Lý thuyết về số đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————o0o———————

NGUYỄN MẠNH HÙNG

LÝ THUYẾT VỀ SỐ ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Lời cảm ơn 3

Mở đầu 4

1 Số đại số và số nguyên đại số 5

1.1 Đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Đa thức nguyên bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Số đại số và số nguyên đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Các trường số 14

2.1 Trường số đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Chuẩn và vết của một phần tử của trường số đại số . . . . . 16

2.3 Biệt thức của một hệ các phần tử của trường số . . . . . . . 18

2.4 Vành các số nguyên đại số OK . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Nhân tử hóa 24

3.1 Phần tử khả nghịch, quan hệ chia hết, phần tử bất khả quy

trong vành OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Sự phân tích thành các nhân tử bất khả quy trong vành OK . 25

3.3 Trường số chuẩn Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Iđêan 31

4.1 Iđêan của vành giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Iđêan của vành OK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Chuẩn của một Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

4.4 Sự phân tích một Iđêan không tầm thường thành tích các Iđêan

nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.5 Iđêan nguyên tố cùng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Các lớp Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo Thạc sĩ của trường

Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.

Nông Quốc Chinh. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng

dẫn, người đã tạo cho tôi một tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành

nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường

Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận

tình giảng dạy và trang bị đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết

và hoàn thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại

học Thái Nguyên, khoa Sau đại học trường Đại học Sư phạm, và trường Cao

Đẳng Dược Phú Thọ tỉnh Phú Thọ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ

tôi trong suốt thời gian tôi học tập.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ tôi cả

về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

Mở đầu

Số đại số và số nguyên đại số là lĩnh vực đã được nhiều nhà toán học dành

nhiều thời gian nghiên cứu. Trong nước ta lý thuyết số được đưa vào chương

trình học tập của học sinh phổ thông ở tất cả các cấp học. Có thể nói rằng

đây là một lĩnh vực lý thú của toán học - và hiện nay vẫn được nhiều giáo

viên và học sinh, sinh viên yêu thích. Vì những lý do như vậy nên tôi chọn

“lý thuyết về số đại số” làm đối tượng nghiên cứu trong luận văn của mình.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 4 chương như sau.

Chương 1: Số đại số và số nguyên đại số

Trong chương này trình bày lại một số kết quả về các đa thức, đa thức đối

xứng, đa thức nguyên bản, số đại số, số nguyên đại số.

Chương 2: Các trường số

Nội dung của chương 2 là các kết quả về trường số đại số, chuẩn và vết của

một phần tử của trường số đại số, trường bậc hai, vành các số nguyên đại số

OK, về biệt thức của một hệ các phần tử của một trường số.

Chương 3: Nhân tử hóa

Chương này trình bày các khái niệm: Phần tử khả nghịch, quan hệ chia hết,

phần tử bất khả quy, sự phân tích một một phần tử khác không không khả

nghịch thành tích các nhân tử bất khả quy trong OK.

Chương 4: Iđêan

Nội dung chính của chương này là nghiên cứu về sự phân tích một Iđêan

không tầm thường thành tích các Iđêan nguyên tố của OK và đề cập đến khái

niệm nhóm lớp và một số tính chất của nó.

Vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu

sót. Chúng tôi kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến sửa đổi,

bổ sung để luận văn được hoàn thiện hơn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn