Lý thuyết nhóm : Phần II

N G Ư V Ễ N NGỌC GIAO

LÝ THUYẾT NHỔM

PHẦN II

UYEN NGA plH VẠT LY L

TỦ SÁCH TRƯỜNG Đ ^ l HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

^ 1999 -

NGUYỄN NGỌC GIAO

^ y ° <

LÝ THUYẾT NHÓM

PHẨN II

(Tài liệu dùng cho sinh viên

chuyên ngành Vật lý lý thuyết)

TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HQC Tự NHIÊN

- 1999 -

0^& c vto*c d ’ftc c

Cuốn “Lỷ thuyết nhóm - Phần II” trình bày các

kiến thức cơ sở về nhóm Lie và đại sô Lie, phép biểu diễn

của chúng và áp dụng vào các nhóm cụ thể có nhiều ứng

dụng trong vật lý như nhóm quay, nhóm Lorentz, nhóm

S\J(n).

Nội dung cuốn sách dựa trền giáo trình do tác giả

giáng dạy cho sinh viên khoa Vật lý Trường ĐHTH

TP. HCM suối iủ năm 1979 cho dến ngày nay, và dã dược

in ronéo từ năm 1983.

Đây là tài liệu học lập và tham khảo đối với sinh viên

chuyền ngành Vật lý lý thuyết (đặc biệt là Lý thuyết Hạt cơ

bún và Hạt nhân) và tất cả các bạn trề hoạt động trong

những.lĩnh vực cliuyèn môn có lièn quan.

Tác giả chân thành cám ơn Ban Xuất bản Trường ĐH

KHTN đã cho ra đời cuốn sách này.

TP. HCM, tháng 6 năm 1999

T ác g iả

CHƯƠNG I

NHÓM LIE

81. NHỎM LĨE

a) Một nhóm G = Ịg} vô hạn được gọi là nhóm liên tục

(nhóm tôpô) nếu khi g và g' biến thiên liên tục thì tích gg'

và g '1 cũng biến thiên liên tục.

Các nhóm liên tục có thể có vô số hay một số hữu hạn

các tham số thực, các tham số này tạo nên không gian

tham số hay không gian nhóm. Mỗi phần tử của nhóm là

một điểm cúa không gian do.

Nhóm liên tục có sô tham sô hữu hạn được gọi là

nhóm Lie\ sô tối thiếu các tham sô độc lập cần thiết đê đặc

trưng cho các phần tử của nhóm được gọi là các tham sô cốt

yếu.

Người ta chứng minh được rằng mọi nhóm Lie đều

dẳng cấu với một nhóm các phép biến đối trong không gian

vectơ hữu hạn chiều, hay nhóm ma trận. Trong trường hợp

này sô tham sô cốt yếu bằng sô ma trận độc lập của nhóm.

Vậy xét nhóm các phép biến đồi tuyến tính, với phần

tứ

g = g (cci, 0-2, otr)

Các tham số (aj được chọn sao cho lân cận cùa gốc

tọa độ trong không gian nhóm tương ứng 1—1 với lân cận

cùa phần tử đơn vị.

1

thì

Nếu

a ”k = Ọk (ai, a r ; a ’i, a ’r).

g(ai, a 2, a r)g(a’i,..., a ’r) = g(a”i , .... a ”r)

Các hàm (Pk xác đinh pháp nhân trong nhổm , được giả

thiết là khả vi theo mọi biến. Ngoài ra (Pk còn phái thỏa

mót sô' điều kiên quy đinh bơi các tiên đế nhổm.

Ta hãy liệt kê ra đây một sô' nhóm Lie :

1. Nhóm GL (n, C) gồm tấ t cả các ma trận phức cấp n

có dịnh thức * 0. Nhóm này có 2n2 tham số thực.

2. Nhóm SL (n, C) gồm tâ't cả ma trậ n phức cấp n có

det = 1. Sô' tham sô' là 2n2 - 2.

3. Nhóm U(n) gồm các ma trậ n unita cấp n, tức các

ma trận thỏa U U + = u + u = I- Số tham sô' là 2n2 - n 2 = n2.

Nhóm con SU(n) với det = 1, có sô tham sô là n2 — 1.

4. Nhóm trực giao O(n) là nhóm con thực của U(n),

thỏa o ơ 7 = 0 T0 = I. Sô' diều kiện ràng buộc là n + —-

do đó sô tham sô' của nhóm là n2 - n — — — = — n ~ - -

2 2

Ma trận trực giao có det = ± 1. Nhóm con SO(n) gồm các

ma trận trực giao với det = 1, sô' tham sô' \ ẫn là n -- -~ "■.

b) Xét kỹ thêm nhóm 0(3), gồm các phép biến đổi A

báo toàn dạng toàn phương trong không gian 3 chiều.

<p = (X1)2 + (X2)2 + (X3)2 = gikx'xk, gik = ôik

2

hoặc dạng ma trận

( 1^ X

(p = xTgx X = X

2

/

Ta có : xTgx = (Ax)T g(Ax) = xTATgAx

Từ đó AT gA = g

Suy ra (det A)2 det g = det g, det. g * 0

(det A)2 = 1 => det A = ± 1.

Như vậy tập các ma trận A được chia ra làm 2 tập con

ứng với 2 giá trị df t A - -r- -1. Rõ ràng không có một quá

trình biến đổi liên tục nào cho phép biến một ma trận loại

này (tập con này) thành một ma trận loại kia được. Người

ta gọi 2 tập con đó lả 2 tờ liên thôns của nhóm 0(3) : tờ với

det A = +1, gồm các phép Quay thuần túy, và tờ với detA

= - 1 rn CÁC phần tử lả tích cua pháp quay vơi phép nghich

đáo không.gian.

Chú ý là chi cổ tò liên thòng chứa đơm ã (gọi là thành

phần đơn vị) mđi lả nhóm con của nhóm đang vét. Trong

trường hơp 0(3). thành phần đơn vi là nhóm SO(3).

§2. Vĩ TỬ CỦA NHÓM LIE.

a) Xét nhóm Lie G = (gl với g = g(ai,...,ar),

e = g(0,...,0).

Như đã nói ở phần trên, các phần tử g(a) đều khả vi

theo mọi biến.

3

Định nghĩa các toán lứ (j = l,2,...,r)

là những vi tử (hay các $inh) của G. Có tấ t cả r v i-tữ, các VI

tứ này xác đinh nhổm G môt cách duy n h ấ t, tức khi biêt

các vi tử ta có thế' xác định được mọi phần tử của G. Ta hãy

chứng minh điều này đối với nhóm 1 tham số.

Xét g - g(a), với tham sô chọn sao cho

flfal)g(a2) = g(ai+a2), g(0) = e￾Đạo hàm theo ai

dg(aỊ )|

da, i 1 (/ J

g (a 2)

-0 ,

dg(ai + a 2)j

d(a’i + a 2 ) l ,- 0

Từ đây

suy ra ỊgTa) - exp(iXa)Ị

Ớ đây ta đả sử dụng kết quả sau đây đối với ma trận

A. B câp n hữu hạn :

eA = I + À + A2+...+ -1- Ap+...

2! p!

dg(cc)

1 da

- iX.g(a)

với tinỉixhat :

I (i) Chuỗi trèn đây luôn luôn hội tụ,

Ị (ii) nếu AB = BA thì eAeB = eA+B,

1 (iii) Với Ằ], />•),... là trị riêng của A, trị riêng của eA sò

là eu , e , ...

(iv) det (eA) = exp (SpA) ?

(V) eA“ = (eA):ỉ:, eA+ = (eA)+. e“A = (eAf 1

. Mớ rộng ra. dối với nhóm G r - tham số người ta

chứng minh được

g(ai, ..., ctr) = exp 1 i

\

E > JX>

*>*

________

i ^L -l— l

Ngoài ra, các yị tử còn thóa hẻ thde giao hnáp

ỊỊXj, Xjị - cjj x k , cj]ị- hăng số cấu trúc

tức tập các vi tử |Xjl tạo nên dại số Lie của nhóm Lie G, với

'phép nhân Lie là hệ thức giao hoán.

Hạng của nhóm Lie là số vi tử giao hoán lẫn nhau.

b) Ví du :

? 1. Nhóm quay SO(3) :

x' = X

g(a, b

o

11

y‘ = y COSƠ! Ỷ zsin Oiị

z' = -y sin a 1 -t* z co sa1

1

1 0 0 N1

,0,0) = Ị 0 cosot! sin «2 1

(,0 - sin OCỊ COSOC2 )

5

Tương tự CỊ

/ '

, x 2 =

b -•> V " ’0 ^

Le

( 6 ^ ° )

ro 0 - T o

h-1

o

1

0 0 0 X - ^ > A 3 = T - 1 0 0

i

a 0 0,

1

o

o

o

H f u t r o o C c ° Ặ ^ t v l ^ Dễ dàng thấỵ 3 vi tử này thỏa hệ thức giao hoán

[x ¡, X ị] = iẻi]kX kị eijk -tenxơ hoàn toàn phản xứng

________ ______________J "¡w no ÌÀ t ala n k tĩn J X \

1 2. Nhóm SU(n). Ở gần đúng bậc thấp n h ất ! ' v

- ĩ g = U(a1, . . . , a r ) = I + ia jXj - f 7 *

Từ điều kiện unita điều kiện unita u u = u U U + = u + u = I =>fXj~~- X j| M ặt u = I =>(X

khác det u = 1 + iọj SpXj = 1 => ^)pXj) = 0 !

Như vậy các vi tử của nhóm S U (n) là những ma trận

tự liên hơpllcó vết = 0. Chẳng hạn đối với s u (2) : Xj = ^ Ợj,

° 1 = {°1 o) ’ ơ2 = (° ~o) ’ ° 3 = (ỉ) - 0J là nhữllg ma trận

Pauli. Các vi tử này thỏa cùng 1 hệ thức giao hoán như

SO(3), tức có cùng 1 đại số Lie.

§3. TÍCH TRựC TIẾP, NỬA TRựC TIẾP.

.ai Cho 2 nhóm Gi = tgil , G2 = lg2l

Tập d ît cặp có thứ tự (gi, g2) với quy tắc nhân

6

(gl, g2) (g'l, g'2) = (glg’l, g2g'2)

tạo thành một nhóm mới, gọi là tích trực tiếp Gi ® G2- Đơn

vị của nhóm này là (ei, e2), còn nghịch đáo của (gi, g2) là

(gi, g2)-1 = ( g f \ g2-1)-

N,hnm OỊB Gj = Ị(g i,e 2)Ị < Gj ® G 2

và đắng cấu với G i. Tương tự đôi với G2 • Dễ dàng nghiệm

thấy ____________________ __________

Ị g ịG2 = Gi ® G2 , Gj n G 2 = (ex,e2)

1 b ) Ta có t h ể chứng minh đươc rằng t â p l(Pil t ấ t cá các

phép-tự đằng, cấu „của một nhổm 'G cũng lập thành 1 nhổm.

ưui là nhpm tư ổíliìỉ? cấu rua G. : ...

Aut G = lọi 1 cpi : G - G }.

Bây giờ cho nhóm G = Igl và nhỏm a | = lừ c Aut G,

vố ỉĩét tập các cặp có thứ tự (g I a ) với phép nhân

(gÍA )(g’ lA’) = (gA(g’)|A A ’).

Phần tử đơn vị trong tập này là (e!l), e - đơn vị

trong G, I - phép tự đẳng cấu đơn vị, còn phần tứ nghịch

đáo

(gỉ a )-1 = (A_1(g_1)| A_1).

Với các định nghĩa đó tập các cặp (g IA) lập thành

một nhóm, gọi là tích nửa trực tiếp G ỵ> 'X.

Nhóm G a Aut G được gọi là nhóm toàn hỉnh cua

nhóm G.