Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Khung trong không gian hilbert
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–
TĂNG TẤN ĐÔNG
KHUNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 8460102
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2019
Công trình được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NHỤY
Phản biện 1: TS. LƯƠNG QUỐC TUYỂN
Phản biện 2: PGS.TS. HUỲNH THẾ PHÙNG
Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học
họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 12 tháng 05 năm 2019
Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN
- Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những khái niệm quan trọng nhất của không gian vectơ là cơ sở, vì mỗi vectơ của
không gian đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính các phần tử thuộc
cở sở này. Chẳng hạn như ta xét không gian vectơ hữu hạn chiều H. Nếu {fk}
N
k=1 là một cơ sở
của không gian H, thì mỗi vectơ f ∈ H đều biểu diễn dưới dạng
f =
X
N
k=1
ck(f)fk
và các hệ số ck(f) này là duy nhất, chúng chỉ phụ thuộc f. Chính vì vậy mà hệ các vectơ cơ
sở của không gian tuyến tính thường được xem như là các khối xây dựng cơ bản (elementary
building blocks). Tuy nhiên, yêu cầu của một hệ vectơ tạo thành một cơ sở lại quá chặt chẽ, mà
đòi hỏi cơ bản nhất của nó phải độc lập tuyến tính. Thậm chí nếu H là không gian Hilbert thì
người ta còn đòi hỏi chúng phải là cơ sở trực chuẩn, vì từ cơ sở (hệ độc lập tuyến tính cực đại)
ta có thể sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt rồi chuẩn hóa để được cơ sở trực chuẩn.
Khái niệm khung xuất hiện nhằm làm giảm thiểu các yêu cầu khắt khe của sự độc lập tuyến
tính của một hệ vectơ, nhờ đó mà có được nhiều ứng dụng hơn. Ta nói một dãy đếm được các
vectơ {fk}
∞
k=1 trong không gian Hilbert H được gọi là khung (frame) của không gian này nếu
tồn tại các hằng số A và B, 0 < A ≤ B < ∞ sao cho
Akfk
2 ≤
X∞
k=1
| hf, fki |2 ≤ Bkfk
2
với mọi f ∈ H.
Các hằng số A, B > 0 trong các bất đẳng thức nói trên tương ứng được gọi là biên khung
dưới và biên khung trên. Rõ ràng rằng các biên khung này không duy nhất. Ta gọi biên khung
dưới tốt nhất (the optimal lower frame bound) là supremum của tất cả các biên khung dưới,
còn biên khung trên tốt nhất (the optimal upper frame bound) là infimum của tất cả các biên
khung trên. Nhiều tài liệu có đưa ra các định nghĩa biên khung tốt nhất, nhưng chưa thấy tài
liệu nào xây dựng công thức cho các biên khung tốt nhất. Trong khi nghiên cứu đề tài, chúng
tôi đã thu được công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên tốt nhất này, đồng thời
đã xây dựng được ví dụ áp dụng cho công thức tổng quát này.
Thực ra, ngoài lí do đòi hỏi cứng về sự độc lập tuyến tính nói trên, còn một lý do khác quan
trọng hơn, xuất phát từ yêu cầu ứng dụng, mà đây chính là nguyên nhân chính dẫn đến khái
niệm khung. Đó là Định lý lấy mẫu cổ điển (Classical Sampling Theorem), định lý này còn có
2
tên gọi là Định lý lấy mẫu Nyquyst Shanon (Nyquyst Shanon Sampling Theorem). Định lý lấy
mẫu Nyquyst Shanon có vai trò như một hòn đá tảng (cornerstne) của Lý thuyết truyền tin và
Xử lý tín hiệu mà ngày nay nhất thiết phải sử dụng. Định lý lấy mẫu nói trên lại tương đương
với phát biểu rằng, với mỗi 0 < b ≤ 1, dãy
εb =
e
2πibnx
n∈Z
là một khung chặt của L
2
[0, 1], tức ở bất đẳng thức trong định nghĩa khung nói trên ta có
A = B. Chính Gabor, một nhà toán học Mỹ năm 1946 khi xây dựng Lý thuyết truyền tin và
một hệ khung và sau này mang tên Gabor. Với trường hợp riêng b = 1 thì hệ vừa giới thiệu
trên là một cơ sở trực chuẩn. Tuy nhiên, nếu b < 1 thì εb không là cở sở Riesz của L
2
[0, 1] (cho
dù khái niệm này yếu hơn cơ sở) và do đó các hệ số khung là không duy nhất. Từ đó ta thấy
rằng khái niệm khung là tổng quát hơn và có ứng dụng trong Lý thuyết truyền tin và Xử lý
tín hiệu tốt hơn là khái niệm cơ sở trong không gian Hilbert. Tuy thế, mỗi vectơ của không
gian H vẫn được biểu diễn thành chuỗi qua khung với yêu cầu lỏng lẻo hơn, không đòi hỏi hệ
này phải độc lập tuyến tính. Điều quan trọng là sự biểu diễn này vẫn có được dưới dạng hiện,
thông qua hệ vectơ này và một tích vô hướng đặc biệt hoặc tích vô hướng của vectơ này với hệ
khung đối ngẫu của nó.
Để có được sự biểu diễn đó, toán tử khung và khung đối ngẫu được đưa vào. Sự biểu diễn
này đã trở thành một công cụ hết sức hữu ích để nghiên cứu bài toán khung trong các tình
huống khác nhau. Cụ thể, toán tử khung S : H −→ H là một song ánh tuyến tính liên tục và
tự liên hợp, vì thế tồn tại toán tử tuyến tính ngược S
−1
: H −→ H. Nếu {fk}
∞
k=1 là một khung
của không gian Hilbert H thì dãy các vectơ {fek}
∞
k=1 với fek = S
−1
fk (k = 1, 2, ...) cũng là một
khung, và được gọi là khung đối ngẫu chính tắc (cannonical dual frame) của khung {fk}
∞
k=1
trong H. Khi đó mỗi vectơ f ∈ H đều có biểu diễn
f =
X∞
k=1
hf, fekifk.
Như vậy, mỗi vectơ f ∈ H biểu diễn được qua khung và khung đối ngẫu như đã nói ở trên.
Chú ý rằng do {fk}
∞
k=1 không độc lập tuyến tính, nên biểu diễn của f qua hệ này với các hệ số
{ck}
∞
k=1 ⊂ C là không duy nhất.
Ngày nay, Lý thuyết Wavelets đang phát triển rất mạnh mẽ, lý thuyết này lấy không gian
Hilbert làm không gian cơ sở để xây dựng mà cụ thể hơn không gian cơ sở được lấy là không
gian Hilbert L
2
(R), không gian các hàm bình phương khả tích trên R. Mỗi vectơ thuộc L
2
(R)
được xem như một tín hiệu (signal) và người ta đã tìm cách biểu diễn mỗi tín hiệu qua khung.
Hơn thế nữa, có thể nói hệ vectơ khung được làm nền tảng để xây dựng Lý thuyết Wavelets.
Thật là thú vị khi Lý thuyết truyền tin và Wavelets đã lấy Giải tích Toán học làm nền tảng cơ
3
sở để xây dựng.
Sự hấp dẫn của Lý thuyết khung ngoài vẻ đẹp toán học cùng với sự ứng dụng hiệu quả và
sâu sắc thì nó còn lôi cuốn các nhà nghiên cứu bởi có nhiều bài toán còn để ngỏ.
Từ trình bày và phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài Khung trong không gian Hilbert
để viết Luận văn Cao học ngành Giải tích. Luận văn này tập trung vào việc giới thiệu lý thuyết
tổng quát về khung trong không gian Hilert và đặc biệt trình bày một loại khung quan trọng,
cụ thể đó là khung Gabor.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về cơ sở lý thuyết khung, khung đối ngẫu, khung đối ngẫu chính tắc
và khung Gabor trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ lý thuyết cơ bản của khung trong không gian Hilbert.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Khung, khung đối ngẫu, khung đối ngẫu chính tắc và khung Gabor
trong không gian Hilbert.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến đối tượng nghiên cứu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề.
Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài nước.
6. Đóng góp của luận văn
Luận văn là tài liệu tổng quan về lý thuyết khung trong không gian Hilbert, khung Gabor,
kỹ thuật tìm biên khung trên và dưới tốt nhất cho khung trong không gian Hilbert.
4
CHƯƠNG 1
KHUNG VÀ MỘT VÀI TÍNH CHẤT CƠ BẢN TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
Trong chương này ta sẽ giới thiệu về không gian Hilbert, định nghĩa khung trong không
gian này, công thức biên khung tốt nhất và một vài tính chất cơ bản của nó. Để tránh phải
nhắc lại nhiều lần, nếu không nói gì khác, trong Luận văn này ta ngầm định H là một không
gian Hilbert khả li phức.
1.1. Một vài kiến thức chung về khung và cơ sở trong không gian
Hilbert
Mục này dành cho việc giới thiệu tính chất chung, định nghĩa khung trong không gian
Hilbert và một vài ví dụ minh họa khái niệm này.
Định nghĩa 1.1. Một dãy đếm được các vectơ {fj}
∞
j=1 trong một không gian Hilbert H được
gọi là khung nếu tồn tại các hằng số A và B, 0 < A ≤ B < ∞ sao cho
Akfk
2 ≤
X∞
j=1
| hf, fj i |2 ≤ Bkfk
2
với mọi f ∈ H. (1.1)
Các hằng số A và B trong (1.1) được gọi là các biên khung, cụ thể hơn A được gọi là biên khung
dưới còn B được gọi là biên khung trên. Rõ ràng biên khung là không duy nhất.
Định nghĩa 1.2. Liên quan đến khung và biên khung, ta có thêm các khái niệm sau.
(a) Nếu tập các vectơ {fj}
∞
j=1 là một khung trong không gian Hilbert H với các biên dưới và
trên tương ứng là A và B sao cho A = B thì khung nói trên được gọi là một khung chặt.
(b) Nếu ta bỏ đi một vectơ bất kỳ trong khung đã cho, mà tập các vectơ còn lại của khung
không còn là một khung nữa, thì ta nói đó là một khung thật sự.
Như vậy, một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert là một khung chặt với A = B = 1
và cơ sở trực chuẩn luôn là một khung thực sự.
1.2. Biên khung tốt nhất trong không gian Hilbert
Ta nói biên khung trên tốt nhất là infimum của tất cả các biên khung trên, biên khung dưới
tốt nhất là supremum của tất cả các biên khung dưới.
5
Như vậy biên khung trên tốt nhất β ≥ 0 này thỏa mãn hai điều kiện sau, mà ta gọi là hai
điều kiện đặc trưng của biên khung trên.
(a) P∞
j=1| hf, fj i |2 ≤ βkfk
2
, ∀f ∈ H;
(b) Nếu có B > 0 thỏa mãn P∞
j=1| hf, fj i |2 ≤ Bkfk
2
, ∀f ∈ H thì β ≤ B.
Từ đó, ta có biên khung trên tốt nhất β của dãy khung là
β = inf{B :
X∞
j=1
| hf, fj i |2 ≤ Bkfk
2
, ∀f ∈ H}.
Biên khung dưới tốt nhất α của dãy khung phải thỏa mãn hai điều kiện sau, mà ta gọi là
hai điều kiện đặc trưng của biên khung dưới .
(c) αkfk
2 ≤
P∞
j=1| hf, fj i |2
, ∀f ∈ H;
(d) Nếu có A > 0 thỏa mãn Akfk
2≤
P∞
j=1| hf, fj i |2
, ∀f ∈ H thì A ≤ α.
Từ đó, ta có biên khung dưới tốt nhất của khung là
α = sup{A : Akfk
2≤
X∞
j=1
| hf, fj i |2
, ∀f ∈ H}.
Công thức biên khung trên tốt nhất và biên khung dưới tốt nhất được cho trong định lý
sau.
Định lý 1.1. Nếu {fj}
∞
j=1 là một khung trong không gian Hilbert H, thì
(a) Biên khung trên tốt nhất của khung là
β = sup
f6=0
P∞
j=1|hf, fj i|2
kfk
2
= sup
kf||≤1
{
X∞
j=1
|hf, fj i|2
} = sup
kf||=1
{
X∞
j=1
|hf, fj i|2
}.
(b) Biên khung dưới tốt nhất của khung là
α = inf
f6=0
P∞
j=1|hf, fj i|2
kfk
2
= inf
kf||≥1
{
X∞
j=1
|hf, fj i|2
} = inf
kf||=1
{
X∞
j=1
|hf, fj i|2
}.
Ví dụ 1.1. Giả sử F = {fk}
∞
k=1 = {e1,
1
2
1/2 e1, e2,
1
2
e2, e3,
1
2
3/2 e3, ..., en,
1
2
n/2 en, ..}, ở đây {ek}
∞
k=1
là một cơ sở trực chuẩn của H. Do F chứa cơ sở trực chuẩn {ek}
∞
k=1 của H, nên F là một
khung. Ta có
X∞
k=1
|hf, fki|2=
X∞
k=1
|hf, eki|2+
X∞
k=1
1
2
k
|hf, eki|2
.
6
Rõ ràng rằng
X∞
k=1
|hf, fki|2 =
X∞
k=1
|hf, eki|2+
X∞
k=1
1
2
k
|hf, eki|2
= kfk
2+
X∞
k=1
1
2
k
|hf, eki|2≥ kfk
2
và
X∞
k=1
|hf, fki|2 =
X∞
k=1
|hf, eki|2+
X∞
k=1
1
2
k
|hf, eki|2
≤ kfk
2+
1
2
X∞
k=1
|hf, eki|2=
3
2
kfk
2
,
cho nên
kfk
2≤
X∞
k=1
|hf, fki|2 ≤
3
2
kfk
2
.
Nghĩa là F = {fk}
∞
k=1 là một khung của H với các biên khung dưới và trên là 1 và 3/2 tương
ứng. Vậy thì
α ≥ 1 và β ≤
3
2
. (1.2)
Ta sẽ chỉ ra rằng biên dưới tốt nhất là α = 1 và biên trên tốt nhất là β = 3/2. Thật vậy, với
f = e1 thì kfk= 1 và
X∞
k=1
|hf, fki|2= |he1, e1i|2+
1
2
|he1, e1i|2=
3
2
,
theo định nghĩa supremum ta có β ≥ 3/2 và kết hợp với (1.2) ta suy ra β = 3/2.
Tiếp theo, nếu f = en với n ∈ N thì kfk= 1 và
X∞
k=1
|hf, fki|2= |hen, eni|2+
1
2
n
|hen, eni|2= 1 +
1
2
n
.
Do đẳng thức trên đúng với mọi n ∈ N nên từ định nghĩa infimum ta suy ra rằng α ≤ 1. Vậy
khi kết hợp với (1.2) ta có α = 1.
1.3. Một vài tính chất cơ bản của khung
Kết quả quan trọng nhất của mục này là Định lý 1.4 cho thấy rằng, tính chất Parceval cho
một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert cũng đúng cho khung trong không gian này.
Nhưng trước hết ta sẽ chỉ ra rằng các phần tử của khung {fj}
∞
j=1 không nhất thiết có chuẩn
bằng 1, tuy nhiên chuẩn của chúng bị chặn như được chỉ ra trong Định lý dưới đây.
Định lý 1.2. Nếu {fj}
∞
j=1 là một khung thỏa mãn điều kiện (1.1) thì kfkk ≤ √
B với mọi
k ∈ J.
7
Định nghĩa 1.3. Cho A là một tập hợp trong không gian Hilbert H, ta gọi bao tuyến tính của
A, ký hiệu span A, là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) các phần tử của A và spanA
là bao đóng của spanA trong H. Ta có định lý sau.
Định lý 1.3. Nếu {fj}
∞
j=1 là một khung trong H thì
span{fj}∞
j=1 = H.
Nhận xét 1.1. Giả sử {ej}
∞
j=1 là một cơ sở trực chuẩn trong H. Khi đó nếu J là một tập con
thực sự của tập số tự nhiên N thì {ej}j∈J không là một khung của H theo Định lý 1.3 nói trên.
Thật vậy, giả sử với j0 ∈ N\J, ta lấy fe= ej0
, thì fe∈ H, nhưng f / e∈ M = span {ej
: j ∈ J} vì
fe= ej0 =
X
j∈J
hej0
, ej iej + hej0
, ej0
iej0 = hej0
, ej0
iej0 với j0 ∈/ J,
còn M chỉ gồm các vectơ có dạng P
j∈J
hf, ej iej
. Vậy
M = span {fj
: j ∈ J} 6= H.
Định nghĩa 1.4. Một khung nhưng không phải là cơ sở của một không gian Hilbert được gọi
là khung thừa (redundancy) hay khung quá đủ (overcomplete).
Định lý 1.4 dưới đây là một kết quả quan trọng và việc chứng minh nó là một hình mẫu
cho nhiều chứng minh đối với các khẳng định khác. Để việc chứng minh bớt cồng kềnh, ta chia
việc chứng minh thành nhiều bổ đề nhỏ trước khi đi đến kết luận cần thiết.
Bổ đề 1.1. Nếu f, g ∈ H ta luôn có
hf, gi =
1
4
(kf + gk
2−kf − gk
2 + ikf + igk
2 − ikf − igk
2
).
Đẳng thức trên được gọi là đồng nhất phân cực (Polarization Identily).
Bổ đề 1.2. Giả sử U : H −→ H là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert. Giả thiết
rằng hUf, fi = 0 với mọi f ∈ H. Khi đó
(i) Nếu H là một không gian Hilbert phức thì U = 0;
(ii) Nếu H là một không gian Hilbert thực và U tự liên hợp thì U = 0.
Bổ đề 1.3. Cho H là không gian Hilbert và giả sử {ej}
∞
j=1 là một tập các vectơ thuộc H. Giả
sử
kfk
2 =
X∞
j=1
|hf, ej i|2
, ∀f ∈ H
và giả sử thêm rằng chuỗi P∞
j=1hf, ej iej hội tụ trong H với mọi f ∈ H. Khi đó
hf, gi =
X∞
j=1
hf, ej ihej
, gi, ∀f, g ∈ H.
8
Định lý 1.4. Cho không gian Hilbert H và giả sử {ej}
∞
j=1 là một tập các vectơ thuộc H. Thế
thì đẳng thức sau xảy ra
kfk
2=
X∞
j=1
|hf, ej i|2
, ∀f ∈ H. (1.3)
khi và chỉ khi
f =
X∞
j=1
hf, ej iej
, ∀f ∈ H. (1.4)
Định lý 1.5. Giả sử {ej}
∞
j=1 là một hệ các vectơ trong không gian Hilbert H thỏa mãn đẳng
thức (1.3) với mọi vectơ f ∈ H. Ngoài ra, nếu kejk ≥ 1 với mọi j = 1, 2, ... thì {ej}
∞
j=1 là một
cơ sở trực chuẩn của không gian H.
Trong Định lý 1.4 ta giả thiết đẳng thức (1.3) đúng cho mọi vectơ f ∈ H. Nhưng thật ra
chỉ cần đẳng thức này đúng cho mọi vectơ thuộc một tập trù mật trong H như được chỉ ra
trong định lý dưới đây.
Định lý 1.6. Giả sử {ej}
∞
j=1 là một hệ các vectơ trong không gian Hilbert H thỏa mãn đẳng
thức (1.3) với mọi vectơ f trong một tập trù mật D ⊂ H. Khi đó đẳng thức (1.3) cũng đúng
với mọi vectơ f ∈ H.
1.4. Toán tử unitar và khung
Định nghĩa 1.5. Một toán tử tuyến tính bị chặn U : H −→ H được gọi là unitar nếu
UU∗ = U
∗U = I,
ở đây I : H −→ H là toán tử đồng nhất, còn U
∗
: H −→ H là liên hợp của toán tử U. Từ định
nghĩa, ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.1. Nếu U : H −→ H là toán tử unitar, ta có đẳng thức sau
kUfk =kU
∗
fk =kfk, ∀f ∈ H.
Định lý 1.7. Nếu U : H −→ H là toán tử unitar, còn {fk}
∞
k=1 là một khung trong không gian
Hilbert H. Khi đó {Ufk}
∞
k=1 cũng là một khung trong H.
9
CHƯƠNG 2
TOÁN TỬ KHUNG VÀ TOÁN TỬ KHUNG ĐỐI NGẪU
Chương 2 dành cho việc mô tả quá trình xây dựng toán tử khung, toán tử khung đối ngẫu
và xét một vài tính chất quan trọng của chúng. Toán tử khung và toán tử khung đối ngẫu được
xây dựng trên cơ sở một khung đã cho trong không gian và chúng là liên hợp của nhau, sẽ thấy
trong Định lý 2.4. Khi đó mỗi vectơ của các không gian Hilbert được biểu diễn dưới dạng một
chuỗi qua các phần tử của khung.
2.1. Toán tử khung
Mục này trình bày cách thức xây dựng một toán tử khung của một khung cho trước trong
không gian Hilbert. Ta sẽ thấy toán tử khung S được xây dựng là một toán tuyến tính dương
liên tục và tự liên hợp. Ngoài ra nó còn là toán tử khả nghịch, tức tồn tại S
−1
: H −→ H sao
cho S
−1S = SS−1 = I, ở đây I là toán tử đồng nhất trong H. Với toán tử khung này, ta sẽ
xây dựng được một khung đối ngẫu của một khung cho trước để biểu diễn các vectơ trong một
không gian Hilbert thành chuỗi các vectơ như sẽ thấy ở mục sau.
Trước khi giới thiệu về toán tử khung, ta sẽ bàn kỹ hơn về khung và đặc biệt về khung chặt,
vì chúng sẽ dẫn tới khái niệm toán tử khung mà ta muốn trình bày.
Giả sử {fj}
∞
j=1 là một khung chặt trong không gian Hilbert H và giả sử kfj0
k > 1 với một
j0 ∈ N nào đó, thì tồn tại A > 0 sao cho
Akfk
2 =
X∞
j=1
|hf, fj i|2
, ∀f ∈ H.
Thay f = fj0
vào đẳng thức trên rồi chia hai vế cho kfj0
k
2
, ta được
A =kfj0
k
2 +
X
j6=j0
1
kfj0
k
2
|hfj0
, fj i|2 > 1.
Từ đây ta suy ra, nếu A = 1 thì kfj0
k = 1 và fj⊥fj0
, ∀j ∈ N \ j0. Do đó nếu mọi phần tử của
khung chặt {fj}
∞
j=1 đều có chuẩn bằng 1 và A = 1, thì do
kfk
2 =
X∞
j=1
|hf, fj i|2
, ∀f ∈ H
nên khung chặt nói trên là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H.
10
Ta biết rằng trong một không gian Hilbert H, nếu hệ các vectơ {fj}
∞
j=1 là một hệ trực chuẩn
thì mọi f ∈ H có thể biểu diễn qua các hệ số {hf, fj i}∞
j=1. Bây giờ ta xét trường hợp hệ này là
một khung chặt, khi đó A > 0 sao cho
Akfk
2 =
X∞
j=1
|hf, fj i|2
, ∀f ∈ H.
Bằng cách lập luận tương tự như Định lý 1.4 (Chương 1) khi (1.3) kéo theo công thức (1.4)
ta có định lý sau.
Định lý 2.1. Giả sử {fj}
∞
j=1 là một khung chặt trong không gian Hilbert H, tức tồn tại A > 0
sao cho
Akfk
2 =
X∞
j=1
|hf, fj i|2
, ∀f ∈ H.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi mỗi vectơ f ∈ H đều có biểu diễn dưới dạng
f =
1
A
X∞
j=1
hf, fj ifj (2.1)
với sự hội tụ trong H.
Bây giờ ta tìm cách biểu diễn các vectơ f ∈ H qua khung trong trường hợp tổng quát, tức
qua khung bất kỳ nói chung không phải khung chặt và ta sẽ dẫn tới khái niệm toán tử khung
được xây dựng sau này. Ta nhắc lại một vài khái niệm.
Ta gọi không gian các số phức bình phương khả tổng l
2
là tập
l
2 = {{cj}
∞
j=1 :
X∞
j=1
|cj
|
2 < ∞, cj ∈ C, j = 1, 2, ...}
và
hc, di =
X∞
j=1
cjdj
, c = {cj}
∞
j=1 ∈ l
2
, d = {dj}
∞
j=1 ∈ l
2
.
Từ đó
kckl
2= (X∞
j=1
|cj
|
2
)
1/2
, với c = {cj}
∞
j=1 ∈ l
2
.
Giả sử {fj}
∞
j=1 là một khung trong không gian Hilbert H. Khi đó có các số 0 < A ≤ B < ∞
sao cho
Akfk
2 ≤
X∞
j=1
|hf, fj i|2 ≤ Bkfk
2
, ∀f ∈ H. (2.2)
Điều này có nghĩa là vectơ {hf, fj i}∞
j=1 thuộc l
2
, từ đó có định nghĩa sau
Định nghĩa 2.1. Ta gọi ánh xạ T : H −→ l
2 được cho bởi
T f = {hf, fj i}∞
j=1 (2.3)
11
là toán tử phân tích (analysis operator) tương ứng với khung {fj}
∞
j=1. Toán tử phân tích quả
thực là một toán tử tuyến tính liên tục như được chỉ ra trong định lý sau.
Định lý 2.2. Toán tử phân tích T : H −→ l
2
là một toán tử tuyến tính liên tục.
Bây ta cần tạo thêm một số bước chuẩn bị nữa để đi đến định nghĩa toán tử khung. Ta sẽ
nhắc lại khái niệm liên hợp một toán tử tuyến tính liên tục. Giả sử T : K −→ H là một toán
tử tuyến tính từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K. Gọi h., .iH và h., .iK lần lượt
là các tích trong trên các không gian H và K. Dễ dàng thấy rằng với mỗi g cố định thuộc H
thì ánh xạ.
Φ : K −→ C, Φf = hT f, giH, ∀f ∈ K (2.4)
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert K. Vậy theo Định lý Riesz tồn
tại duy nhất một vectơ T
∗
g ∈ K sao cho
Φf = hf, T∗
giK,
nghĩa là
hT f, giK = hf, T∗
giK, ∀f ∈ K. (2.5)
Như vậy, mỗi g ∈ H ứng một phần tử xác định T
∗
g ∈ K, tức ta có một ánh xạ T
∗
: H −→ K.
Ánh xạ T
∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Hơn nữa, ta sẽ thấy rằng T
∗
là một ánh
xạ tuyến tính liên tục như được chỉ ra trong định lý dưới đây.
Định lý 2.3. Toán tử liên hợp T
∗
: H −→ K là một toán tử tuyến tính liên tục.
Định lý 2.4. Giả sử T : K −→ H là một toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó
(i) (T
∗
)
∗ = T;
(ii) kTk =kT
∗k.
Định nghĩa 2.2. Toán tử liên hợp T
∗
: l
2 −→ H của toán tử phân tích T : H −→ l
2 nói trên
được gọi là toán tử tổng hợp (synthesis operator) tương ứng với khung {fj}
∞
j=1.
Sau này, khi nói về toán tử phân tích hay toán tử tổng hợp tương ứng với một khung, ta
thường gọi tắt là toán tử tổng hợp hay toán tử phân tích và ngầm hiểu là tương ứng với khung
đã biết. Định lý dưới đây cho một biểu diễn cụ thể của toán tử tổng hợp.
Định lý 2.5. Toán tử tổng hợp (liên hợp của toán tử phân tích T : H −→ l
2
) là toán tử
T
∗
: l
2 −→ H cũng thỏa mãn kT
∗k =kTk ≤ √
B và được cho bởi công thức sau
T
∗
{cj}
∞
j=1 =
X∞
j=1
cjfj (2.6)
với sự hội tụ theo chuẩn trong H.
12
Định lý 2.6. Nếu T : H −→ H là một toán tử tuyến tính liên tục trong H thì điều kiện cần và
đủ để T có toán tử ngược liên tục T
−1
là tồn tại hằng số dương c sao cho với mỗi f ∈ H, ta có
kT fk > ckfk. (2.7)
Hệ quả 2.1. Nếu S : H −→ H là một toán tử dương và giả sử có số A > 0 sao cho
Ahf, fi ≤ hSf, fi, ∀f ∈ H,
thì S có nghịch đảo dương tự liên hợp S
−1
: H −→ H.
Định nghĩa 2.3. Giả sử T là toán tử phân tích, còn T
∗
là toán tử tổng hợp (liên hợp của T)
thì tích của chúng S = T
∗T : H −→ H rõ ràng là một toán tử dương, ta gọi S là toán tử khung
(frame operator) và ta có
Sf = T
∗T f =
X∞
j=1
hf, fj ifj (2.8)
với mọi f ∈ H.
Với toán tử khung S này thì bất đẳng thức kép về khung (2.2) trở thành
Ahf, fi ≤ hSf, fi ≤ Bhf, fi, ∀f ∈ H. (2.9)
Các bất đẳng thức này chỉ ra rằng S là một toán tử dương và thỏa mãn
AI ≤ S ≤ BI, (2.10)
ở đây I là một toán tử đồng nhất trên không gian Hilbert H.
Theo Hệ quả 2.1 nói trên toán tử khung S : H −→ H có nghịch đảo dương liên tục tự liên hợp
S
−1
: H −→ H.
2.2. Khung đối ngẫu và khung đối ngẫu chính tắc
Với khung {fj}
∞
j=1 đã cho trong không gian Hilbert H thì mỗi vectơ f ∈ H nói chung không
thể biểu diễn thành chuỗi qua khung này dưới dạng P∞
j=1hf, fj ifj như trong trường hợp {fj}
∞
j=1
là một cơ sở trực chuẩn. Nhưng nhờ vào toán tử khung S, một toán tử dương liên tục và tự liên
hợp trong H, ta có thể biểu diễn vectơ f qua khung đối ngẫu chính tắc (canonical dual farme)
như được chứng minh trong Định lý 2.10 dưới đây về phân tích khung . Việc biểu diễn này là
hết sức hữu ích trong việc nghiên cứu các tính chất của khung. Trước hết ta cần đến một vài
bổ đề cần thiết.
Bổ đề 2.1. Nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục tự liên hợp trong H thì ta có
kTk = sup{|hT f, fi| : f ∈ H, kfk = 1}. (2.11)
13
Bổ đề 2.2. Nếu T là một toán tử dương trong H thì ta có bất đẳng thức sau
(a) |hT f, gi|2 ≤ hT f, fihT g, gi, ∀f, g ∈ H (2.12)
và
(b) |hT f, gi| ≤ 1
2
(hT f, fi + hT g, gi), ∀f, g ∈ H. (2.13)
Bất đẳng thức (2.12) được gọi là bất đẳng thức Schwarz tổng quát, còn bất đẳng thức (2.13)
được gọi là bất đẳng thức trung bình cộng.
Bổ đề 2.3. Nếu S, T là các toán tử liên tục, S ≥ 0 còn S và ST tự liên hợp, thì với mọi f ∈ H
ta có
|hST f, fi| ≤kTkhSf, fi. (2.14)
Các Bổ đề từ 2.1 đến 2.3 vừa nói trên cho phép ta chứng minh định lý quan trọng liên quan
đến toán tử dương sau đây.
Định lý 2.7. Ta có các khẳng định sau
(a) Tích RS của hai toán tử dương R, S và giao hoán được với nhau, tức RS = SR, luôn là
một toán tử dương;
(b) Nếu R, S, T là các toán tử tự liên hợp và T ≥ 0 thì bất đẳng thức R ≤ S kéo theo RT ≤ ST,
miễn là T giao hoán được với cả R lẫn S, tức RT = T R và ST = T S.
Định lý 2.8. Giả sử S : H −→ H là một toán tử dương và giả sử tồn tại các hằng số dương
0 < A ≤ B < ∞ thỏa mãn bất đẳng thức (2.10). Thế thì với toán tử ngược dương S
−1
của S
trong H, ta có bất đẳng thức sau
1
B
I ≤ S
−1 ≤
1
A
I. (2.15)
Định lý 2.9. Nếu {fj}
∞
j=1 là một khung trong không gian Hilbert H với các biên là A và B,
thì họ {fej = S
−1
fj}
∞
j=1 cũng là khung của H với các biên tương ứng 1
B
và 1
A
.
Định nghĩa 2.4. Khung {fej = S
−1
fj}
∞
j=1 được gọi là khung đối ngẫu chính tắc (canonicaldual
frame) của khung {fj}
∞
j=1 trong không gian Hilbert H .
Nhờ khung đối ngẫu {fej = S
−1
fj}
∞
j=1 ta có thể biểu diễn mỗi vectơ f ∈ H thành chuỗi
hội tụ trong H qua khung đã cho với hệ số {hf, fej i}∞
j=1 hoặc qua khung đối ngẫu với hệ số
{hf, fj i}∞
j=1 như được chỉ ra trong Định lý 2.10 quan trọng dưới đây.
Định lý 2.10. Nếu định nghĩa
hg, fi# = hS
−1
g, fi, ∀g, f ∈ H (2.16)
thì khi đó
(a) h., .i# là một tích trong trong H và nó tương đương với tích trong đã cho h., .i, nghĩa là một