kết quả ấy. Chương 2, trình bày

các khái niệm chung và các phép toán của ma trận khoảng, định nghĩa ma

trận khoảng và cách tính của nó. Chương 3, trình bày lời giải cho các dạng

phương trình tuyến tính khoảng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa nhằm

làm rõ thêm các kết quả đã nêu.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. KHÔNG GIAN KHOẢNG

1.1.1. Các khái niệm về khoảng

a. Tập khoảng

Nhớ lại rằng, khoảng đóng trong R được ký hiệu là [a, b] và

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} .

Ta ký hiệu

I(R) = {[a, b] : a, b ∈ R, a ≤ b}

là tập các khoảng đóng trong R (thu gọn ta chỉ gọi tập các khoảng trong

R).

Với mỗi khoảng x˜ ∈ I(R), các điểm đầu và điểm cuối của x˜ sẽ được

ký hiệu tương ứng là x và x. Khi đó x˜ = [x, x].

Hai khoảng x˜ và y˜ được cho là bằng nhau nếu chúng là cùng một tập.

Do đó

x˜ = ˜y ⇔



x = y

x = y.

(1.1)

b. Khoảng suy biến

Ta nói rằng khoảng x˜ là suy biến nếu x = x. Như vậy, một khoảng

suy biến chỉ chứa một số thực x. Do đó, ta quy ước một số thực x là một

khoảng suy biến [x, x]. Theo đó, chúng ta sẽ hiểu 0 = [0, 0] và R ⊂ I(R).

5

1.1.2. Giao, hợp và khoảng đóng của hai khoảng

Giao của hai khoảng x˜ và y˜ là rỗng nếu y < x hoặc x < y. Trong

trường hợp này ta viết

x˜ ∩ y˜ = ∅,

để chỉ ra rằng x˜ và y˜ không có điểm chung. Ngược lại, ta có x˜ ∩ y˜ là một

khoảng xác định bởi

x˜ ∩ y˜ = {z : z ∈ x, z ˜ ∈ y˜}

=

h

max n

x, yo

, min {x, y}

i

.

Trong trường hợp sau này, hợp của x˜ và y˜ cũng là một khoảng xác định bởi

x˜ ∪ y˜ = {z : z ∈ x˜ ∨ z ∈ y˜}

=

h

min n

x, yo

, max {x, y}

i

.

Nhìn chung, hợp của hai khoảng không phải là một khoảng. Tuy nhiên,

khoảng đóng của hai khoảng được xác định bởi

x˜∪y˜ = [min{x, y}, max {x, y}],

luôn luôn là một khoảng và có thể được sử dụng trong tính toán khoảng.

Chúng ta có

x˜ ∪ y˜ ⊆ x˜∪y, ˜

cho bất kỳ hai khoảng x˜ và y˜.

a. Độ rộng, trị tuyệt đối và giá trị trung bình của khoảng

i. Độ rộng của khoảng x˜ định nghĩa bởi

w(x˜) = x − x.

ii. Trị tuyệt đối của khoảng x˜ được ký hiệu là |x˜| và được xác định bởi

|x˜| = max{|x|, |x|}.

6

iii. Giá trị trung bình của khoảng x˜ được xác định bởi

m(x˜) = 1

2

(x + x).

1.1.3. Các phép toán số học trên I(R)

a. Phép cộng

Phép cộng được xác định bởi công thức

x˜ + ˜y = [x + y, x + y]. (1.2)

b. Phép nhân

Phép nhân của hai khoảng x, ˜ y˜ được ký hiệu x. ˜ y˜ và xác định bởi công

thức

x. ˜ y˜ = [min S, max S].

trong đó

S = {xy, xy, xy, xy}. (1.3)

c. Phép chia

Như với số thực, phép chia có thể được thực hiện thông qua phép nhân

bởi nghịch đảo của các toán hạng thứ hai. Đó là

x/˜ y˜ = ˜x.(1/y˜), (1.4)

trong đó

1

y˜

=



y :

1

y

∈ y˜



=

"

1

y

,

1

y

#

, (1.5)

với điều kiện 0 ∈/ y. ˜

Ví dụ 1.1.1. Cho x˜ = [−1, 2] và y˜ = [5, 7], ta có

1/y˜ =



1

7

,

1

5

,



,

suy ra

x/˜ y˜ = ˜x.(1/y˜) = [min S, max S] = 

−

1

5

,

2

5



,