Hình học trên mặt cầu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYÊN

HÌNH HỌC TRÊN MẶT CẦU

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN VĂN MINH

Thái Nguyên - Năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Các kiến thức cơ bản 6

1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Kinh độ và vĩ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Tam giác cầu 16

2.1 Khái quát về tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Tam giác cầu và các yếu tố cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Tính chất của tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Tam giác cầu cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Các định lí trong tam giác cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Định lí hàm sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Định lí cosin thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Hướng tàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4 Định lí hàm số cosin thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.5 Định lý hàm số cotang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Các công thức theo góc, cạnh chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1 Công thức góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.2 Công thức tổng hai góc chia đôi, hiệu hai góc chia đôi . . . . . . 32

2.4 Giải tam giác cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 Giải tam giác cầu khi biết 3 cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.3 Giải tam giác cầu khi biết 2 cạnh và góc xen giữa 2 cạnh ấy . . 36

2.4.4 Giải tam giác cầu biết 2 cạnh và một góc đối diện với một trong

2 cạnh ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.5 Giải tam giác cầu biết 2 góc và một cạnh đối diện với một trong

2 góc ấy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

2.5.1 Tam giác cầu vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.2 Hai quy tắc dễ nhớ của Nêpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5.3 Các ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Thiên cầu 50

3.1 Độ cao và góc cực; Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.1 Độ cao và góc cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2 Độ thiên và góc giờ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Biểu đồ cho nam bán cầu và những ngôi sao thấy ở đường chân trời. . . 57

3.2.1 Biểu đồ cho nam bán cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2 Những ngôi sao thấy ở đường chân trời . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm và cách tính góc tam giác

cầu P ZX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1 Độ lệch tiêu chuẩn hoặc thiên cầu địa tâm . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 Cách tính góc tam giác cầu P ZX . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4 Sự tiến thẳng và độ nghiêng; Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . 64

3.4.1 Sự tiến thẳng và độ nghiêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.2 Quỹ đạo của trái đất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5 Kinh độ và vĩ độ thiên; Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.1 Kinh độ và vĩ độ thiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.5.2 Thời gian thiên văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Tài liệu tham khảo 74

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

Lời mở đầu

Việc ứng dụng hình học trong mặt phẳng đã được rất nhiều chuyên gia

với nhiều công trình nghiên cứu khác nhau. Tuy nhiên, từ khi con người

phát hiện ra trái đất không phải là mặt phẳng mà là hình cầu thì việc

nghiên cứu hình học phẳng chưa đáp ứng được yêu cầu nghiên cứu về

thiên văn và hàng hải. Vì vậy nó thôi thúc một lĩnh vực nghiên cứu mới

đó là ”Hình học cầu”.

Hình học cầu ra đời đã phần nào đáp ứng được nhu cầu nghiên cứu

về việc đi lại trên biển, về việc đi lại giữa các vì sao, về vũ trụ,....Vì vậy,

hình học cầu không thể thiếu được trong các môn học nghiên cứu về thiên

văn và hàng hải. Việc nghiên cứu hình học cầu là niềm say mê của không

ít người đặc biệt là những người đang trực trực tiếp dạy toán. Chính vì

thế để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập tác giả đã chọn đề tài ”Hình

học trên mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của luận văn.

Đề tài nhằm một phần nào đó đáp ứng mong muốn của bản thân về

một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc học tập

của các em học sinh, sinh viên nghiên cứu lĩnh vực thiên văn, hàng hải.

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

tài liệu tham khảo.

Chương 1. Các kiến thức cơ bản

Chương 1 đưa ra các kiến thức về các định nghĩa, định lý và tính chất

cơ bản của hình học cầu.

Chương 2. Tam giác cầu

Chương 2 đưa ra định nghĩa, tính chất của tam giác cầu, tam giác cầu

cực; các định lý và các công thức cơ bản của tam giác cầu. Đặc biệt, chương

2 đưa ra các phương pháp giải tam giác cầu kèm theo ví dụ minh họa cho

từng trường hợp cụ thể. Đồng thời ở chương 2 chúng tôi muốn giới thiệu

việc ứng dụng của hình học cầu trong lĩnh vực hàng hải.

Chương 3. Thiên cầu

Chương 3 đưa ra định nghĩa, tính chất của các yếu tố liên quan tới thiên

cầu. Đồng thời chương 3 cũng giới thiệu các cách xác định vị trí trên thiên

cầu như: tính góc cầu của tam giác cầu, tính góc phương vị, góc giờ, độ

lệch của vị trí 1 ngôi sao xác định trên thiên cầu....

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của tiến TS

Nguyễn Văn Minh. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu

sắc đối với người thầy của mình, người đã nhiệt tình hướng dẫn chỉ bảo

và mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa

Toán-Tin trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên, các thầy cô

giáo dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

5

thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu-các thầy cô giáo tổ

Toán-trường THPT Nhã Nam-tỉnh Bắc Giang, bạn bè, đồng nghiệp cùng

gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ khích lệ tôi hoàn thành luận văn

này.

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã tập trung học tập và nghiên

cứu một cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên,do hạn chế về

thời gian, cũng như trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện không

tránh khỏi những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của các

thầy cô giáo và những góp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện

hơn.

Thái Nguyên 2011

Nguyễn Thị Bích Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1.1 Đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

Trước hết ta có một vài định nghĩa sau.

1. Hình cầu là một vật thể giới hạn bởi một mặt bao gồm các điểm có

khoảng cách không đổi tới một điểm cố định gọi là tâm của hình cầu.

Đoạn thẳng nối điểm bất kì trên mặt cầu với tâm được gọi là bán kính.

Đoạn thẳng đi qua tâm nối hai điểm bất kì trên mặt cầu gọi là đường

kính.

2. Giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng là một đường tròn.

C

A

O

D

B

Giả sử AB là giao tuyến của mặt cầu với một mặt phẳng nào đó,

O là tâm hình cầu. Kẻ OC vuông góc với mặt phẳng; lấy D thuộc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn