Khai triển tiệm cận các tích phân kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

TRẦN GIA LỘC

KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC

TÍCH PHÂN KỲ DỊ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH TOÁN HỌC

Đà Lạt – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

TRẦN GIA LỘC

KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC

TÍCH PHÂN KỲ DỊ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 62.46.01.01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. GS. TSKH. Lê Dũng Tráng

2. TS. Trịnh Đức Tài

Đà Lạt - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được viết bởi chính tôi, các kết quả liên quan đến luận án

là của tôi hoặc của tôi làm việc chung với GS.TSKH. Lê Dũng Tráng,

PGS.TSKH. Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài. Các kết quả khác được sử

dụng để viết luận án đều được trích dẫn đầy đủ.

Các kết quả của tôi hoặc của tôi làm việc chung với các nhà toán học trên

là mới và chưa công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. PGS.TSKH.

Hà Huy Vui, TS. Trịnh Đức Tài đã đồng ý cho tôi sử dụng các kết quả

nghiên cứu chung của tôi với họ để viết luận án này.

Luận án này được viết và hoàn thành tại Viện Toán học và Trường Đại

học Đà Lạt, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê Dũng Tráng,

PGS.TSKH. Hà Huy Vui và TS. Trịnh Đức Tài; đã được ba nhà Toán

học trên đọc, góp ý và sửa chữa.

Đà Lạt, ngày 01 tháng 08 năm 2014

Trần Gia Lộc

i

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi bày tỏ lòng biết ơn cố PGS.TSKH. Nguyễn Hữu Đức, người đã

dạy và hướng dẫn tôi làm luận văn Thạc sĩ, đã dẫn dắt tôi đến với lý thuyết kỳ dị,

đã khuyến khích động viên tôi tiếp tục làm nghiên cứu sinh và dành cho tôi sự quan

tâm sâu sắc. Đặc biệt, ông đã giới thiệu tôi theo học và làm việc với GS.TSKH. Lê

Dũng Tráng để hoàn thành luận án này.

Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Lê

Dũng Tráng. Thầy đã đặt ra các bài toán một cách tường minh giúp tôi nhanh

chóng định hướng nghiên cứu của mình. Dù bận rộn với công việc và gặp vấn đề về

sức khỏe, nhưng Thầy vẫn kiên trì theo dõi và động viên tôi làm việc, đã dành cho

tôi một sự quan tâm đặc biệt, đã đề xuất các hướng nghiên cứu và đưa ra các câu

hỏi xác đáng, giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận án. Qua

kiến thức uyên bác và sự hướng dẫn của Thầy, tôi đã biết và hiểu rõ giá trị của một

số lĩnh vực Toán học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy.

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trịnh Đức Tài đã dành cho tôi những buổi seminar

và những lần trao đổi bổ ích, giúp tôi vượt qua sự bỡ ngỡ ban đầu để giải quyết bài

toán của GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi, đã đọc và có những ý kiến xác đáng

giúp tôi chỉnh sửa luận án này.

Luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ và hướng dẫn khoa

học của PGS.TSKH. Hà Huy Vui. Từ cuối năm 2008, thầy đã quan tâm động viên,

khuyến khích và nhẫn nại dành thời gian dạy và hướng dẫn tôi vượt qua những khó

khăn ban đầu để đọc các công trình của B. Malgrange liên quan đến các bài toán

mà GS. Lê Dũng Tráng đặt ra cho tôi. Đặc biệt từ năm 2011, Thầy đã đặt ra bài

toán tìm tiệm cận thể tích và tiệm cận số điểm nguyên của một tập nửa đại số cho

tôi, kiên trì hướng dẫn tôi giải quyết bài toán đó để hoàn thành luận án này. Tôi

xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến Thầy.

Tôi trân trọng cảm ơn PGS.TS. Tạ Lê Lợi, PGS.TS. Phạm Tiến Sơn, TS. Đỗ

Nguyên Sơn và nhóm seminar lý thuyết kì dị của Khoa Toán - Đại học Đà Lạt đã

dành cho tôi những buổi seminar bổ ích, sẵn sàng chia sẽ kiến thức, đã quan tâm

ii

hỗ trợ vật chất và tinh thần cho tôi trong quá trình nghiên cứu.

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Đà Lạt, Phòng Đào Tạo Đại học

và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa Toán Tin học của

trường Đại học Đà Lạt; Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Đà Lạt đã tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh tại Trường Đại

học Đà Lạt.

Tôi trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Phòng Hình học và Tôpô, nhóm seminar

kỳ dị của Viện Toán học đã hỗ trợ vật chất và điều kiện làm việc thuận lợi cho tôi

trong những lần tôi đến Viện Toán học để học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn

của PGS. TSKH. Hà Huy Vui.

Tất nhiên luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự hậu thuẫn, cảm

thông, chia sẽ và động viên của gia đình tôi trong suốt thời gian tôi làm nghiên cứu

sinh. Lời cảm ơn cuối cùng này tôi xin dành cho gia đình thân yêu của tôi.

Đà Lạt, 09 tháng 08 năm 2014

Trần Gia Lộc

iii

Mục lục

LỜI CAM ĐOAN i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iv

Danh sách hình vẽ vii

Danh sách các ký hiệu viii

Tóm tắt xii

Mở đầu 1

Các Hội nghị và Seminar có báo cáo kết quả của luận án 5

Các công trình của tác giả liện quan đến luận án 6

1 Tổng quan về tích phân kỳ dị dao động 7

1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Phương pháp pha dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Trường hợp hàm pha không có điểm kỳ dị trong supp(f) . . . 10

1.2.2 Trường hợp hàm pha có kỳ dị không suy biến . . . . . . . . . 11

1.3 Tích phân dao động trong trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Đánh giá tích phân dao động một chiều . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Tích phân dao động trong trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . 18

1.5 Trường hợp hàm pha là đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Đa diện Newton và tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 Chỉ số dao động và chỉ số kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.2 Đa diện Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Đa diện Newton và đánh giá tích phân dao động . . . . . . . . 28

1.7 Tích phân dao động phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iv

MỤC LỤC

1.8 Tiệm cận thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8.1 Dạng Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.8.2 Thể tích của tập dưới mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.8.3 Tích phân kiểu Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Đa thức Bernstein-Sato và hàm gamma suy rộng 33

2.1 Đơn đạo của một kì dị cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Đa thức Bernstein-Sato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Đa thức Bernstein-Sato và thác triển giải tích của hàm f

s

. . . . . . 40

2.4 Hàm gamma suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4.1 Khảo sát giả thuyết 2.4.1 bằng cách sử dụng tính chất của

hàm gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4.2 Một điều kiện đủ cho phương trình hàm (2.3) . . . . . . . . . 45

2.5 Hàm gamma ứng với f(t) = t

k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.1 Tính chất của Γt

k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5.2 Khai triển tiệm cận của Γt

k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.3 Quan hệ giữa Γt

k và Γk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Hàm zeta và hàm beta suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6.1 Hàm f−beta và hàm f−zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6.2 Các hàm t

k − beta và t

k − zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.7 Phương trình hàm của Γf với f là đa thức bậc hai . . . . . . . . . . 56

3 Tiệm cận số điểm nguyên và tiệm cận thể tích của các tập nửa đại

số 58

3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Phát biểu các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Các chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 Chứng minh Định lý 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3.3 Chứng minh Định lý 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

KẾT LUẬN 85

A Các khái niệm cơ bản 87

A.1 Không gian L

p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.2 Không gian L

∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.3 Các ký hiệu ∼ ,  , o , và O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

v

MỤC LỤC

A.4 Tập nửa đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A.5 Đa thức monic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

B Mở đầu về đồng điều đơn hình và đồng điều kỳ dị 90

B.1 Nhóm đồng điều đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.1.1 Đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

B.1.2 Phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.1.3 Hướng của phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B.1.4 Nhóm các dây chuyền p chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

B.1.5 Các số Betti và đặc trưng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.2 Đồng điều kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

B.2.1 Quan hệ giữa đồng điều đơn hình và đồng điều kì dị . . . . . . 98

Các thuật ngữ 99

Tài liệu tham khảo 101

vi

Danh sách hình vẽ

1.1 Đa diện Newton của K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2 (a) Đa diện Newton của φ, (b) Lược đồ Newton của φ . . . . . 27

2.1 Phân thớ Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1 (a) - đa diện Newton của f (b) - đa diện Newton của f tại vô

cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 (a) - đa diện Newton của g (b) - đa diện Newton của g tại vô

cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B.1 Các đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.2 Các phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.3 Không là phức đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

B.4 Tam giác phân của băng Mo¨bius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

B.5 Đơn hình 2 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

B.6 Đơn hình 3 chiều định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

B.7 Các đơn hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.8 Các đơn hình kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

vii

Danh sách các ký hiệu

Các chuẩn và không gian

k . kLp chuẩn L

p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

k f kLp

￾R

Rd | f(x) |

p dx
1

p

- chuẩn L

p

của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

k . kL∞ chuẩn L

∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

k f kL∞ chuẩn L

∞ của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

k f kCN (Ω) max

x∈Ω

P

|α|≤N

| Dα

f(x) | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

k P k

P

0<|α|≤d

| aα |, chuẩn của đa thức P(x) = P

0≤|α|≤d

aαx

α

. . . . . . . . . . . . . . 22

L

p

(X, F, µ) ký hiệu tắt L

p

(X), hoặc L

p

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

L

1

(X, F, µ) không gian tất cả các hàm khả tích trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

L

∞(X, F, µ) còn ký hiệu tắt là L

∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C

∞(Ω, R) Không gian các hàm nhận giá trị thực, khả vi vô hạn trên Ω. . . . .10

C

∞

0

(Ω) Không gian các hàm trơn có giá compact trong Ω. . . . . . . . . . . . . . . . .9

C

∞(Ω) Không gian các khả vi vô hạn trong Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

OX bó các hàm giải tích trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Các tích phân và phép biến đổi tích phân

F(f)

R +∞

−∞ e

ixξf(x)dx, phép biến đổi Fourier của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Hf(x)

1

π

R +∞

−∞

f(t)

x−t

dt, −∞ < x < +∞, phép biến đổi Hilbert của f. . . . . . .7

L{f(t); α}

R ∞

0

e

−αtf(t)dt, Re(α) > 0 - phép biến đổi Laplace của f . . . . . . . . 47

f

s

+, ϕ R

Rn ϕ(x)f

s

+dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

R

Rn e

iλφ(x)

f(x)dx tích phân dao động loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

vii

Danh sách các ký hiệu

Các số và hằng số đặc biệt

γ = limn→∞ ￾

1 + 1

2 + · · · +

1

n − log n

, hằng số Euler . . . . . . . . . . . . . . . 49

µ = dimCOX,0/



∂f

∂x1

, ...,

∂f

∂xn



, số Milnor của f tại điểm kỳ dị 0 . . . . 34

Các hàm đặc biệt và các hàm suy rộng

Γ(s) =

R +∞

0

e

−t

t

s−1dt, hàm gamma Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Γf (s) =

R ∞

0

f(t)

s−1

e

−tdt - hàm gamma ứng với f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Γt

k (s) =

R ∞

0

t

k(s−1)e

−tdt , Re(s) > 1 −

1

k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Γk(s) =

R ∞

0

t

s−1

e

− t

k

k dt, hàm k-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

B(p, q) =

R 1

0

t

p−1

(1 − t)

q−1dt, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm beta . . . . . . . . . . 54

Bf (p, q) =

Γf (p)Γf (q)

Γf (p + q)

, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm f-beta . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bt

k (p, q) =

Γt

k (p)Γt

k (q)

Γt

k (p + q)

, Re(p) > 0, Re(q) > 0, hàm t

k − beta . . . . . . . . . . . . 55

ζ(s) =

P∞

n=1

1

ns

, Re(s) > 1, hàm zeta Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ζH(s, a) =

P∞

n=0

1

(n + a)

s

, Re(s) > 1, a 6= 0, −1, −2, . . ., hàm zeta Hurwitz

54

ζf (s) =

1

Γf (s)

R ∞

0

f

s−1

(1 − e

−t

)

−1

e

−tdt, Re(s) > 1, hàm f-zeta . . . . . . . . 54

ζt

k (s) =

1

Γt

k (s)

R ∞

0

t

k(s−1)(1 − e

−t

)

−1

e

−tdt, Re(s) > 1, hàm t

k − zeta . . . 55

Các ký hiệu khác

bf (s) hoặc b(s), đa thức Bernstein-Sato của f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

K(x, t) hạt nhân Calderon-Zygmund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

coneΓ(f) nón sinh bởi Γ(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

∆+(d) = {(d1, . . . , dn) ∈ R

n

+ : d1 = . . . = dn} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Eα {x ∈ [a, b] :| φ(x) |≤ α}, tập dưới mức của φ trên [a, b] . . . . . . . . . . . 15

i

Danh sách các ký hiệu

Gf

(r) = {x ∈ R

n

: | fi(x) |≤ r, i = 1, . . . , m}, tập dưới mức của ánh xạ đa

thức f = (f1, . . . , fm) : R

n −→ R

m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

| Gf

(r) | hoặc V olume Gf

(r), thể tích của tập Gf

(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

D∞Γ(f) điểm xa nhất, tính từ gốc tọa độ, trong các giao điểm của Γ(f) với

đường chéo ∆+(d). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Hp(Xt

, C) nhóm đồng điều thứ p của thớ Xt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

J(t)

R

φ=t

f dx1 ∧ . . . ∧ dxn/dφ, hàm Gelfand-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30



∂

2φ

∂xi∂xj



(x0) ma trận Hessian của φ tại x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Λ∞ mặt có số chiều nhỏ nhất của Γ(f) cắt ∆+(d) tại D∞Γ(f) . . . . . . . 62

H ma trận của đơn đạo của f đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Γ+(K) đa diện Newton của tập K ⊂ N

k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Γ+(K) lược đồ Newton của tập K ⊂ N

k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Γ(f) = conv  m

∪

i=1

supp(fi)



, đa diện Newton của ánh xạ đa thức f =

(f1, . . . , fm) : R

n −→ R

m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Γ∞(f) = conv  m

∪

i=1

supp(fi)



∪ {0}



, đa diện Newton của ánh xạ đa thức

f = (f1, . . . , fm) : R

n −→ R

m tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Γ( e f) đa diện đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

o

R

n {(x1, . . . , xn) ∈ R

n

: xj 6= 0, j = 1, . . . , n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

∇φ(x0)



∂φ

∂x1

(x0), . . . ,

∂φ

∂xn

(x0)



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

sgn φ00(x0) dấu của φ

00(x0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

supp(f) {x ∈ Ω : f(x) 6= 0}, giá của hàm f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

supp φ {n ∈ N

k

: an 6= 0}, giá của chuỗi φ =

P

n∈K

anx

n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

P(x, s,

∂

∂x) toán tử đạo hàm riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

P(s)

∗ =

P

β

(−1)|β|

￾

∂

∂x
β

aβ(x, s), toán tử liên hợp của toán tử vi phân

P(s) = P

β

aβ(x, s)

￾

∂

∂x
β

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41