HSG toán

ĐỀ

THI HOC SINH GIO ̣ ̉I CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI

Năm hoc:̣ 2003 – 2004

Bà

i 1 (4 điểm). Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình phương

thiếu của tổng các chữ số của nó. Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50 đơn vị

Giải: Goi sô ̣ ́ nhỏ là ab (a, b ∈ N*, 1 ≤ a, b ≤ 9). Theo giả thiết:

2 2 2 2

2 2 2 2

ab a ab b 10a b a ab b

(a 5).b (a 5) (a 5)b b 25a 4b a ab b

  = + + + = + + 

  ⇔

 + = + + + +  − = + +

Suy ra: 15a = 5b ⇔ 3a = b ⇒

b

a

3

= hay b  3 ⇒ b ∈ {3; 6; 9}

– Vớ

i b = 3 thì

a = 1 (thỏa man)̃

– Vớ

i b = 6 thì

a = 2 (loai)̣

– Vớ

i b = 9 thì

a = 3 (loai)̣

Vây: Hai sô ̣ ́ phải tìm là

13 và

63

Bà

i 2 (4 điểm). Cho biểu thức M = a2

+ b2

biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2

+ 5b2

+ 8ab

= 18. Tìm những giá trị của a và b để :

a) M đạt giá trị lớn nhất

b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Giải: a) 5a2

+ 5b2

+ 8ab = 18 ⇔ M = 18 – 4a2

– 4b2

– 8ab = 18 – 4(a + b)2

≤ 18

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = –b thay vào đẳng thức: 10a2

– 8a2

= 18 ⇔ a2

= 9 ⇔ a = ±3

Vây: max M = 18 ̣ ⇔ (a ; b) = (3 ; –3) hoăc (–3 ; 3) ̣

b) 5a2

+ 5b2

+ 8ab = 18 ⇔ 9(a2

+ b2

) = 18 + 4(a – b)2

≥ 18 ⇔ 9M ≥ 18 ⇔ M ≥ 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1

Vây: min M = 2 ̣ ⇔ a = b = ±1

Bà

i 3 (4 điểm). Cho phương trình x2

+ px + q = 0 (1). Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Giải: Giả sử phương trình có

hai nghiêm phân biê ̣ t va ̣

̀

x2 = 4x1. Ta có

:

2

1

1

2 2

1

p 4q 0 p

x

5x p 5

4x q 4p

q

p,q Z 25

 − > 

 = −

= − 

    ⇔

  =

=

  ∈ 



. Suy ra: p2  25 ⇒ p2

= 25k2

(k ∈ Z) ⇔ p = ±5k

Do đó

:

2

4.25k 2

q 4k

25

= =

Vây: (p; q) ̣ ∈ {(5k; 4k2

), (–5k; 4k2

)} vớ

i k ∈ Z thì

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một

nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Bà

i 4 (4 điểm). Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A. Đường tròn bán kính R

không đổi có tâm là điểm O di động trên xx’. Một đường tròn thứ hai có tâm là điểm C di động trên

yy’, bán kính CA, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O tại T

a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định

b) Đặt OA = d. Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau. Trong trường hợp hai

đường tròn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường tròn với đường thẳng xx’

Giải: a) Goi I la ̣

̀

giao điểm của đường thẳng vuông góc vớ

i OC

tai T, H la ̣

̀

giao điểm của OA và

TI.

Xé

t hai tam giác AHI và

THO có

: