Lấy mẫu tín hiệu

CHƯƠNG 7: LẤY MẨU TÍN HIỆU

Nội dung

5.1 Định lý lấy mẩu

5.2 Tính biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

5.3 Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

5.4 Phụ chương 5.1

5.5 Tóm tắt

Tài liệu tham khảo:

B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Lấy mẩu

Tín hiệu liên tục có thể được xử lý bằng cách xử lý các mẩu của tín hiệu qua hệ

thống rời rạc. Điều cần thiết là phải duy trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khôi phục

tốt tín hiệu (không có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được). Điều này có thể

thực hiện được dùng định lý lấy mẩu.

5.1 Định lý lấy mẫu

Ta sẽ chứng minh là tín hiệu thực có phổ băng thông giới hạn B Hz [F(w)= 0 với

w > 2pB ] có thể được khôi phục chính xác (không có sai số nào) từ các tốc độ lấy mẩu

đồng đều với tốc độ Fs > 2B mẩu/giây. Nói cách khác, tốc dộ lấy mẩu tối thiểu là Fs = 2B

Hz.

Để chứng minh định lý lấy mẩu, xét tín hiệu f(t) (hình 5.1a) có phổ giới hạn B Hz

(hình 5.1b). Để thuận tiện, ta vẽ phổ là hàm theo w cũng như theo F (Hz). Lấy mẩu f(t)

với tốc độ Fs Hz (Fs mẩu/giây) có thể thực hiện bằng cách nhân f(t) với chuỗi xung dT(t)

(hình 5.1c), gồm các xung đơn vị lặp lại theo chu kỳ T giây, với T =1/Fs. Kết quả là tín

hiệu được lấy mẫu f (t) vẽ trong hình 5.1d, là tín hiệu gồm các xung cách nhau từng T

giây (thời gian lấy mẫu). Xung thứ n, nằm tại t = nT, có cường độ f(nT), là giá trị của f(t)

tại t = nT.

= = å - n

T f (t) f (t)d (t) f (nT)d (t nT) (5.1)

Để tìm F(w) , biến đổi Fourier của f (t), ta lấy biến đổi Fourier của vế phải phương trình

(5.3) từng thừa số một. Biến đổi của thừa số thứ nhất trong ngoặc là F(w). Biến đổi của

thừa số thứ hai f t t ws 2 ( ) cos là F(w –ws ) + F(w +ws ) (xem phương trình (4.41), cho

thấy phổ F(w) dời ws và –ws. Tương tự, biến đổi Fourier của thừa số thứ ba

f t t ws 2 ( ) cos 2 là F(w –2ws ) + F(w +2ws ), cho thấy phổ F(w) dời 2ws và –2ws, và tiếp

tục cho tới vô hạn. Điều này tức là phổ F(w) gồm F(w) lặp lại theo chu kỳ ws = 2p/T

rad/s, hay Fs = 1/T Hz, như vẽ trong hình 5.1e. Ngoài ra còn có thêm hằng số nhân 1/T

trong phương trình (5.3). Do đó

å

¥

=-¥

= - n

F n s T

F ( ) 1 (w) w w (5.4)

Nếu muốn khôi phục f(t) từ f (t), ta phải khôi phục được F(w) từ F(w) . Có thể

khôi phục được nếu không có trùng lắp giữa các chu kỳ liên tiếp của F(w) . Hình 5.1e

cho thấy cần có

Fs > 2B (5.5)

Đồng thời, thời gian lấy mẩu T =1/Fs. Do đó

B

T

2

1

£ (5.6)

¢ Thí dụ 5.1

Trong thí dụ này, ta xét ảnh hưởng của tín hiệu khi lấy mẩu theo tốc độ Nyquist,

thấp hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu thiếu), cao hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu lố). Xét tín

hiệu ( ) sin (5 ) 2 f t = c pt (hình 5.2a) có phổ ( ) p w w

20 F( ) = 0,2D (hình 5.2b). Băng thông của

tín hiệu là 5 Hz (10p rad/s). Như thế, tốc độ Nyquist là 10Hz; tức là, ta phải lấy mẩu tín

hiệu với tốc độ không nhỏ hơn 10 mẩu/s. Khoảng Nyquist là T = 1/2B = 0,1 giây.

Nhắc lại là phổ của tín hiệu đã lấy mẩu gồm ( ) ( ) p w w

20

2 1/T F( ) = T D lặp lại theo chu

kỳ bằng với tần số lấy mẩu Fs Hz. Ta trình bày thông tin này trong bảng sau với tốc độ

lấy mẩu Fs = 5Hz (lấy mẩu thiếu). 10Hz (tốc độ Nyquist) và 20Hz (lấy mẩu lố).

Tần số lấy mẩu Fs Thời gian lấy mẩu T (1/T)F(w) Nhận xét

5 Hz 0,2 ( ) p

w D 20 Lấy mẩu thiếu

10 Hz 0,1 ( ) p

w

20 2D Tốc độ Nyquist

20 Hz 0,05 ( ) p

w

20 4D Lấy mẩu lố

Trong trường hợp đầu (lấy mẩu thiếu), tốc độ lấy mẩu là 5Hz (5 mẩu/giây) , và phổ

( ) T

1 F w lặp lại sau mỗi 5Hz (10p rad/s). Các phổ liên tiếp trùng lắp, như vẽ trong hình

5.2d, và phổ F(w) không thể được khôi phục từ F(w) ; tức là f(t) không thể được khôi

phục

từ các mẩu f (t) trong hình 5.2c. Trường hợp thứ hai, khi dùng tốc độ lấy mẫu Nyquist

10Hz (hình 5.2e). Phổ F(w) gồm các thành phần phổ ( ) T

1 F w không trùng lắp lặp lại

từng 10 Hz. Do đó, phổ F(w) có thể được khôi phục từ F(w) dùng mạch lọc thông thấp

lý tưởng có băng thông 5 Hz (hình 5.2f). Sau cùng, trường hợp cuối là lấy mẩu lố (tốc độ

lấy mẩu 20Hz); phổ F(w) gồm các gồm các thành phần phổ ( ) T

1 F w không trùng lắp (lặp