Lý thuyết nhóm : Phần I

N G U Y Ễ N N G Ọ C G IA O

LÝ THUYẾT NHÓH

NGUYỄN NGỌC GIAO

LÝ THUYẾT NHÓM

(PHẦN I)

(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN VẬT LÝ VÀ

HÓA LÝ THUYẾT CÁC TRƯỜNG ĐH KHTN VÀ ĐHSP)

NHÀ XUẤT BẲN ĐẠI HỌC QUỐC GIA

TP. HỒ CHÍ MINH

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Lý thuyết nhóm (phần 1) là phần kiến thức

toán cơ sỏ cho sinh viên ngành vật lý. Giáo trình này là tập

hợp các bài giảng cho sinh viên Khoa Vật lý Trường Đại học

Tổng hợp (nay là Trưởng Đại học Khoa học tự nhiên - Đại

học quốc gia TP. Hồ Chí Minh) từ năm 1979 đến nay.

Giáo trình đã được ựít gọn và chỉ trình bày những chương

trọng tầm. Các chương mục được trình bày ngắn gọn, nhưng

vẫn đảm bảo tính khoa học và dễ hiểu.

Giáo trình đã được Ban Xuấi bản Trường Đại học Khoa

học tự nhiên xuất bản năm 1983, 1988 và 1999. Lần xuất

bản này, về cơ bản giống như lần xuất bản năm 1999 ngoài

một sô' chỉnh lý, sửa chữa về mặt kỹ thuật, tuy nhiên những

thiếu sót là khó tránh khỏi, rất mong sự góp ý của bạn đọc.

TP. Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2000

TÁC GIẢ

CHƯƠNG I

ĐẠI CƯƠNG VỀ NHÓM

1. NHÓM, NHÓM CON.

a. Một tập hợp không rỗng G với luật họp thành

trong (a,b) -> a*b sẽ là một nhóm, nếu nó thỏa các tiên dề :

(Gi) kết hợp : (a*b) * c = a*(b*c) Va, b, c e G

(G2) tồn tại phần tử trung hòa e :

e * a = a*e=a, VaeG

(G3) tồn tại phần tử đối a' :

a ' * a = a * a ' = e V a e G

Nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay Abel nếu nó

thỏa thêm tiên dề :

(G4) giao hoán : a * b = b * a Va.beG

Trường hợp là “+” thì e = 0, a’ = - a

là “x” thì e = 1, a' = a"1

Để cho đơn giản, từ đây về sau thay vì a* b ta viết ab.

Nếu G chứa một số hữu hạn N các phần tử thì nhóm

G được gọi là hữu hạn (cấp N). Trường hợp số phần tử là vô

hạn thì G là nhóm vô hạn. Nếu nhóm vô hạn có các phần

tử phụ thuộc vào những tham số biến thiên liên tục thì

người ta gọi đó là nhóm liên tục.

b. Từ tiên đề (Gi) ta có thể viết (ab) c = a (bc) = abc.

Tương tự như vậy tích của n phần tử ta có thể viêt dưới

1

dạng ai a2... an, không cần dể ý đến các dấu ngoặc, tuy rằng

phép “nhân” ngay từ đầu chỉ được định nghĩa với 2 phần

tử.

Ta cũng có được dạng lũy thừa :

a° = e, a1 = a, ... , an = aan_1 = a ^ a .

Bây giờ ta hãy chứng minh (a")"1 = (a_1)n. Thật vậy, rõ

ràng dẳng thức này đúng với n = 1. Giả thiết nó đúng với

mọi 1 < n < m, ta sẽ chứng minh nó đúng với n = m + 1. Ta

có, với n = m :

am(a - l )m _ (a - l }m am = e

Khi đó

am+1 (a_1)m+1 = a(am(a-1)m)a-1 = aea-1 = e

(a_1)m+1 am+1 = a_1 ((a_1)mam)a = a_1a = e đpcm

Như vậy thay vì (a-1)n ta viết luôn a'n. Tương tự La

cũng chứng minh được : (aia2 ... an)_1 = a ^ -.-a ^ a j1

a*a‘ = a' + t

c) Ta gọi nhóm con của nhóm G là một bộ phận

H c G thóa các tính chất : 1. a, b e H => ab e H

2. a e H => a" 1 e H

Nhóm con tầm thường là H = {e}, H = G.

Tập hợp {e, a1 \ ..., a* n, ...Ị, a € G, cũng là nhóm con

của G và dược gọi là nhóm chu trình (cyclic) [a]. Nói chung

đối với mỗi tập con không rỗng M c G ta có thể xây dựng

nu/ nhóm con của G bằng cách lấy tất cả cách tích có thể

co giữa các phần tử của M, nhóm con này ký hiệu là [M] và

được gọi là sinh bỗi M.

2

D i dàng chứng minh rằng giao của một tập bất kỳ các

nhóm con của G cũng là một nhóm con của G.

Ví dụ :

1. Tập các số thực R là nhóm Abel đối với phép cộng thông

thường. Tập các số nguyên z là nhóm con của R.

2. Tập hợp Ịr/ĩ Ị là nhóm Abel hữu hạn đối với phép nhân.

3. Tập hợp các hoán vị của n số tự nhiên là nhóm hữu hạn

(có n ! phần tử) đối với phép "nhân” các hoán vị (tiến

hành lần lượt các hoán vị) và dược gọi là nhóm hoán vị

hay nhóm đối xứng (Symmetric). Không Abel với n > 2.

4. Tập hợp tất cả các ma trận n X n thực, trực giao (tức

0 0 T = 0 T0 = I) tạo nên một nhóm dối với phép nhân ma

trận, và được gọi là nhóm trực giao 0(n). Đó cũng chính

là nhóm quay trong không gian Euclide thực n chiều,

phép quay ở dây ta hiểu là phép biến dổi tuyến tính các

vectơ

x a x ’a = 0„p Xp

sao cho vẫn giữ nguyên môdun của chúng.

5. Tập hợp (tín = |e,Cn,Cn,...,Cn_1 Ị với c n là phép quay

trong mặt phẳng một góc <p = 2rc/n, là một nhóm chu

trình, hữu hạn, tuần hoàn cấp n, với phần tử nghịch đảo

dược định nghĩa (ck) = (Cn_k), và rõ ràng CỊỊ= e.

6. Nhóm (dz = le, a, b, c, d, f) với e là dơn vị, và phép nhân

(kết hợp) được xác dinh qua bảng nhân nhóm sau

3

e a b c d f

a e d f b c

b f e d c a

c d f e a b

d c a b f e

f b c a e d

Ta thấy ngay các phần tử nghịch đảo tương ứng là

a~ 1 = a, b" 1 = b, c” 1 = c, d~ 1 = f, f 1 = d. Đây là nhóm

hữu hạn cấp 6, không giao hoán.

2. NHÓM CON BẤT BIẾN VÀ NHÓM THƯƠNG

a) Cho nhóm G và nhóm con H c G. Xét tập

giH = (gia I a 6 H, gi cố định bất kỳ G GI. Tập giH được gọi

là lớp kề trái của G theo nhóm con H, xác định bởi gi.

Xét g2 G G, nhưng ẽf giH. Ta thấy ngay là 2 tập giH

và g2H sẽ hoàn toàn rời nhau, vì nếu chúng có phần tử

chung, chẳng hạn gxa¡ = g2a¡ với gia¡ G giH, g2aj G g2H thì

từ dây suy ra g2 = gia¡ aT1 , tức g2 cũng G giH, trái với giả

thiết

Tiếp theo, xét g3 € G, nhưng không thuộc cả giH lẫn

g2H, và thiết lập lớp kề trái g3H, hoàn toàn không có phần

tử chung với giH hay g2H. Cứ tiếp tục như vậy, ta đi đến

cuối cùng là nhóm G được phân thành nhiều lớp kề trái

(theo nhóm con H) không giao nhau. Đó là khai thức

Lagrange trái của G theo H :

G = H + giH + g2H + ... + gm_1 H

Ta cũng có kết quả tương tự đối với các lớp kề phải

Hg của G.

Số lớp kề (trái hay phải) trong khai thức Lagrange

của G theo nhóm con H được gọi là chí sổ của H trong G.

Từ đây ta có thể phát biểu

Đ ịnh lỷ Lttgrange : Cấp n và chỉ số m của mọi

nhóm con của một nhóm hữu hạn G là ước số của cấp N của

G : N = n.m

b. Các lớp kề trái và phải nói chung khác nhau.

Chúng sẽ trùng nhau dối với phần tử bất kỳ g G G nếu như

H thỏa diều kiện gH = Hg, hay gHg-1 = H, Vg G G. Vậy dể

các nhóm kề trái và phải theo nhóm con H là trùng nhau

thì điều kiện cần và đủ là :

Va G H, g G G : gag-1 cũng G H

gag-1 là phần tử liên hợp của a. Nhóm con H trong

trường hợp này được gọi là nhóm con bất biến của nhóm G,

ký hiệu H ^ G. Trong nhóm Abel mọi nhóm con đều là bất

biến.

Quan hệ giữa 2 phần tử liên hợp nhau a và gag-1 là

một quan hệ tương đương, quan hệ này dẫn đến việc phân

nhóm G thành các lớp tương đương (lớp các phần tử liên

hợp), ký hiệu [a]. Rõ ràng [e] = e. Với các nhóm Abel

[a] = a, tức số lóp bằng số phần tử (cấp) của nhóm.

Ví dụ : Nhóm f^ 3 phân thành 3 lớp [e] = e,

[c] = la, b, cl, [d] = {d,fl vì b = fer1, a = bcb'\ f = ada-1.

c. Bây giờ xét tập mà các phần tử là những lớp kề của

nhóm G theo nhóm con bất biến H. Giả thiết A = gH,

B = hH là 2 lớp kề, thì tích AB sẽ là lớp kề

5

AB = gH.hH = g(Hh)H = g(hH)H =

= (gh)(HH) = (gh)H

Nói cách khác, tích AB là luật hợp thành trong của

tập các lớp kề {A, B, ... IA = gH).

Ngoài ra, ta dễ dàng thấy phần tử nghịch đảo

A"1 = (g lĩr1 = g_1H cũng là lớp kề, và H giữ vai trò phần tử

đơn vị của tập này. Điều dó có nghĩa là tập các lớp kề của

nhóm G theo nhóm con bất biến H tạo nên một nhóm, gọi

là nhóm thương (nhóm factơ) của G theo H, ký hiệu G/H.

d. Tập hợp tất cả các phần tử (của một nhóm G) giao

hoán với mọi phần tử e G được gọi là tâm của nhóm G :

c = |c e Gl cg = gc Vg e GI

Dễ dàng thấy rằng c <1 G.

Một nhóm dược gọi là đan nếu như nó không có nhóm

con bất biến nào khác với chính bản thân nó trừ những

nhóm con bất biến rời rạc, và được gọi là nửa đơn nếu nó

không có nhóm con bất biến (không rời rạc) giao hoán nào,

kể cả chính nó.

3. ĐỒNG CẤU, ĐẲNG CẤU, T ự ĐẲNG c ấ u

a. Cho 2 nhóm Gi, Ga và phép ánh xạ

f : Gi I—> G2. Nếu f thỏa

í(gh) = ílg) f(h) Vg,h e Gi

thì ta gọi đó là phép đồng cấu (homomorphism) từ Gi vào

(hay lên) G2. Tập hợp (í(g)lg e Gil 3 f(Gx) gọi là ảnh của

nhóm Gi qua phóp đồng cấu f, ảnh này nói chung là một

nhóm con của G2.

6

Từ định nghĩa phép đồng cấu ta suy ra, với ei - đơn

vị của Gi :

fleig) = flei)flg) = fi(g) => f(ei) = e2 - phần tử đơn vị

của G2.

flgg-1) = f(g) f(g-1) = ffe,) =* fig-1) = [fig)]-1

Tuy nhiên, có thể có những phần tử hi e Gi hi * ei,

sao cho f(hi) = e2. Tập tất cả những phần tử hj như vậy

được ợọi là nhân của pháp đồng cấu f, ký hiệu

ker f = {hi e G ilflh1) = e2|

Dễ dàng thấy ker f ^ Gi- Thật vậy, trước tiên ta

nghiệm ngay được rằng ker f là nhóm con của Gi. Tiếp

theo, với hi e ker f và g - bất kỳ G Gj ta có :

flghxg"1) = flg)flhi) fig"1) = flg)flg_1) = e2

Suy ra ghig-1 G ker f (đpcm)

b. Nếu ánh xạ ngược lại G2 t—> Gi cũng là dồng cấu

thì ta gọi đó là phép đẳng cấu (isomorphism) và 2 nhóm Gi

và G2 là dẳng cấu với nhau : Gi - G2.

Các nhóm đẳng cấu với nhau có thể xem là như nhau

(về mặt cấu trúc nhóm), tuy bản chất các phần tử của nhóm

nói chung là hoàn toàn khác nhau.

Phép đẳng cấu của nhóm G lên chính nó dược gọi là

tự đẳng cấu (automorphism).

Ta dễ dàng chứng minh được rằng điều kiện cần và

dủ dể f là phép đẳng cấu là ker f = le}. Ta có

Đ ịnh lỷ : Cho 2 nhóm Gi, G2 và phép dồng cấu f từ

Gi lên G2 : flGi) = G2. Khi đó ta sẽ có

7