Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
HSG Toán
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2004 – 2005
Bài 1 (4 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0 sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng
chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần
Giải: Gọi số phải tìm là: xab . Trong đó: x ∈ N; a, b ∈ N; 0 ≤ a, b ≤ 9.
Theo giả thiết: xa0b 9.xab 1000x 100a b 900x 90a 9b = ⇔ + + = + +
100x 10a 8b
50x 5a 4b
⇔ + =
⇔ + =
Vì b ≤ 9 nên: 4b ≤ 45 ⇔ 50x + 5a ≤ 45 ⇒ x = 0
Do đó: 5a = 4b. Vì (4, 5) = 1 nên: a \ 4 và b \ 5
Nếu b = 1 ⇒ không có số a nào thỏa mãn
Nếu b = 5 thì a = 4 (thỏa mãn)
Vậy: Chỉ có một số thỏa mãn là 45
Bài 2 (4 điểm). Giải phương trình sau
2 2
2 2
2 2 2 2
b x
x a x a
b x x b
- - + =
- -
Giải: Điều kiện: x ≠ ±b. Ta có:
(1) ⇒ (x – a2
x)(x2
– b2
) + b2
+ a(x2
– b2
) – x2
= 0
⇔ (x2
– b2
)(x – a2
x + a – 1) = 0
⇔ ((x2
– b2
)[(1 – a2
)x – (1 – a)] = 0
Do điều kiện x ≠ ±b nên: (1 – a2
)x = 1 – a
Biện luận:
- Nếu a ≠ ±1 ⇒
1
x
1 a
=
+
Để 1
x
1 a
=
+
là nghiệm của phương trình thì: 1
b
a 1
≠ ±
+
+ Nếu b = 0 thì phương trình có nghiệm: 1
x
1 a
=
+
+ Nếu b ≠ 0:
Nếu 1
b
a 1
≠ ±
+
⇔
b 1
a
b
±
≠ −
⇒ phương trình có nghiệm: 1
x
1 a
=
+
Nếu 1
b
a 1
= ±
+
⇔
b 1
a
b
±
= −
⇒ phương trình vô nghiệm
- Nếu a = 1: phương trình có vô số nghiệm x ≠ ±b
- Nếu a = –1: phương trình vô nghiệm
Kết luận:
- Nếu a = 1: phương trình có nghiệm ∀x ±b
- Nếu a = –1: phương trình vô nghiệm
- Nếu a ≠ ±1và b = 0: phương trình có nghiệm 1
x
1 a
=
+
- Nếu a ≠ ±1, b 1
a
b
±
≠ − và b ≠ 0: phương trình có nghiệm: 1
x
1 a
=
+