Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và ứng dụng

Luận văn

Đề tài: Khai triển tiệm cận của

hàm sinh bởi phân hoạch số

nguyên và ứng dụng

Lời cảm ơn

Nhân dịp luận văn được hoàn thành tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân

thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn tác

giả trong quá trình thực hiện luận văn.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại

học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà

trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã

tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và

tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Tác giả

Kiều Thanh Hà

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào,

luận văn “Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số

nguyên và ứng dụng” được hoàn thành, không trùng với bất kỳ luận

văn nào khác.

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các

nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Tác giả

Kiều Thanh Hà

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . 6

1.1. Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Khái niệm và một số tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2. Sự hội tụ của dãy số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3. Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Hàm liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4. Tích phân phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3. Khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.1. Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2. Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.3. Định nghĩa của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4. Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.5. Tính chất của khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Chương 2. HÀM SINH BỞI CHUỖI VÔ HẠN . . . . . . . . . 39

2.1. Lý thuyết cơ bản về phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.1. Một số khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1.2. Các hàm sinh bởi tích vô hạn một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.3. Biểu diễn đồ thị của các phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2. Các hàm sinh bởi chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

2.3. Ứng dụng của phân hoạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chương 3. TIỆM CẬN CỦA HÀM SINH BỞI TÍCH VÔ

HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1. Biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2. Định lý của Meinardus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3. Các ứng dụng của định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết phân hoạch có lịch sử khá lâu trong những thời kỳ hình thành

của lý thuyết số Toán học. Tuy nhiên, những phát hiện mang tính chất

đột phá diễn ra ở thế kỷ XVIII, xuất phát từ những công trình nghiên

cứu của nhà toán học vĩ đại Leonard Euler. Ngay sau thời kỳ đó lý

thuyết phân hoạch đã được nhiều nhà toán khác góp sức nghiên cứu và

phát triển. Chúng ta có thể kể ra ở đây để minh chứng cho vấn đề đã

nêu qua các công trình nghiên cứu của các nhà toán học nổi tiếng Cayle,

Gauss, Jacobi, Lagrange, Legendre, Littllewood, Rademacher, Ramanu￾jan, Schur và Sylvester .... Lý thuyết phân hoạch có nhiều áp dụng trong

những vấn đề lớn của toán học, đáng kể ở đây ta có thể nói đến bài toán

kinh điển về phân tích số nguyên dưới dạng tổng các bình phương, định

lý số nguyên tố, tổng các số nguyên khác, ...

Cùng với sự phát triển trên đây của lĩnh vực lý thuyết số, một hướng

nghiên cứu cũng được hình thành từ khá sớm là lý thuyết giải tích tiệm

cận. Trong giải tích toán học nhiều chuỗi số ta có thể chứng minh hội

tụ của nó một cách đơn giản, tuy nhiên để tính tổng của nó thì không

hề đơn giản. Giải tích tiệm cận và một phần trong lĩnh vực là lý thuyết

chuỗi tiệm cận. Ở đây, ngoài việc quan tâm đến việc tính tổng của các

chuỗi số hội tụ, trong lý thuyết số các nhà toán học còn nghiên cứu đến

chuỗi phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị của một đại

3

lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là "tổng" của chuỗi.

Trường hợp điển hình là đối với chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số

hạng đầu tiên của chuỗi thực sự mang đến hiệu quả mong muốn. Trong

hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi

biến độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó), nhưng những số

hạng bắt đầu tăng trở lại. Một trong các hướng nghiên cứu vấn đề này

được gọi là lý thuyêt chuỗi tiệm cận. Việc nghiên cứu sự xấp xỉ tiệm cận

của các hàm sinh bởi phân hoạch của số nguyên là một hướng thu hút

sự chú ý của các nhà Toán học. Để hoàn thành luận văn đào tạo Thạc

sỹ chuyên ngành Toán giải tích và được sự định hướng của người hướng

dẫn em chọn đề tài "Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân

hoạch số nguyên và ứng dụng".

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết phân hoạch, lý thuyết tiệm cận.

Vấn đề khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một cách cụ thể về một số khái niệm, tính chất của phân

hoạch.

Khai triển tiệm cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên và một số

ứng dụng của nó.

4

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phân hoạch số nguyên.

Vấn đề khai triển tiện cận của hàm sinh bởi phân hoạch số nguyên.

5. Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục

đích nghiên cứu.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn

Trình bày về lý thuyết phân hoạch số nguyên, lý thuyết tiệm cận.

Nghiên cứu một cách có hệ thống về khai triẻn tiệm cận của hàm sinh

bởi phân hoạch số nguyên và một số áp dụng.

5