Kết hợp hai phương pháp số để giải bài toán cauchy trong phương trình vi phân thường.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN − − − ⋆ − − −

TRẦN THỊ THẮM

KẾT HỢP HAI PHƯƠNG PHÁP

SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN

CAUCHY TRONG PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Cử nhân Toán ứng dụng.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Người hướng dẫn:

Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 4/2015

Mục lục

Lời nói đầu 5

1 Kiến thức cơ sở 7

1.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số . . . . . . . . . 7

1.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Tiếp cận lời giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Phương pháp số tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Cấp chính xác của phương pháp số . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Tính phù hợp của phương pháp số . . . . . . . . . . 10

1.3.3 Tính zero - ổn định của phương pháp số . . . . . . 12

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Phương pháp lặp đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách đều . . . . . . 14

1.6 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 Dạng chính tắc của phương trình Riccati . . . . . . 15

1.6.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.3 Dạng đặc biệt của phương trình Riccati . . . . . . 16

1.7 Phương pháp Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Các phương pháp số để giải bài toán Cauchy trong phương

trình vi phân thường 19

2.1 Các phương pháp tuyến tính đa bước . . . . . . . . . . . 19

− 2 −

2.1.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính k bước . . . . 21

2.1.3 Cấp chính xác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Phương pháp Adams - Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Xây dựng công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Một số phương pháp Adams - Bashforth . . . . . . . 24

2.3 Phương pháp Adams - Moulton . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1 Xây dựng công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 Một vài công thức Adams - Moulton . . . . . . . . . 28

2.4 Phương pháp Nystro¨m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1 Phát biểu công thức BDF . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Xét sự hội tụ và cấp chính xác của phương pháp

BDF 2 bước, 3 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Phương pháp Milne - Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.2 Cấp chính xác của phương pháp Milne - Simpson . 41

2.6.3 Sự hội tụ của phương pháp Milne - simpson . . . . . 43

2.7 Phương pháp tuyến tính 2 bước ẩn có cấp chính xác bằng 3 44

3 Dự báo bằng 1 phương pháp tuyến tính đa bước hiển và

hiệu chỉnh bằng 1 phương pháp tuyến tính đa bước ẩn để

giải bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường 48

3.1 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 2 bước và phương pháp

Adams - Moulton 2 bước để giải bài toán Cauchy . . . . . . 48

3.1.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2 Áp dụng giải một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Kết hợp phương pháp Adams - Bashforth 2 bước và phương

pháp tuyến tính 2 bước để giải bài toán Cauchy . . . . . . . 56

3.2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.2 Áp dụng giải một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 57

− 3 −

3.3 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 2 bước và phương pháp

Adams - Moulton 3 bước để giải bài toán Cauchy . . . . . . 65

3.3.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.2 Áp dụng giải một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Kết hợp phương pháp Adams - Bashforth 3 bước và phương

pháp BDF 3 bước để giải bài toán Cauchy . . . . . . . . . . 75

3.4.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.2 Áp dụng giải một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5 Kết hợp phương pháp Nystro¨m 3 bước và phương pháp

Milne - Simpson 4 bước để giải bài toán Cauchy . . . . . . 84

3.5.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5.2 Áp dụng giải một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . 86

Phụ lục 95

Kết luận 111

Tài liệu tham khảo 112

− 4 −

Lời nói đầu

Ngày nay, Giải tích Toán học đã có sự biến đổi mạnh mẽ. Trong đó,

lĩnh vực phương trình vi phân không ngừng được phát triển vì có rất nhiều

ứng dụng thực tiễn và nó xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ

thuật và những yêu cầu đòi hỏi của thực tế. Nhiều bài toán cơ học, vật lý

dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng. Để nghiên cứu

phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng là nghiên

cứu định tính và giải số. Việc tìm nghiệm đúng hay nghiệm giải tích của

một số phương trình vi phân là rất khó khăn và lớp các phương trình vi

phân tìm được nghiệm giải tích là rất hẹp.

Trong giải tích số, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp

hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ và có cấp chính xác cao. Để làm được điều

này,người ta thường kết hợp các phương pháp tuyến tính đa bước để nhận

được các phương pháp mới đảm bảo sự chính xác cao hơn.

Mục đích của khóa luận là kết hợp một cặp phương pháp số trong các

phương pháp Adams - Bashforth, Adams - Moulton, BDF, Nystro¨m, Milne

- Simpson và phương pháp tuyến tính 2 bước để giải bài toán Cauchy trong

phương trình vi phân thường nhằm tìm ra một phương pháp tốt nhất, cho

nghiệm chính xác nhất.

Khóa luận gồm 3 chương:

• Chương 1: Đại cương về phương pháp số giải phương trình vi phân.

• Chương 2: Trình bày các phương pháp tuyến tính đa bước làm cặp

phương pháp dự báo - hiệu chỉnh.

− 5 −

• Chương 3: Sử dụng cặp phương pháp tuyến tính đa bước hiển - ẩn

làm cặp dự báo - hiệu chỉnh để giải bài toán Cauchy đối với phương

trình vi phân thường.

• Phụ lục trình bày code được lập trình trên Maple.

Ở đây em đã lập trình và tính toán trên Maple vào một số ví dụ cụ thể.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn Th.S Nguyễn

Hoàng Thành, đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn em

trong suốt quá trình thực hiện đề tài của mình, hướng dẫn cho em cài đặt

và sử dụng Latex và đã giúp em thu được rất nhiều kiến thức bổ ích trong

quá trình hoàn thành luận văn này.

Em xin chân thành cảm ơn thầy Tôn Thất Tú đã hướng dẫn, giúp em có

thể sử dụng phần mềm Maple. Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn đến

thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo mọi điều

kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn.

Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên

khi thực hiện khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Em mong nhận

được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin

chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 25 tháng 4 năm 2015

Sinh viên

Trần Thị Thắm

− 6 −

Chương 1

Kiến thức cơ sở

1.1 Phương trình vi phân

Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân là phương trình chứa ẩn là một

hàm số cùng các đạo hàm của nó.

Một phương trình vi phân cấp n thường có dạng

y

(n) = f(x, y, y

′

, ....., y(n−1))

hoặc

F(x, y, y

′

, ....., y(n−1)) = 0

Nghiệm của phương trình vi phân là một hàm số y = ϕ(x) sao cho khi

thay y = ϕ(x) vào phương trình vi phân thì ta được đẳng thức đúng.

1.2 Bài toán Cauchy và cách tiếp cận lời giải số

Trong luận văn này, ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải các bài

toán tìm giá trị ban đầu. Bài toán tìm giá trị ban đầu còn gọi là bài toán

Cauchy là bài toán tìm y(x) sao cho







y

′ = f(x, y)

y(a) = η

(1.1)

với f : [a, b] × R

n → R

n

, y : [a, b] → R

n

, η = (y1(a), y2(a), ...., yn(a))

1.2.1 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định lý 1.1. (Xem [10]) Cho f : [a, b] × R

n → R

n

là ánh xạ liên tục trên

D = [a, b] × R

n

và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa là tồn

tại L ≥ 0 sao cho

kf(x, y) − f(x, y1)k ≤ L ky − y1k , ∀(x, y),(x, y1) ∈ D. (1.2)

Khi đó bài toán Cauchy (1.1) tồn tại duy nhất nghiệm y(x) liên tục và khả

vi trên D.

1.2.2 Tiếp cận lời giải số

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sử

dụng tìm nghiệm y(x) của bài toán Cauchy (1.1) trên một tập rời rạc của

[a, b]. Đó là chúng ta chia nhỏ [a, b] ra thành N phần bằng nhau bởi các

điểm chia {xi}

N

i=0 được định nghĩa bởi xi = ai + ih, i = 0, N, h =

b − a

N

.

Tham số h được gọi là bước nhảy.

Giả sử y(x) là nghiệm của hệ (1.1), đặt yn là xấp xỉ của nghiệm y(xn) của

(1.1) tại xn. Ký hiệu yn ≈ y(xn)

Mục đích của ta là tìm một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giá trị xấp

xỉ {yn}

N

n=0 của nghiệm của (1.1) trên tập rời rạc {xn}

N

n=0.

Định nghĩa 1.2. Nghiệm số là một dãy các xấp xỉ nghiệm đúng của bài

toán (1.1) trên tập rời rạc trên [a, b].

Định nghĩa 1.3. (Xem [10]) Phương pháp số giải bài toán (1.1) là một

hệ sai phân của k + 1 giá trị xấp xỉ {yn+i}

k

i=1 của {y(xn+i)}

k

i=1để từ đó ta

có thể tính tuần tự các giá trị {yi}

N

i=0, với k là số bước.

1.3 Phương pháp số tổng quát

Định nghĩa 1.4. (Xem [10]) Phương pháp số tổng quát thường có dạng

yn+1 =

X

k

j=1

αjyn+1−j + hφf (yn+1, yn, ..., yn+1−k, xn+1−k, h) (1.3)

− 8 −

trong đó k gọi là số bước của phương pháp (1.3), h gọi là bước nhảy của

phương pháp (1.3)

Với k = 1 phương pháp số (1.3) gọi là phương pháp số một bước, k ≥ 2

phương pháp số (1.3) gọi là phương pháp số đa bước

Nếu φf không phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (1.3) là phương

pháp hiển.

Nếu φf phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (1.3) là phương pháp ẩn.

Ví dụ 1.1.

a. Phương pháp số yn+1 = yn +hf(xn, yn) là phương pháp hiển 1 bước.

b. Phương pháp số yn+1 = yn + hf(xn+1, yn+1)là phương pháp ẩn 1 bước.

c. Phương pháp số

yn+1 = yn +

h

2

[f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1)]

là phương pháp số 1 bước.

1.3.1 Cấp chính xác của phương pháp số

Định nghĩa 1.5. (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) gọi là phương pháp có

cấp chính xác là p nếu

y(xn+1)−[

X

k

j=1

αjy(xn+1−j)+hφf (y(xn+1), y(xn), ..., y(xn+1−k), xn+1−k, h)]

= o(h

p+1)

với o(h

p+1) là vô cùng bé cùng bậc với h

p+1 khi h → 0 .

Ví dụ 1.2.

− 9 −

a. Phương pháp Euler hiển yn+1 = yn + hf(xn, yn) là phương pháp có

cấp chính xác p = 1 vì

Ta có y(xn+1) = y(xn + h) = y(xn) + hy′

(xn) + o(h

2

)

⇒ y(xn+1) − y(xn) = hy′

(xn) + o(h

2

)

y(xn+1) − y(xn) − hf(xn, y(xn)) = o(h

2

)

b. Phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp Euler hình thang)

yn+1 = yn +

h

2

[f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1)]

là phương pháp có cấp chính xác p = 2 vì

Ta có y(xn+1) − y(xn) −

h

2

[f(xn, y(xn)) + f(xn+1, y(xn+1))]

= y(xn+1) − y(xn) −

h

2

[y

′

(xn) + y

′

(xn+1)]

= y(xn + h) − y(xn) −

h

2

[y

′

(xn) + y

′

(xn + h)]

= y(xn)+hy′

(xn)+ h

2

2

y

′′(xn)+o(h

3

)−y(xn)−

h

2

[y

′

(xn)+y

′

(xn)+hy′′(xn)

+o(h

2

)]

= o(h

3

)

1.3.2 Tính phù hợp của phương pháp số

Đặt R(xn+1) = y(xn+1)−[

P

k

j=1

αjyn+1−j+hφf (yn+1, yn, ..., yn+1−k, xn+1−k, h)]

Định nghĩa 1.6. R(xn+1) gọi là sai số chặt cụt.

Định nghĩa 1.7. (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) gọi là phù hợp nếu

lim

h→0

R(xn+1)

h

= 0

Hệ quả 1.1. (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) có cấp chính xác p ≥ 1 thì

phù hợp.

Ví dụ 1.3.

− 10 −

Áp dụng hệ quả, cấp chính xác của các phương pháp trên đều lớn hơn

hoặc bằng 1 nên ta có

a. Phương pháp Euler hiển là phù hợp

b. Phương pháp Euler ẩn là phù hợp

c. Phương pháp Euler cải tiến ( hình thang) là phù hợp

Định nghĩa 1.8. Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (1.3)

là đa thức có dạng

ρ(t) = t

k −

X

k

j=1

αj t

k−j

Định lý 1.2. (Xem [10]) Phương pháp số (1.3) phù hợp

⇔







ρ(1) = 0

φf (yn+1, . . . , yn+1−k, xn+1−k, h)

ρ

′

(1) = f(xn+1−k, yn+1−k)

⇔







1 −

P

k

j=1

αj = 0

φf (yn+1, yn, ..., yn+1−k, xn+1−k, 0)

k −

P

k

j=1

(k − j)αj

= f(xn+1−k, yn+1−k)

Ví dụ 1.4.

Các phương pháp Euler đều phù hợp vì

Xét phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất là ρ(t) = t − 1, khi

đó ρ

′

(t) = 1 và ρ(1) = 0

a. Phương pháp Euler hiển yn+1 = yn + hf(xn, yn)

Ta có φf (yn+1, yn, xn, 0) = f(xn, yn)

b. Phương pháp Euler ẩn yn+1 = yn + hf(xn+1, yn+1)

Ta có φf (yn+1, yn, xn, h) = f(xn+1, yn+1)

Chọn h = 0

Khi đó φf (yn+1, yn, xn, 0) = f(xn, yn)

− 11 −