Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán sinh viên: Tài liệu tham khảo / Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ, Phần Giải tích
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
Trường Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Kinh tế
Hướng dẫn ôn thi
Olympic Toán sinh viên
Phần Giải tích
TS. Lê Phương (chủ biên)
ThS. Bùi Thị Thiện Mỹ
Tài liệu tham khảo - Lưu hành nội bộ
Lời nói đầu
Olympic Toán sinh viên là cuộc thi học thuật thường niên được phối hợp
tổ chức bởi Hội toán học Việt Nam và Bộ Giáo dục đào tạo dành cho sinh
viên các trường đại học và cao đẳng trong cả nước. Kể từ lần đầu được tổ
chức vào năm 1993, cuộc thi đã trải qua chặng đường hơn 25 năm. Cuộc
thi đã góp phần quan trọng trong việc thúc đẩy phong trào dạy và học toán
trong các trường đại học, cao đẳng trong cả nước với một tỉ lệ không nhỏ
các sinh viên đạt giải đến từ các trường không có chuyên ngành toán.
Đã có khá nhiều sách và giáo trình được biên soạn nhằm phục vụ cho
cuộc thi. Có thể kể đến các cuốn “Toán Olympic cho sinh viên” của Trần Lưu
Cường [2, 3], “Những bài toán giải tích chọn lọc” của Tô Văn Ban [4], “Bài
tập giải tích” của Kaczkor - Nowak [5, 6],. . . cùng với đó là các cuốn kỷ yếu
chính thức từ Ban tổ chức cuộc thi [8]. Tuy nhiên nhìn chung các tài liệu
này chỉ phù hợp với đối tượng là các sinh viên học ngành toán hoặc đã kinh
qua các cuộc thi học sinh giỏi ở phổ thông. Khi đọc lời giải của các bài toán
trong những tài liệu trên, phần đông sinh viên sẽ không hiểu vì sao tác giả
lại tìm được những lời giải như vậy. Do đó rất khó để sinh viên có thể tự đọc
các tài liệu trên mà không có sự phân tích, giảng giải từ phía các giảng viên
có kinh nghiệm.
Tài liệu tham khảo này được đúc kết từ kinh nghiệm thực tế của các
tác giả với tư cách là người từng tham gia dự thi và tham gia huấn luyện
đội tuyển Olympic Toán của trường Đại học Ngân hàng thành phố Hồ Chí
Minh. Tài liệu ra đời với hi vọng giúp sinh viên có thể tự học, tự ôn luyện để
nắm bắt được phương pháp giải các bài toán giải tích. Thông qua các ví dụ
cụ thể, sinh viên sẽ được tiếp cận với các dạng toán thường xuất hiện trong
cuộc thi. Với mỗi bài toán, chúng tôi không chỉ cung cấp lời giải chi tiết mà
còn phân tích ý tưởng cũng như cách thức suy nghĩ để tìm ra lời giải một
cách tự nhiên nhất. Từ đó giúp sinh viên rèn luyện được phương pháp suy
nghĩ logic và tư duy sáng tạo vốn rất cần thiết cho sinh viên không chỉ trong
phạm vi cuộc thi mà còn trong học tập và trong công việc tương lai.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2019
Các tác giả
1
Mục lục
1 Kiến thức cơ sở 5
1.1 Giải bài toán olympic như thế nào . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Dãy số 11
2.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Dãy số và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Sai phân của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Các dạng toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Số hạng tổng quát của dãy số . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Hàm số 45
3.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3 Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Các dạng toán về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.1 Tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 Định lí giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Phép tính vi phân 71
4.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.2 Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3 Qui tắc L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3
4.1.4 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.5 Kĩ thuật thu gọn biểu thức chứa đạo hàm . . . . . . . 76
4.2 Các dạng toán về phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.1 Cực trị và bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2 Định lí giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.3 Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.4 Phương trình và bất phương trình vi phân . . . . . . . 87
4.2.5 Ứng dụng của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Phép tính tích phân 95
5.1 Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.1.3 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.4 Bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Các dạng toán về phép tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.1 Tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.3 Bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6 Đề thi chọn đội tuyển trường Đại học Ngân hàng TP. HCM125
6.1 Đề thi chọn đội tuyển năm 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2 Đề thi chọn đội tuyển năm 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.3 Đề thi chọn đội tuyển năm 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4 Đề thi chọn đội tuyển năm 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7 Đề thi cấp quốc gia bảng B môn giải tích 143
7.1 Đề thi năm 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 Đề thi năm 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Đề thi năm 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.4 Đề thi năm 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Giải bài toán olympic như thế nào
Phân tích bài toán
Giải một bài toán là thông qua các suy luận logic, ta biến đổi các giả thiết
ban đầu thành kết luận của bài toán. Do đó, định hướng chính khi giải toán
là biến đổi bài toán P ban đầu lần lượt thành các bài toán đơn giản hơn P1,
P2, . . . , Pn để từ đó thu được kết luận của bài toán P.
Bài toán P → Bài toán P1 → · · · → Bài toán Pn → Kết luận
Các bài toán trung gian, ví dụ bài toán (P1), có 1 trong 2 dạng:
1. Tương đương với bài toán P ban đầu (P1 ⇔ P): khi đó bài toán P
chỉ giải được khi và chỉ khi bài toán P1 giải được. Ta có thể tự tin tập
trung vào việc giải bài toán P1 đơn giản hơn bài toán ban đầu.
2. Bài toán ban đầu là hệ quả của bài toán P1 (P1 ⇒ P): trong trường
hợp này ta cần dự phòng tình huống bài toán P1 này là sai (không thể
giải được), khi đó ta phải đi tìm một cách tiếp cận khác.
Trong quá trình tìm lời giải bài toán, ta có thể vận dụng linh hoạt 3
phương pháp suy luận cơ bản sau:
1. Phương pháp phản chứng: Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta hãy giả
sử rằng P sai và từ đó suy ra một điều vô lí.
2. Phương pháp qui nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số
tự nhiên n, ta có thể chứng minh rằng: P(0) đúng và nếu P(n) đúng
thì P(n + 1) đúng.
5
1.2. Hằng đẳng thức Chương 1
3. Phương pháp chia trường hợp: Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta
có thể viết mệnh đề P thành tích của các mệnh đề đơn giản hơn:
P = P1P2 · · · Pn rồi chứng minh tất cả các mệnh đề P1, P2, . . . , Pn đều
đúng.
Mục tiêu chính của tài liệu tham khảo này là hướng dẫn sinh viên cách
suy luận để tìm ra lời giải của các bài toán giải tích thường xuất hiện trong
cuộc thi Olympic Toán sinh viên.
Trình bày lời giải
Quá trình phân tích bài toán để tìm lời giải thường không phải là một quá
trình suy luận logic chặt chẽ, mà còn dựa nhiều trên kinh nghiệm và trực
giác. Do đó ta sẽ không ghi những gì ta phân tích vào trong lời giải mà ta
chỉ ghi những suy luận chặt chẽ về mặt logic mà thôi.
1. Ta viết ra một lời giải đúng chứ ta không cần viết ra lí do tại sao ta lại
tìm được lời giải như vậy. Ví dụ: để giải bài toán tìm công thức tổng
quát của một dãy số truy hồi, ta có thể tính toán thử một số phần tử
đầu tiên của dãy để dự đoán công thức tổng quát, sau đó sẽ cố gắng
chứng minh dự đoán đó bằng qui nạp toán học. Bước tính toán thực
nghiệm để dự đoán công thức tổng quát là bước phân tích được tiến
hành ngoài nháp, không đưa vào bài giải. Trong bài giải ta chỉ cần ghi
“Bằng phương pháp qui nạp ta sẽ chứng minh công thức . . . ” và sau
đó ghi ra phần chứng minh mà không cần lí giải bằng cách nào ta tìm
được công thức đó.
2. Một lời giải tốt cần cô đọng, súc tích nhưng đầy đủ các bước suy luận.
Để lời giải đỡ nặng nề và dễ đọc, ta không nên quá lạm dụng các kí
hiệu ∀, ∃,⇔ mà nên sử dụng các mệnh đề logic thay thế như “với mọi”,
“tồn tại”, “khi và chỉ khi”. . .
1.2 Hằng đẳng thức
Cho các số thực a, b và số tự nhiên n, ta có các hằng đẳng thức sau:
1. Khai triển nhị thức Newton:
(a + b)
n =
Xn
k=0
C
k
na
k
b
n−k
.
6 Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán
Chương 1 1.3. Bất đẳng thức
2. Hiệu của 2 lũy thừa cùng bậc:
a
n − b
n = (a − b)
Xn−1
k=0
a
k
b
n−1−k
.
3. Tổng các lũy thừa cùng bậc của n số tự nhiên đầu tiên:
(a) Pn
k=1
k =
n(n+1)
2
.
(b) Pn
k=1
k
2 =
n(n+1)(2n+1)
6
.
(c) Pn
k=1
k
3 =
n(n+1)
2
2
.
1.3 Bất đẳng thức
Dưới đây là các bất đẳng thức cơ bản có thể sử dụng trong cuộc thi.
Định nghĩa 1.1. Hàm số f : D → R được gọi là lồi trên D nếu với mọi
x, y ∈ D và với mọi α ∈ (0, 1) ta có
f(αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f(y).
Nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y thì f được gọi là lồi chặt trên (a, b).
Hàm số f được gọi là lõm (chặt) trên D nếu −f là lồi (chặt) trên khoảng đó.
Định lí 1.1. Cho f là một hàm số khả vi hai lần trên (a, b) thì f lồi (chặt)
trên (a, b) khi và chỉ khi f
00(x) ≥ 0 (tương ứng f
00(x) > 0) với mọi x ∈ (a, b).
Định lí 1.2. Nếu f : [a, b] → R là một hàm lồi thì nó liên tục trên (a, b).
Định lí 1.3 (Bất đẳng thức Jensen). Cho hàm số lồi f, các số thực a1, a2, . . . ,
an và các số thực dương λ1, λ2, . . . , λn thỏa mãn Pn
k=1
λk = 1. Ta có bất đẳng
thức
f
Xn
k=1
λkak
!
≤
Xn
k=1
λkf(ak).
Nếu f là lồi chặt thì dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.
Áp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f(x) = − ln x, ta có:
Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán 7
1.3. Bất đẳng thức Chương 1
Định lí 1.4 (Bất đẳng thức trung bình tổng quát). Cho các số thực dương
a1, a2, . . . , an và các số thực dương λ1, λ2, . . . , λn thỏa mãn Pn
k=1
λk = 1. Ta có
bất đẳng thức
Xn
k=1
λkak ≥
Yn
k=1
a
λk
k
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.
Đặt biệt khi λ1 = λ2 = · · · = λn =
1
n
hoặc n = 2 ta có các bất đẳng thức
quen thuộc sau:
Định lí 1.5 (Bất đẳng thức AM–GM). Trung bình cộng của các số thực
không âm a1, · · · , an không bé hơn trung bình nhân của các số đó, nghĩa là
1
n
Xn
k=1
ak ≥
Yn
k=1
ak
!1
n
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.
Bất đẳng thức AM–GM còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy.
Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Young). Cho các số thực dương a, b, p và q thỏa
mãn 1
p +
1
q
= 1. Ta có
a
p
p
+
b
q
q
≥ ab.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
p = b
q
.
Định lí 1.7 (Bất đẳng thức H¨older). Cho các số thực không âm a1, a2, . . . , an,
b1, b2, . . . , bn, và các số thực dương p và q thỏa 1
p +
1
q
= 1, ta có
Xn
k=1
akbk ≤
Xn
k=1
a
p
k
!1/p Xn
k=1
b
q
k
!1/q
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các bộ số ak và bk tỉ lệ với nhau.
Chứng minh. Nếu vế phải của bất đẳng thức bằng không thì ak = bk = 0 với
mọi k = 1, . . . , n và bất đẳng thức trở thành đẳng thức. Do đó ta chỉ cần xét
trường hợp vế phải của bất đẳng thức khác không. Đặt
ck =
ak
Pn
k=1
a
p
k
1/p , dk =
bk
Pn
k=1
b
q
k
1/q .
8 Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán
Chương 1 1.3. Bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Young ta có
Xn
k=1
ckdk ≤
Xn
k=1
c
p
k
p
+
d
q
k
q
=
1
p
Xn
k=1
c
p
k +
1
q
Xn
k=1
d
q
k =
1
p
+
1
q
= 1.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Đặc biệt khi p = q =
1
2
ta có bất đẳng thức quen thuộc
Định lí 1.8 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz). Cho các số thực a1, a2, . . . , an,
b1, b2, . . . , bn, ta có
Xn
k=1
akbk
!2
≤
Xn
k=1
a
2
k
Xn
k=1
b
2
k
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các bộ số ak và bk tỉ lệ với nhau.
Ngoài cách chứng minh tổng quát như trên, ta có thể chứng minh bất đẳng
thức Cauchy–Schwarz một cách đơn giản hơn bằng cách sử dụng đồng nhất
thức Lagrange:
Xn
k=1
a
2
k
Xn
k=1
b
2
k −
Xn
k=1
akbk
!2
=
X
1≤i<j≤n
(aiaj − ajai)
2
.
Định lí 1.9 (Bất đẳng thức Minkovski). Cho p ≥ 1 và các số thực không
âm a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn, ta có
Xn
k=1
(ak + bk)
p
!1
p
≤
Xn
k=1
a
p
k
!1
p
+
Xn
k=1
b
p
k
!1
p
.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức H¨older với chú ý q =
p
p−1
ta có:
Xn
k=1
(ak + bk)
p =
Xn
k=1
ak(ak + bk)
p−1 +
Xn
k=1
bk(ak + bk)
p−1
≤
Xn
k=1
a
p
k
!1/p Xn
k=1
(ak + bk)
q(p−1)!1/q
+
Xn
k=1
b
p
k
!1/p Xn
k=1
(ak + bk)
q(p−1)!1/q
=
Xn
k=1
a
p
k
!1/p
+
Xn
k=1
b
p
k
!1/p
Xn
k=1
(ak + bk)
p
!(p−1)/p
.
Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán 9
1.3. Bất đẳng thức Chương 1
Suy ra
Xn
k=1
(ak + bk)
p
!1
p
≤
Xn
k=1
a
p
k
!1
p
+
Xn
k=1
b
p
k
!1
p
.
Định lí 1.10 (Bất đẳng thức Chebyshev). Cho các số thực ak và bk thỏa
mãn a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an và b1 ≤ b2 ≤ · · · ≤ bn, ta có
1
n
Xn
k=1
akbn+1−k ≤
1
n
Xn
k=1
ak
! 1
n
Xn
k=1
bk
!
≤
1
n
Xn
k=1
akbk.
Chứng minh. Ta có
0 ≤
Xn
i=1
Xn
k=1
(ai − ak)(bi − bk) = 2n
Xn
k=1
akbk − 2
Xn
k=1
ak
Xn
k=1
bk.
Do đó
1
n
Xn
k=1
ak
! 1
n
Xn
k=1
bk
!
≤
1
n
Xn
k=1
akbk.
Vế còn lại chứng minh tương tự bằng cách xét khai triển của
0 ≥
Xn
i=1
Xn
k=1
(ai − ak)(bn+1−i − bn+1−k).
10 Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán
Chương 2
Dãy số
2.1 Tóm tắt lí thuyết
2.1.1 Dãy số và tính chất
Định nghĩa 2.1 (Dãy số). Dãy số là một tập hợp vô hạn đếm được các số
thực được sắp thứ tự. Dãy số được kí hiệu là (un) hoặc {un} trong đó un là
phần tử thứ n của dãy. Phần tử thứ n của dãy số (un) có thể được cho bởi
công thức tường minh
un = f(n),
hoặc một công thức truy hồi
un = f(n, un−1, un−2, . . .).
Định nghĩa 2.2 (Dãy đơn điệu). Dãy số (un) được gọi là
• tăng (tăng chặt) nếu un ≤ un+1 (un < un+1) với mọi n ∈ N,
• giảm (giảm chặt) nếu un ≥ un+1 (un > un+1) với mọi n ∈ N.
Dãy tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 2.3 (Dãy bị chặn). Dãy số (un) được gọi là
• bị chặn trên nếu tồn tại C ∈ R sao cho un ≤ C với mọi n ∈ N,
• bị chặn dưới nếu tồn tại C ∈ R sao cho un ≥ C với mọi n ∈ N.
Dãy bị chặn trên và bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn.
Định nghĩa 2.4 (Dãy Cauchy). Dãy số (un) được gọi là dãy Cauchy nếu
với mọi ε > 0, tồn tại n(ε) ∈ N sao cho |um − un| < ε với mọi m, n > n(ε).
Định nghĩa 2.5 (Dãy con). Cho dãy số (un) và dãy các số tự nhiên nk thỏa
1 ≤ n1 ≤ n2 ≤ · · · . Khi đó dãy số (unk
) được gọi là một dãy con của dãy
(un).
11
2.1. Tóm tắt lí thuyết Chương 2
2.1.2 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 2.6 (Giới hạn). Dãy (un) được gọi là hội tụ đến l (hay có giới
hạn là l) nếu với mọi ε > 0, tồn tại n(ε) ∈ N sao cho |un − l| < ε với mọi
n > n(ε). Kí hiệu limn→∞
un = l hay un → l khi n → ∞.
Dãy (un) được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại l ∈ R sao cho limn→∞
un = l,
ngược lại (un) được gọi là dãy phân kì.
Định nghĩa 2.7 (Giới hạn vô cùng). Dãy (un) được gọi là
• tiến đến +∞ (hay có giới hạn là +∞) nếu với mọi M > 0, tồn tại
n(M) ∈ N sao cho un > M với mọi n > n(M).
Kí hiệu limn→∞
un = +∞ hay un → +∞ khi n → ∞.
• tiến đến −∞ (hay có giới hạn là −∞) nếu (−un) tiến đến +∞.
Kí hiệu limn→∞
un = −∞ hay un → −∞ khi n → ∞.
• tiến đến ∞ (hay có giới hạn là ∞) nếu (|un|) tiến đến +∞.
Kí hiệu limn→∞
un = ∞ hay un → ∞ khi n → ∞.
Định nghĩa 2.8 (Giới hạn trên, giới hạn dưới). Giá trị l ∈ R ∪ {−∞, −∞}
được gọi là
• giới hạn trên của dãy (un) nếu tồn tại dãy con (unk
) của dãy (un) thỏa
mãn lim
k→∞
unk = l và với dãy con (umk
) bất kì ta có lim
k→∞
umk ≥ l nếu
lim
k→∞
umk
tồn tại. Kí hiệu lim sup
n→∞
un = l.
• giới hạn dưới của dãy (un) nếu −l là giới hạn trên của dãy (−un). Kí
hiệu lim inf
n→∞
un = l.
Định nghĩa 2.9 (Vô cùng bé). Cho hai dãy số (an) và (bn). Dãy (an) được
gọi là
• vô cùng bé so với dãy (bn) nếu limn→∞
an
bn
= 0. Kí hiệu an = o(bn).
• cùng bậc so với dãy (bn) nếu limn→∞
an
bn
= k ∈ R\{0}. Kí hiệu an = O(bn).
• tương đương với dãy (bn) nếu limn→∞
an
bn
= 1. Kí hiệu an ∼ bn.
Định lí 2.1 (Tính chất của giới hạn).
12 Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán
Chương 2 2.1. Tóm tắt lí thuyết
1. (Thông qua hàm số) Nếu các dãy số (u
i
n
) (1 ≤ i ≤ k) có giới hạn tương
ứng là u
i
và (u
1
, u2
, · · · , uk
) thuộc tập xác định của một hàm sơ cấp
f : R
k → R thì limn→∞
f(u
1
n
, u2
n
, · · · , uk
n
) = f(u
1
, u2
, · · · , uk
),
2. (Thứ tự và nguyên lí kẹp) Nếu limn→∞
un = u, limn→∞
vn = v và un ≤ vn
thì u ≤ v. Hệ quả là, nếu un ≤ vn ≤ wn và limn→∞
un = limn→∞
wn = l thì
limn→∞
vn = l.
3. (Dãy đơn điệu, bị chặn) Dãy tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì
hội tụ. Dãy tăng (giảm) và không bị chặn trên (dưới) thì tiến đến +∞
(−∞).
4. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy (un) là hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy.
5. (Dãy con) Dãy số (un) có giới hạn là l khi và chỉ khi mọi dãy con cũng
có giới hạn là l. Nếu (u2n) và (u2n+1) có cùng giới hạn là l thì (un)
cũng có giới hạn là l. Tổng quát nếu k dãy con của (un) có cùng giới
hạn là l và hội các chỉ số của các dãy con đó bằng N thì (un) có giới
hạn là l.
6. (Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy bị chặn đều có một dãy con hội tụ.
Định lí 2.2 (Tính chất của giới hạn trên, giới hạn dưới).
1. lim sup
n→∞
un = limn→∞
sup{uk : k ≥ n}, lim inf
n→∞
un = limn→∞
inf{uk : k ≥ n}.
2. Nếu (un) bị chặn trên bởi M thì lim sup
n→∞
un ≤ M. Nếu (un) không bị
chặn trên thì lim sup
n→∞
un = +∞.
Nếu (un) bị chặn dưới bởi M thì lim inf
n→∞
un ≥ M. Nếu (un) không bị
chặn dưới thì lim inf
n→∞
un = −∞.
3. limn→∞
un = l ⇔ lim sup
n→∞
un = lim inf
n→∞
un = l.
2.1.3 Sai phân của dãy số
Định nghĩa 2.10 (Sai phân). Cho số tự nhiên k ≥ 1. Sai phân cấp k của
một dãy số (un) là dãy số (∆kun) được xác định bởi công thức
∆
kun = ∆(∆k−1un),
trong đó ∆un = un+1 − un và ∆0un = un.
Lê Phương, Bùi Thị Thiện Mỹ - Hướng dẫn ôn thi Olympic Toán 13