LTĐH 2009_Pt-Bpt-Hpt Vô tỷ

Trường THPT Tân Quới 2008-2009

PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

A. Phương trình - bất phương trình chứa căn thức

I. Phương pháp biến đổi tương đương

1. Kiến thức cần nhớ:

( )

( )

( )

( )

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

1.

2. 0

3. ,

4. 0

5. ,

n

n

n n

n n

n n

n n

a a

a b a b ab

a b a b a b

a b a b

a b a b a b

+ +

+ +

=

= ⇔ = >

= ⇔ = ∀

≥ ≥ ⇔ ≥

≥ ⇔ ≥ ∀

2. Các dạng cơ bản:

* Dạng 1: ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

g x 0

f x g x

f x g x

 ≥ 

= ⇔ 

 = 

(Không cần đặt điều kiện f x( ) ≥ 0 )

* Dạng 2: f x g x ( ) > ( ) xét 2 trường hợp:

TH1:

( )

( )

0

0

g x

f x

 <



 ≥ 

TH2: ( ) ( )

2

g x( ) 0

f x g x

 ≥



 > 

* Dạng 3: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

( ) 0

0

f x

f x g x g x

f x g x

 ≥



≤ ⇔ ≥ 



≤ 

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường hợp g(x) là tam thức bậc hai

(ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g x( ) ≥ 0 rồi bình phương 2 vế đưa

phương trình−bất phương trình về dạng quen thuộc.

+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 2

0 1 2 1 0

n n n

n n a x a x a x a x a

− − + + + + + = L −

có nghiệm x=α

thì chia vế trái cho cho x–α ta được ( ) ( )

1 2

0 1 2 1 0

n n

n n x b x b x b x b α

− − − + + + + = L − − , tương tự cho bất phương

trình.

* Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,

nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm

số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.

* Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình

theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3

và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.

“Cũng như không ?!”

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 1 3 1 0

2

x − + x − x + = (ĐH Khối D – 2006)

Biến đổi phương trình thành: 2

2 1 3 1 x x x − = − + − (*), đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:

6 11 8 2 0

4 3 2

x − x + x − x + = ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:

(*)⇔ (x – 1)2

(x

2

– 4x + 2) = 0.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )

2

2

4 1 2 10 1 3 2 x x x + ≥ + − + , ĐK:

2

3

x ≥ −

( ) ( )

2

pt x x x x x x x x ⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ + 2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5 (1), Với 3

2

x ≥ − hai vế (1) đều không

âm nên ta bình phương 2 vế: x

3

– x

2

– 5x – 3 ≥ 0 ( ) ( )

2 ⇔ − + ≥ x x 3 1 0

b) Tương tự với 2 dạng: * f x g x ( ) ≥ ( ) * f x g x ( ) < ( )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình ( )

2

2 6 1 2 0 1 x x x − + − + <

Giải

( )

2

1 2 6 1 2 ⇔ − + < − x x x bất phương trình tương đương với hệ:

Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ 1 THÁI THANH TÙNG